הלמה של פקטה

במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, הלמה של פקטה היא למה העוסקת בגבול של סדרות תת-חיבוריות. הלמה מספקת הערכה לקצב הגידול הליניארי של סדרות מסוג זה.

הלמה נקראת על-שם המתמטיקאי ההונגרי-ישראלי מיכאל פקטה שהוכיח אותה בשנת 1923.

 נוסח המשפט 

בערך זה נסמן ב- את קבוצת המספרים הטבעיים. קבוצה זו לא תכלול את המספר 0.

סדרה של מספרים ממשיים  תקרא סדרה תת-חיבורית אם ורק אם לכל  מתקיים ש:



הלמה של פקטה קובעת שלכל סדרה תת-חיבורית מתקיים ש:



כלומר, הסדרה  שואפת לאינפימום שלה. יש לשים לב שאינפימום זה יכול להיות .

 הוכחה 
כדי להוכיח שהגבול קיים ומתכנס לאינפימום, מספיק להוכיח כי:



כאשר  ו- הם הגבול התחתון והגבול העליון בהתאמה. שני אי-השוויונות השמאליים נכונים תמיד, לכן יש להוכיח אך ורק את אי-השוויון הימני .

משום שהסדרה תת-חיבורית, אפשר להוכיח באינדוקציה שלכל  מתקיים ש:



מגדירים  ואז נוסחה זו נכונה גם כאשר אחד מהרכיבים  הוא 0 ובפרט .

כעת, מקבעים  כלשהו. לכל  קיימים  ו- כך ש-. לכן, לפי אי-השוויון לעיל:



מגדירים . ערך זה תמיד מוגדר היטב מכיוון שזהו מקסימום של קבוצה סופית. מחלקים את אי-השוויון לעיל ב- ומקבלים:



משאיפים את  ומקבלים ש-. מאחר ש- נבחר שרירותית, הדבר נכון לכל , משמע .

מכל זה .

מ.ש.ל.

 דוגמאות 
 שורש ריבועי 
מגדירים סדרה  כך שלכל :



אפשר להוכיח כי הסדרה תת-חיבורית, זאת מכיוון שלכל :



ואכן:



 ערך שלם 
יהי  כלשהו. מגדירים סדרה  כך שלכל :



כאשר  היא פונקציית התקרה. אפשר להוכיח כי הסדרה תת-חיבורית, זאת מכיוון שלכל :



ואכן:



 מסקנות 
 סדרות על-חיבוריות 
סדרה של מספרים ממשיים  תקרא סדרה על-חיבורית אם ורק אם לכל  מתקיים ש:



באמצעות הלמה של פקטה אפשר להוכיח כי לכל סדרה על-חיבורית מתקיים ש:



כלומר, הסדרה  שואפת לסופרמום שלה. בדומה למקרה התת-חיבורי, סופרמום זה יכול להיות .

הוכחת מסקנה זו מתבצעת על-ידי השימוש בלמה של פקטה על הסדרה .

 סדרות תת-כפליות 
סדרה של מספרים ממשיים  תקרא סדרה תת-כפלית אם ורק אם לכל  מתקיים ש:



באמצעות הלמה של פקטה אפשר להוכיח כי לכל סדרה תת-כפלית שאיבריה חיוביים מתקיים ש:



הוכחת מסקנה זו מתבצעת על-ידי שימוש בלמה של פקטה על הסדרה  כאשר  היא פונקציית הלוגריתם הטבעי.

יש לשים לב שבגלל שהלמה של פקטה לסדרות תת-כפליות עוסקת בסדרות חיוביות, האינפימום בהכרח סופי והוא גדול או שווה ל-0. לעובדה זו ישנם שימושים משמעותיים, למשל:
 לכל טור חזקות שהערכים המוחלטים של המקדמים שלו מהווים סדרה תת-כפלית יש רדיוס התכנסות גדול מ-0 (משפט קושי-אדמר)
 לכל סריג קיים קבוע קשירות  המצביע על קצב הגידול של מספר ההילוכים הנמנעים-עצמיים  האפשריים.

 סדרה כמעט תת-חיבורית 
תהי סדרה של מספרים ממשיים  שעבורה קיים  כך לכל  מתקיים ש:



סדרה זו תקרה סדרה כמעט תת-חיבורית. אזי, מתקיים ש:



 הוכחה 
מגדירים סדרה חדשה . ניתן להוכיח כי היא תת-חיבורית:



לכן:



ומצד שני , משמע שהגבול של שתי הסדרות הללו זהה. לכן:



מ.ש.ל.

 הערות שוליים 

קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי