משפט שטיינהאוס

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, משפט שטיינהאוס קובע שקבוצת ההפרשים של קבוצה ממידה גדולה מאפס לפי מידת לבג, מכילה סביבה פתוחה של 0.

המשפט הוכח לראשונה על-ידי המתמטיקאי הוגו שטיינהאוס בשנת 1920. גרסה של המשפט למידת האר כללית הוכחה על-ידי אנדרה וייל בשנת 1941.

 סימונים 
בערך זה נסמן ב-,  וב- את קבוצת המספרים הטבעיים, השלמים והממשיים בהתאמה.

כמו כן, נסמן ב- את מידת לבג וב- את מידת לבג ה- ממדית עבור  כלשהו.

לכל  ולכל  מסמנים:

לבסוף, נסמן ב- את פעולת ההפרש הסימטרי בין קבוצות.

 נוסח המשפט 
יהי  ותהי קבוצה מדידה  כך ש-.

אזי,  מכילה סביבה פתוחה של וקטור האפס.

 הוכחה 
לצורך פשטות נוכיח את המקרה שבו . ההוכחה ל- כללי דומה, אך דורשת כמה שלבים נוספים.

 למה: רציפות מידת לבג להזזות 
תהי  קבוצה מדידה לפי לבג וקומפקטית. אזי:

 הוכחה 
יהי קטע פתוח כלשהו . אזי, לכל  מתקיים ש:

.

לכן, 

באופן דומה, אפשר להראות שאם קבוצה  היא איחוד סופי של קטעים פתוחים, אז 

כעת, יהי  כלשהו. מאחר ש- מדידה וקומפקטית, קיימת קבוצה  שהיא איחוד סופי של קטעים פתוחים כך ש-. בנוסף, מאחר ש-, קיים  כך שלכל  מתקיים ש-. לבסוף, מאחר שמידת לבג אינווריאנטית להזזות, . מחברים את כל אלו ומקבלים שלכל :

מ.ש.ל.

 משפט שטיינהאוס לקבוצות קומפקטיות 
מניחים שהקבוצה  ממשפט שטיינהאוס היא קבוצה קומפקטית. מגדירים . לכן, לפי הלמה לעיל, קיים  כך שלכל  מתקיים ש-. מצד שני:

.

מציבים באי-השוויון לעיל ומעבירים אגפים כדי לקבל ש-. בפרט, .

יהי  כלשהו. לכן קיים . כלומר,  וגם , מה שאומר ש-.מכל זה:

.

הדבר נכון לכל , משמע ש-, וזוהי קבוצה פתוחה שמכילה את 0.

מ.ש.ל.

 משפט שטיינהאוס לקבוצות כלליות 
כעת מניחים שהקבוצה  ממשפט שטיינהאוס היא קבוצה מדידה כללית (לאו דווקא קומפקטית).

מחלקים את הישר  לקטעים חצי פתוחים  כאשר . כעת:

משום ש-, בהכרח קיים  כך ש-. מגדירים . זוהי קבוצה קומפקטית.

לכן, לפי משפט שטיינהאוס לקבוצות קומפקטיות שהוכח לעיל, קיימת קבוצה פתוחה  שמכילה את הראשית כך ש-. ניתן להראות כי , לכן  כנדרש.

מ.ש.ל.

 מסקנות והכללות 
 סכום של קבוצות ממידה חיובית 
יהי  ותהי זוג קבוצות מדידות  כך ש- ו-.

אזי, הפנים של  אינו ריק.

 משפט שטיינהאוס למידת האר כללית 
תהי חבורה קומפקטית מקומית  עם מידת האר שמאלית . כמו כן, תהי קבוצה  שעבורה . מגדירים:

אזי,  מכילה סביבה פתוחה של איבר היחידה.

 הערות שוליים 

קטגוריה:משפטים בתורת המידה