משפט קושי-אדמר

במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, משפט קושי-אדמר הוא משפט המוכיח שלכל טור חזקות קיים רדיוס התכנסות, ומספק נוסחה לחישוב רדיוס זה.

המשפט נוסח לראשונה על-ידי המתמטיקאי אוגוסטן לואי קושי בשנת 1821, אם כי הוכחה על-ידו באופן שאינו ריגורוזי. המשפט התגלה מחדש והוכח כהלכה על-ידי המתמטיקאי ז'אק אדמר בשנת 1892.

 נוסח המשפט 
יהי טור חזקות  כך ש-. מגדירים . אזי:

 אם  סופי ושונה מ-0, לטור החזקות קיים רדיוס התכנסות סופי  ומתקיים . זאת אומרת שטור החזקות מתבדר כאשר  ומתכנס כאשר  . המשפט לא מספק מידע על ההתכנסות כאשר .
 אם , טור החזקות הוא פונקציה שלמה. כלומר, הטור מתכנס לכל  ורדיוס ההתכנסות הוא אינסופי.
 אם , הטור מתבדר לכל . כלומר, רדיוס ההתכנסות הוא 0.

 הוכחת המשפט 
בוחרים  כלשהו ומסתכלים על הטור . נשאלת השאלה מתי הטור הזה מתכנס.

כדי לענות על שאלה זו, אפשר להשתמש במבחן השורש לטורים מרוכבים. ממבחן השורש מקבלים:

כעת ייתכנו שלושה מקרים:

מקרה ראשון -  סופי ושונה מ-0: במקרה זה:

 אם  אז , ולפי מבחן השורש הטור מתכנס.
 אם  אז , ולפי מבחן השורש הטור מתבדר.

לכן אפשר לראות שלטור החזקות יש רדיוס התכנסות סביב  שגודלו : לכל  שבתוך רדיוס ההתכנסות הטור מתכנס, ולכל  שמחוץ לרדיוס ההתכנסות הטור מתבדר.

מקרה שני - : במקרה זה, לכל :

לכן הטור מתכנס על כל , ולכן רדיוס ההתכנסות הוא אינסופי.

מקרה שלישי - : במקרה זה, לכל :

ולכן הטור מתבדר. עבור :

והטור מתכנס. כלומר, טור החזקות מתכנס רק ב- ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 0.

מ.ש.ל.

 דוגמאות 

 טור הנדסי מרוכב 
מסתכלים על טור החזקות . במקרה זה המקדמים של הטור הם . מסתכלים על הגבול העליון של שורשי המקדמים:

לכן, לפי משפט קושי-אדמר, רדיוס ההתכנסות הוא . ואכן:

כלומר, על הרדיוס קיימת נקודה סינגולרית והיא .

 פונקציית האקספוננט 
מסתכלים על טור החזקות . במקרה זה המקדמים של הטור הם . לפי נוסחת סטרלינג . ניתן להשתמש בה כדי לחשב את הגבול העליון של שורשי המקדמים:

לכן, לפי משפט קושי-אדמר, טור החזקות מתכנס לכל . ואכן:

שהיא פונקציה שלמה.

 פונקציה לא אנליטית 
מסתכלים על טור החזקות . במקרה זה המקדמים של הטור הם . מסתכלים על הגבול העליון של שורשי המקדמים:

לכן, לפי משפט קושי-אדמר, טור החזקות מתכנס אך ורק כאשר .

 ראו גם 

 משפט קושי (תורת הטורים)
 משפט טיילור
 מבחני התכנסות לטורים

 הערות שוליים 

קטגוריה:תורת הטורים
קטגוריה:אנליזה מרוכבת
קטגוריה:אוגוסטן לואי קושי