הרחבת סקלרים

הרחבת סקלרים היא בנייה בסיסית באלגברה, המתאימה למבנה מעל שדה F מבנה בעל אותן תכונות מעל שדה גדול יותר. בפרט, הרחבת הסקלרים מאפשרת להעביר מבנים מעל שדה F למבנים מעל הסגור האלגברי , שהם בעלי אופי יותר גאומטרי. נסיגת גלואה (ראה להלן) מאפשרת לעשות את הדרך בכיוון ההפוך.

 הגדרה 

פורמלית, לכל אלגברה A מעל F (לרבות אלגברה לא אסוציאטיבית, אלגברה עם אינוולוציה, וכדומה), הרחבת הסקלרים (מ-F ל-K) של A היא האלגברה . באופן אינטואיטיבי, מדובר באותו מבנה, אלא שבמקום הסקלרים מ-F מותר כעת להשתמש בכל הסקלרים מ-K.

אכן, הרחבת הסקלרים שומרת על תכונות בסיסיות של A:
 הממד נשמר: ;
 אם F אינסופי האלגברות A ו- מקיימות את אותן זהויות פולינומיות (לרבות זהויות לא אסוציאטיביות);
 ואם A מוגדרת כאלגברה מעל F על ידי יוצרים ויחסים, אז  מוגדר כאלגברה מעל K על ידי אותם יוצרים ויחסים.

 צורות 

אומרים ש־F-אלגברות A,B הן בעלות אותה צורה אם ; ו-A נקראת צורה (form) של הרחבת הסקלרים . שכיח מאוד שלאלגברות יש אותה צורה אף כאשר הן אינן איזומורפיות, ואם כך הצורה היא תיאור מבני פשוט יותר ונגיש יותר מאשר מחלקת האיזומורפיזם של האובייקט המקורי. אם A ו-B הן אלגברות מממד סופי בעלות אותה צורה, אז קיימת הרחבה סופית K/F כך שכבר .

לדוגמה:
 אלגברה היא פשוטה מרכזית מדרגה n מעל F, אם ורק אם היא צורה של אלגברת המטריצות , כלומר .
 כל אלגברת אוקטוניונים היא צורה של אלגברת האוקטוניונים המפוצלים (וקטורי צורן),
 כל אלגברה פשוטה מרכזית עם אינוולוציה היא צורה של אחת משתיים: אלגברת המטריצות עם אינוולוציית השחלוף, או (כאשר n זוגי) אלגברת המטריצות עם האינוולוציה הסימפלקטית.

נסיגת גלואה
נסיגת גלואה (Galois descent) היא הדרך שבה אפשר לחזור מן הצורה מעל הסגור האלגברי אל האלגברות בעלות צורה זו מעל F.

תהי K/F הרחבת גלואה. אם V מרחב וקטורי מעל F, אז  פועלת על  על ידי הפעולה על הרכיב הראשון; זו פעולה שאינה K-ליניארית. אם  העתקה ליניארית, אז , וזו העתקה ליניארית מעל K. התוצאה היא שלכל אלגברה A, פעולת  על  מגדירה פעולה של אותה חבורה גם על , וכך אפשר להגדיר סכימת חבורות (כלומר חבורה אלגברית אפינית) .

למשל, המרחב הווקטורי  מגדיר באופן הזה את חבורת המטריצות ההפיכות , ואלגברת המטריצות  מגדירה את חבורת המטריצות הפרויקטיבית . האוקטוניונים מגדירים את החבורה הספורדית , ואלגברת אלברט מגדירה את החבורה הספורדית .

 מיון הצורות 

אם A,B נעשות איזומורפיות אחרי הרחבת הסקלרים ל-K, אז בחירת איזומורפיזם  מגדירה  (לכל ) ודרך כך איבר , שאינו תלוי ב-.

המשפט על נסיגת גלואה קובע כי התאמה זו היא חד-חד-ערכית: ה-K-צורות של A נמצאות בהתאמה לאברי קבוצת הקוהומולוגיה הראשונה  (שבדרך כלל אינה חבורה משום ש-G אינה אבלית). לדוגמה, האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל F המתפצלות על-ידי K, נמצאות בהתאמה ל-. את ההתאמות האלה אפשר לקחת לגבול (על פני כל הרחבות גלואה K/F), ואז מתקבלת התאמה של כלל הצורות של A לקוהומולוגיה .

 מקורות 
 Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Gille and Szamuelli.

קטגוריה:אלגברה