משפט עמיצור-לויצקי

משפט עמיצור-לויצקי באלגברה, קובע כי אלגברה של מטריצות  על חוג חילופי מקיימת זהות פולינומית מסוימת ממעלה .  בפרט, חוגי מטריצות הם חוג עם זהויות כך שדרגת הזהות הפולינומית המינימלית שלהן היא  בדיוק. המשפט הוכח ב־1950 על ידי שמשון עמיצור ויעקב לויצקי.

 ניסוח 
הפולינום הסטנדרטי ממעלה  הוא



כאשר  הם משתנים שאינם חילופיים והסכום נלקח על כל  האיברים של החבורה הסימטרית .

משפט עמיצור-לויצקי קובע שלכל  מטריצות   שהרכיבים שלהן נלקחים מחוג חילופי מתקיים .

 הוכחות 
עמיצור ולויצקי היו הראשונים שהוכיחו את המשפט ב־1950.

 הסיק ב־1958 את משפט עמיצור-לויצקי ממשפט קוסול-סמלסון על קוהומולוגיה פרימיטיבית של אלגברות לי.

 הציג ב־1963 ו־1969 הוכחה קומבינטורית פשוטה למשפט. מליניאריות הפולינום הסטנדרטי מספיק להוכיח את המשפט כאשר בכל מטריצה כל הרכיבים הם 0, פרט לאחד שהוא 1. במקרה זה, ניתן לייצג כל מטריצה כקשת מכוונת של גרף עם  קודקודים. אז  המטריצות יוצרות גרף על  קודקודים עם  קשתות מכוונות. הזהות הסטנדרטית מתקיימת אם עבור כל שני קודקודים  ו־ של הגרף, מספר מסלולי אוילר האי-זוגיים מ־ ל־ זהה למספר המסלולים הזוגיים. (מסלול נקרא אי-זוגי או זוגי, לפי זוגיות התמורה שמתאימה לקשתות שלו, כשהן נלקחות לפי המסלול). סוואן הראה שזה קורה בתנאי שמספר הקשתות בגרף הוא לפחות , ובכך הוכיח את משפט עמיצור-לויצקי.

ב־1974 יורי פיטירימוביץ' רזמיסלוב הציג הוכחה הקשורה למשפט קיילי-המילטון.

שמואל רוסט נתן הוכחה קצרה למשפט ב־1976 באמצעות שימוש ב של מרחב וקטורי מממד .

קלאודיו פרוצ’סי הראה ב־2015 שמשפט עמיצור-לויצקי הוא משפט קיילי-המילטון עבור מטריצת גרסמן גנרית.

קישורים חיצוניים


 הערות שוליים 

קטגוריה:משפטים באלגברה
קטגוריה:אלגברה ליניארית
קטגוריה:תורת החוגים