משפט בראואר על אינדוקציה של קרקטרים

משפט בראואר על אינדוקציה של קרקטרים, הוא תוצאה יסודית בתורת ההצגות של חבורות סופיות הנקראת על שמו של ריכרד בראואר.
המשפט אומר שכל קרקטר של הצגה של חבורה סופית  הוא  צירוף ליניארי עם מקדמים שלמים של אינדוקציות של קרקטרים חד-ממדיים של תתי חבורת של .
המשפט הוכח על ידי ריכרד בראואר בשנת 1947 במטרה להוכיח השערה של אמיל ארטין בתורת המספרים האנליטית - קיומה של המשכה מרומורפית לפונקציית L של ארטין.
רקע
קודמו של משפט האינדוקציה של בראואר היה משפט האינדוקציה של ארטין, הקובע כי |G| כפול הקרקטר הטריוויאלי של G הוא צירוף ליניארי שלם של קרקטרים, שכל אחד מהם מושרה מקרקטר חד-ממדי של תת-חבורה ציקלית של G. משפט בראואר מסיר את הגורם |G|, אך במחיר הרחבת אוסף תת-החבורות שבהן נעשה שימוש. מספר שנים לאחר פרסום הוכחת משפטו של בראואר, הראה J. A. Green (בשנת 1955) כי לא ניתן להוכיח משפט אינדוקציה כזה (עם צירופים שלמים של קרקטרים מושרים מקרקטרים חד-ממדיים) באמצעות אוסף תת-חבורות קטן מזה בו בראואר השתמש.

המוטיבציה של ארטין לעסוק בשאלה נבעה מניסיון לבנות המשכה מרומורפית לפונקציית L של ארטין לכל המישור.
משפט האינדוקציה של ארטין מתקרב למטרה זו, אך אין די בו כדי לבנות את ההמשכה. משפט בראואר מאפשר את השלמת המשימה.

נוסח המשפט
תהא G חבורה סופית, ונסמן ב־Char(G) את תת-החוג של חוג פונקציות המחלקה המרוכבות על G, המורכב מצירופים שלמים של קרקטרים אי־פריקים. Char(G) נקרא חוג הקרקטרים של G, ואיבריו נקראים קרקטרים וירטואליים (או קרקטרים מוכללים). זהו אכן חוג, שכן מכפלה של קרקטרים של G היא שוב קרקטר של G. פעולת הכפל ניתנת על ידי כפל נקודתי של פונקציות מחלקה. מהדורה מתוקנת של המקור משנת 1976, שיצא לאור ב־Academic Press. 

משפט האינדוקציה של בראואר קובע כי חוג הקרקטרים נוצר (כחבורה אבלית) על ידי קרקטרים של הצגות המושרות מהצגות חד-ממדיות של תת-חבורות של G.

יתרה מזו, בראואר הראה שניתן לבחור את תת-החבורות מתוך אוסף מצומצם מאוד, הקרוי כיום תת-חבורות אלמנטריות. על פי ההגדרה, תת-חבורה היא אלמנטרית אם היא מכפלה ישרה של שתי חבורות מסדרים זרים: חבורה ציקלית וחבורת p – חבורה שסדרה היא חזקה של מספר ראשוני p.

המקרה הנילפוטנטי
מרכיב מרכזי בהוכחת משפט בראואר הוא העובדה שכאשר  היא חבורה נילפוטנטית סופית, כל קרקטר אי־פריק של  מושרה מקרקטר חד-ממדי של תת-חבורה של . מכאן שכל קרקטר של  הוא סכום של קרקטרים המושרים מקרקטרים חד־ממדיים. במילים אחרות, במקרה זה אין צורך במקדמים שלמים שליליים כדי להציג כל קרקטר כצרוף של קרקטרים מושרים.

למעשה, טענות אלו נכונות גם עבור חבורות c-פתירות. חבורה  נקראת c-פתירה אם יש סדרה של תת-חבורות נורמליות ב - :

כך שהמנות  הן נורמליות.

הצגת קרקטרים כצירוף שלם אי־שלילי של קרקטרים מושרים
משפט בראואר מעלה את השאלה הבאה: עבור אילו חבורות G
ניתן להציג כל קרקטר כצירוף שלם לא־שלילי של קרקטרים המושרים מקרקטרים חד-ממדיים של תת-חבורות. באופן כללי, הדבר אינו מתקיים. למעשה, לפי משפט של טאקטה, אם כל הקרקטרים של G ניתנים להצגה כזו, אז G חייבת להיות חבורה פתירה. עם זאת, פתירות כשלעצמה אינה מספיקה: לדוגמה, החבורה הפתירה SL(2,3) כוללת קרקטר מרוכב אי־פריק ממעלה 2 שאינו ניתן לביטוי כצירוף שלם לא־שלילי של קרקטרים המושרים מקרקטרים חד-ממדיים של תת-חבורות.

גרסאות של המשפט
גרסאות חלשות יותר שלמעשה שקולות למשפט
בהינתן המקרה הנילפוטנטי, ניתן להסיק את משפט בראואר מהמשפט הבא:

משפט: כל קרקטר של הצגה של חבורה סופית  הוא צירוף ליניארי עם מקדמים שלמים של אינדוקציות של קרקטרים של תתי חבורת נילפוטנטיות (למעשה אלמנטריות) של .

קל להסיק מנוסחת ההיטל להצגות מושרות שאוסף כל הצירופים הליניאריים עם מקדמים שלמים של אינדוקציות של קרקטרים של תתי חבורת נילפוטנטיות (או בהתאמה אלמנטריות) של  הוא אידיאל ב .

לכן, הנסוח האחרון נובע מהנסוח הבא:

משפט: הפונקציה הקבועה 1 על חבורה סופית  היא צירוף ליניארי עם מקדמים שלמים של אינדוקציות של קרקטרים של תתי חבורת נילפוטנטיות (למעשה אלמנטריות) של .
גרסה לראשוני קבוע
אם קובעים ראשוני  אפשר לשאול איזה קרקטרים אפשר לקבל כצירוף של אינדוקציות מחבורות -אלמנטריות.
חבורה היא -אלמנטריות. 
אם היא מכפלה ישרה של שתי חבורות מסדרים זרים: חבורה ציקלית וחבורת p. גרסה של המשפט אומרת שניתן לקבל כך כל קרקטר של  כפול  כאשר  הוא המחלק הגדול ביתר של  שזר ל - 

גרסאות מפורשות ופונקטוריאליות

הוכחה
הוכחתו של בראאור הייתה אלגברית והתבססה על חשבון מודולרי ופרוק ז'ורדן לחבורות סופיות. לאורך השנים, בראואר רקוט וג'ון טייט עידנו ופישטו את ההוכחה והוסיפו עוד גרסאות ושימושים למשפט. בספר "הצגות ליניאריות של חבורות סופיות" הציג ז'אן-פייר סר גרסה אלגנטית ואלמנטרית יחסית של ההוכחה המבוססת על רעיונת אלו. 

בסוף שנות ה-80 של המאה ה-20 פיתח ויקטור סניית (Victor Snaith)  גישה חדשה להוכחות  משפט בראואר שהייתה שונה באופן מהותי מהוכחות הקודמות.
הגישה אפשרה הוכחה קצרה ואלגנטית אך השתמשה בכלים כבדים מטופולוגיה אלגברית וטופולוגיה דפרנציאלית.

ההוכחה של בראואר והוכחות דומות
רעיון כללי
תחילה בוחרים מספר ראשוני  ומוכיחים את המשפט "מודולו ". זאת אומרת שמציגים את הפונקציה הקבועה 1 על  כצירוף ליניארי עם מקדמים שלמים של אינדוקציות של קרקטרים של תתי חבורות נילפוטנטיות (למעשה אלמנטריות) של  עד כדי טעות שמתחלקת ב-. טענה זו קלה יותר להוכחה ממשפט בראואר ודומה מעט יותר למשפט ארטין. זאת מכיוון שניתן לחשוב עליה כעל גרסה של משפט ארטין בה השדה  מוחלף בשדה  בעוד שבמשפט בראואר הוא מוחלף בחוג . בדומה ל-, גם ב- יש את פעולת החילוק, כך שחלק מההוכחה של ארטין עובד במקרה זה. אולם בשונה מ- ב- לא ניתן לחלק ב-. לכן ההוכחה של ארטין עדיין לא עובדת במלואה. ניתן לחשוב על המעבר ל- כהתמקדות בקושי אחד במשפט בראואר במקום בכל הקשיים ביחד.

אם  אינו מחלק את סדר החבורה  אז ההוכחה של ארטין מספקת גם הוכחה לטענה מעלה (עם התאמות קלות). אולם כאשר  מחלק את  הארגומנט של ארטין אינו מספק. יתר על כן, זה המקום בו עולה הצורך להרחיב את מאגר החבורות מחבורות ציקליות לחבורות אלמנטריות. זה החלק הקשה ביותר מבחינה טכנית בהוכחה והוא משתמש בין היתר בפירוק ז'ורדן לחבורות סופיות.

הרעיון של חלק זה של ההוכחה הוא שמשתמשים בפירוק ז'ורדן כדי לפרק את החבורה לאיחוד זר של קבוצות כדלקמן:

ואז מתמודדים עם כל קבוצה כזו בנפרד.

אפשר להשוות בין הוכחת משפט ארטין להוכחת משפט בראואר כך: במשפט ארטין מראים שניתן לקבל את הפונקציה האופיינית של מחלקת צמידות על ידי צירוף ליניארי (עם מקדמים מתאימים) של אינדוקציות מחבורות ציקליות. במשפט בראואר מראים שניתן לקבל (מודולו ) את הפונקציה האופיינית של  על ידי צירוף ליניארי (עם מקדמים מתאימים) של אינדוקציות מחבורות אלמנטריות.

לאחר מכן מסיקים גרסה של משפט בראואר "מודולו ". כאשר  מספר טבעי (חיובי). את זה עושים באמצעות המקרה הפרטי הבא של משפט אוילר:

משפט אוילר: אם  לא מתחלק ב- אז  הוא  מודולו .

לבסוף מסיקים את המשפט מהלמה הבאה:

למה: בהינתן תת-חבורה  ואיבר . הדברים הבאים שקולים:

לכל חזקת ראשוני  מתקיים .

רעיון נוסף שמופיע בהוכחה הוא לעבוד עם מקדמים בחוג  במקום בחוג . קל לראות שאם מצליחים להציג קרקטר (וירטואלי) כצירוף ליניארי עם מקדמים בחוג זה של קרקטרים מושרים אז גם ניתן להציג אותו כצירוף ליניארי עם מקדמים ב- של קרקטרים מושרים. רעיון זה אינו הכרחי להוכחה, היות שעבודה מדויקת תניב מלכתחילה מקדמים ב- אולם הוא מפשט אותה בהרבה. הרעיון רלוונטי גם להוכחת משפט ארטין (אם כי שם הוא פשוט יותר). הפונקציות האופייניות המתוארות למעלה לא ניתנות להצגה כצירוף ליניארי של קרקטרים מושרים אם לא מאפשרים מקדמים בחוג .

אפשר להחליף את החוג  בחוג שלמים בכל הרחבת שדות גדולה מספיק (למשל בחוג השלמים האלגבריים) והדבר כמעט ולא ישפיע על ההוכחה.

סימונים
עבור חוג  וחבורה סופית  נסמן:
 – אוסף פונקציות המחלקה עם ערכים ב-. זאת אומרת פונקציות על  שקבועות על מחלקות צמידות. אוסף זה הוא -אלגברה ביחס לכפל (נקודתי).
במקרה ש- נתייחס לאוסף זה גם כאל מרחב מכפלה פנימית ביחס למכפלה .
 – אוסף הצירופים הליניאריים של קרקטרים של  עם מקדמים ב-.
 – אוסף תת-החבורות האלמנטריות של .
עבור תת-חבורה  נסמן גם:
 – העתקת הצמצום. נשים לב שהעתקה זו מעבירה את  ל- ואת  ל-.
 – ההעתקה הצמודה ל-. נשים לב שהעתקה זו מעבירה את  ל- ואת  ל-. באופן מפורש  כאשר הסכום השני הוא על נציגים של קו-סטים.
עבור מספר ראשוני  וחבורה  נבחר תת-חבורת p-סילו ב- ונסמנה ב-.
עבור חבורה  ואיבר  נסמן ב- את המֶרָכֶּז של  ב-.
עבור פונקציה  ותת-קבוצה  של תחום ההגדרה שלה, נשתמש בסימון  כדי לסמן את התמונה של  תחת .
עבור קבוצה  נסמן ב- את הפונקציה המציינת של .

פירוק ז'ורדן לחבורות סופיות

לפי פירוק ז'ורדן לחבורות סופיות כל איבר  אפשר להציג באופן יחיד כמכפלה של שני איברים מתחלפים:
איבר  מסדר זר ל- – נקרא החלק ה--רגולרי של 
איבר  מסדר שהוא חזקה של  – נקרא החלק ה--סינגולרי של .
באופן מפורש אפשר לחשב את החלק הרגולרי באמצעות הנוסחה הבאה:.

הערות:
אפשר להחליף את המספר  בכל מספר אחר שמתחלק בו.
למעשה קיים מספר  המחלק את  (בדרך כלל קטן בהרבה מ-) כך שאפשר להחליף את  בכל מספר שמתחלק ב-, התיאור המדויק של  מעט מורכב יותר ואינו רלוונטי להוכחה.

אחד הרעיונות המרכזיים בהוכחה הוא לחלק את החבורה  לקבוצות שבהן נמצאים כל האיברים בעלי חלק רגולרי שנמצא במחלקת צמידות קבועה. אלו הן הקבוצות  שתוארו למעלה, כאשר  הוא החלק הרגולרי הזה (ובהתאם הסדר שלו זר ל-). ליבת ההוכחה משתמשת בעובדה שניתן לקבל פונקציות מחלקה רבות על  באמצעות אינדוקציות של קרקטרים של החבורה

עובדה זאת היא עידון של ההבחנה הבאה:

התפקיד של  בהוכחת משפט בראואר אנלוגי לתפקיד של מחלקות הצמידות בהוכחת משפט ארטין. באופן דומה התפקיד של
 בהוכחת משפט בראואר אנלוגי לתפקיד של חבורות ציקליות בהוכחת משפט ארטין.
העובדה שהסדר של  זר ל- מאפשרת להימנע מחלוקה ב- כאשר עובדים עם . חלוקה במספרים הזרים ל- “מותרת” מכיוון שעובדים “מודולו ”. ההתמודדות עם  נעשית בנפרד במסגרת ההתמודדות עם חבורה נילפוטנטית.

קל לראות שהחבורה  היא אלמנטרית.

שלבי ההוכחה בגרסתו של סר
מוכיחים את המשפט למקרה ש- חבורה נילפוטנטית. במקרה זה כאמור נכונה טענה חזקה יותר: כל הצגה אי פריקה של  מושרה מהצגה חד-ממדית של תת-חבורה של . מוכיחים זאת באמצעות השלבים הבאים:
מראים כי לכל חבורה נילפוטנטית  לא אבלית קיימת תת-חבורה אבלית  לא מרכזית (זאת אומרת שלא מוכלת במרכז של החבורה).
מראים שבמקרה זה, כל הצגה נאמנה בלתי פריקה של  לא הופכת לאיזוטיפית כשמצמצמים אותה ל-.
מסיקים מתורת קליפורד שבמקרה זה ההצגה היא אינדוקציה של הצגה של תת-חבורה של .
מסיקים את הטענה הנדרשת באינדוקציה.
מהמקרה הנילפוטנטי נובע שדי להוכיח את הטענה הבאה: 

 נסמן . בוחרים הומומורפיזם אדיטיבי  המקיים . הומומורפיזם זה מגדיר הומומורפיזם . קל לראות שהומומורפיזם זה מתחלף עם אינדוקציה במובן הבא: . מכאן קל להסיק שדי להוכיח את הטענה הבאה: 
משתמשים בלמה למעלה כדי להסיק את המשפט מהטענה שלכל חזקת ראשוני  מתקיים: 
משתמשים במשפט אוילר כדי להסיק את המשפט מהטענה שלכל ראשוני  מתקיים:  באופן מפורש: אם קיימת  כזאת אז . מכיוון ש- הוא חוג, זה מוכיח את המשפט.
משתמשים בפירוק ז'ורדן לחבורות סופיות כדי להסיק שדי להראות שלכל ראשוני  ולכל איבר  שסדרו זר ל- מתקיים: 
נשים לב שעבור  ו- כאלו מתקיים:  לכן די להראות שהפונקציה  מקיימת את התנאים הנדרשים בסעיף 8.
העובדה ש- מתאפסת מחוץ ל- נובעת מהשוויון הפשוט:  נותר להראות ש- לא מתחלקת ב- על קבוצה זאת.
את זאת אפשר לעשות באמצעות ניתוח המקרים הבאים:
. במקרה זה, אפשר להשתמש בנוסחה לאינדוקציה של קרקטר טריוויאלי:  מנוסחה זו קל להסיק שאם  היא תת-חבורת p-סילו אז האינדוקציה לא מתחלקת ב- בנקודות שסדרן הוא חזקה של .
 מרכזי. נובעת מהמקרה הקודם מכיוון שהזזה (כפלית) באיבר מרכזי מתחלפת עם אינדוקציה.
 כללי. נובעת מהמקרה הקודם באמצעות אינדוקציה בשלבים: 

השוואה עם ההוכחה המקורית של בראואר
ההוכחה המקורית של בראואר התבססה על רעיונות דומים אך במקום לבחון את ערכי הקרקטרים מודולו - p הוא בחן את האיברים בחוג מודולו האידיאל   כאשר  הוא אידיאל ראשוני. כך שההוכחה הייתה מעט יותר מסובכת טכנית ודרשה מעט יותר רקע בתורת המספרים האלגברית.
הרעיונות המרכזיים בהוכחה
 טיפול במקרא הנילפוטנטי בנפרד.
  עבודה מעל החוג .
 עבודה מודולו ראשוני קבוע .
 שימוש בפירוק ז'ורדן לחבורות סופיות כדי לאפשר עבודה עם הקבוצות  בנפרד, כאשר   הוא איבר מסדר זר ל-  .
 שימוש באינדוקציות מהחבורה  כדי לטפל בקבוצות אלו. כאן  היא תת חבורת p-סילו של המֶרָכֶז של .
תיאור סכמתי של ההוכחה

הוכחה טופולוגית
נציג כאן את אחת ההוכחות הטופולוגיות של סניית
מניחים בשלילה שקיים קרקטר שלא ניתן להציגו כקומבינציה של קרקטרים כנדרש.
מכאן קיימת הצגה (אוניטרית)  שאיננה סכום של אינדוקציות של קרקטרים.
מסמנים ב- את המנרמל של חבורת המטריצות האלכסוניות ב-.
מסיקים שהתמונה של  לא נמצאת באף הצמדה של .
מגדירים פעולה של  על היריעה  על ידי כפל משמאל. מסיקים שלפעולה זו אין נקודות שבת.
משתמשים במשפט של לפשיץ שאומר שבמקרה כזה יש ליריעה  טריאנגולציה כך שהפעולה של  מעבירה סימפלקס לסימפלקס. יתר על כן, אין אף סימפלקס שעובר לעצמו תחת כל .
חוקרים את קומפלקס השרשרת שמחשב את ההומולוגיות של  (עם מקדמים ב-) המתאים לטריאנגולציה זו. מסיקים שהוא מורכב מהצגות של  המושרות מהצגות טריוויאליות של תתי-חבורות נאותות של .
משתמשים במשפט שאומר שההומולוגיות של  עם מקדמים ב- טריוויאליות (זאת אומרת זהות להומולוגיות של נקודה).
שמים לב לעובדה הבאה: עבור קומפלקס  של הצגות מממד סופי של , מתקיים  כאשר  מסמן קרקטר של הצגה.
מסיקים שאפשר לכתוב את הקרקטר של ההצגה הטריוויאלית כקומבינציה של קרקטרים מושרים מקרקטרים טריוויאליים של תתי-חבורות נאותות.
בדומה לשלבים 3 ו-4 בהוכחה האלגברית מסיקים שאפשר לכתוב כל קרקטר כקומבינציה של קרקטרים מושרים מקרקטרים טריוויאליים של תתי-חבורות נאותות.
מסיקים את המשפט באינדוקציה.

יישומים
בתורת ההצגות
באמצעות הדדיות פרובניוס, משפט האינדוקציה של בראואר מוביל בקלות לאפיון היסודי של קרקטרים של בראואר, הקובע שפונקציית מחלקה מרוכבת על G היא קרקטר וירטואלי אם ורק אם הצמצום שלה לכל תת-חבורה אלמנטרית של בראואר הוא קרקטר וירטואלי. תוצאה זו, יחד עם העובדה שקרקטר וירטואלי θ הוא קרקטר אי־פריק אם ורק אם θ(1)>0 ו־ (כאשר  היא המכפלה הפנימית הרגילה), מספקת דרך לבניית קרקטרים אי־פריקים מבלי לבנות במפורש את ההצגות המתאימות.

בתורת המספרים
המניע הראשוני למשפט האינדוקציה של בראואר היה יישומו לפונקציות L של ארטין. המשפט מראה שניתן להציג כל פונקציית L של ארטין בתור מכפלה של חזקות שלמות של פונקציות L של הקה. פונקציות L של הקה מהוות מקרה פרטי של פונקציות L של ארטין הדומה יותר לפונקציות L של דיריכלה. מהצגה זו ניתן להסיק שלפונקציות L של ארטין יש המשכה מרומורפית לכל המישור.

עבור פונקציות L של ארטין המתאימות לקרקטרים אותם ניתן להציג כצירוף שלם לא־שלילי של קרקטרים המושרים מקרקטרים חד-ממדיים של תת-חבורות, מתקיימת טענה חזקה יותר: ניתן להציג פונקציות אלו בתור מכפלה של פונקציות L של הקה. מהצגה זו ניתן להסיק שלפונקציות אלו יש המשכה מרומורפית לכל המישור עם לא יותר מקוטב אחד. טענה זו לא ידועה עבור פונקציות L של ארטין כלליות ונקראת השערת ארטין.

לקריאה נוספת


 On Artin's L-Series with General Group Characters - המאמר המקורי של ברואור.

הערות שוליים

קטגוריה:תורת ההצגות