חסם מינקובסקי-שור

חסם מינקובסקי-שור הוא משפט מתמטי הקובע חסם עליון לסדר של חבורה סופית הניתנת לייצוג כחבורת מטריצות מעל השדה הרציונלי (או מעל שדות מספרים). המשפט קרוי על שמם של המתמטיקאים הרמן מינקובסקי, שהוכיח את הגרסה היסודית ב-1887, וישי שור, שהרחיב את התוצאה למקרים כלליים יותר בשנת 1905. בשנת 2005, לכבוד ציון מאה שנה לחסם שור, פורסם מאמר מקיף על ידי גורלניק ולורנץ שמסכם ומנהיר את התיאוריה.  

 ניסוח השאלה 
בתורת החבורות הליניאריות, עולה השאלה: בהינתן ממד , מהי החבורה הסופית הגדולה ביותר שיכולה להיות תת-חבורה של   (חבורת המטריצות ההפיכות מסדר  מעל הרציונליים)?

 חסם מינקובסקי 
חסם מינקובסקי קובע כי קיים מספר שלם , התלוי אך ורק ב-, כך שהסדר של כל תת-חבורה סופית  מחלק את .

הנוסחה למספר  ניתנת על ידי המכפלה על פני כל המספרים הראשוניים :

כאשר המעריך  מוגדר לפי:

 חסם שור 
שור הכליל את המשפט עבור חבורות מטריצות מעל שדה המספרים המרוכבים עם עקבות אלגבריות. 

תהי   חבורה סופית שמקיימת  לכל  עבור  שדה מספרים (הרחבה סופית של ), אזי הסדר של  מחלק את 

כדי להגדיר את  נסמן ב את שורש היחידה מסדר . מכך שההרחבה  סופית, קיים  כך שלכל 



נגדיר   עבור , ו

הסכום והכפל הם למעשה סופיים, כי החל ממקום מסויים דרגת ההרחבה תהיה גדולה מ.

ניסוח אחר של המשפט הוא ש הוא הכפולה המשותפת המינימלית של סדרי תתי חבורות סופיות של  עם עקבות בשדה מספרים .

משפט זה מהווה הכללה של המשפט של מינקובסקי בכך ש.

 הערות שוליים 

קטגוריה:תורת החבורות