נוסחת הסכימה של אבל

בתורת המספרים, נוסחת הסכימה של אבל (במקורות מסוימים נקראת גם זהות אבל) היא נוסחה המקשרת בין סכום של סדרה לערך של אינטגרל. נוסחה זו משמשת לניסוח מגוון זהויות הנוגעות לפונקציות אריתמטיות ופונקציות L, וכן להוכחת נוסחת פרון .

הנוסחה נקראת על שמו של המתמטיקאי הנורווגי נילס הנריק אבל.

 סימונים 
בערך זה נסמן ב-, ,  ו- את קבוצת המספרים הטבעיים, השלמים, הממשיים והמרוכבים בהתאמה.

כמו כן, עבור  נסמן ב- את הקטע הסגור בין  ל-.

בנוסף, נסמן ב- את פונקציית הערך השלם וכן נגדיר  להיות פונקציית החלק השברי.

לבסוף, נסמן ב- את פונקציית הלוגריתם הטבעי.

 הנוסחה 
תהי סדרה כלשהי  של מספרים ממשיים או מרוכבים. מגדירים פונקציה  כך ש:

כמו כן, יהי  ופונקציה גזירה ברציפות . אזי:

נוסחה זאת נקראת נוסחת הסכימה של אבל.

 מקרים פרטיים 
אם הסדרה  מתחילה מהאינדקס  (כלומר,  לכל ), נוסחת הסכימה של אבל יכולה לקבל את הצורה:

אם משאיפים בשני צידי המשוואה את  מתקבל:

 תקציר ההוכחה 
לצורך פשטות, נוכיח רק את המקרה בו   ו- שניהם מספרים שלמים אי-שליליים. הוכחת המקרה הכללי דומה, אך דורשת כמה שלבים נוספים.

במקרה זה:

בכך כמעט מסיימים. כל שנותר כעת הוא להוכיח את השוויון בין הסכום שנותר מימין לבין האינטגרל בנוסחה.

לשם כך יש לשים לב כי לכל  מתקיים ש-. כמו כן, לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, לכל :

מכל זה מתקבל כי:

הצבת שוויון זה בנוסחה לעיל תניב את נוסחת הסכימה של אבל.

מ.ש.ל.

 דוגמאות לשימוש בנוסחה 

 מספרים הרמוניים 
יהי   לכל  ו-. ניתן לראות כי  לכל . לכן, לפי נוסחת הסכימה של אבל, לכל :

כאשר  הוא המספר ההרמוני ה--י.

מעבירים את  לאגף שמאל ומשאיפים את שני הצדדים לאינסוף. מכך מתקבל כי:

ניתן להוכיח כי האינטגרל האינסופי מימין מתכנס. משמע ההפרש בין המספר ההרמוני ה--י לבין  מתכנס לקבוע. זהו קבוע אוילר-מסקרוני אשר מסומן ב-.

הנוסחה לעיל מאפשרת למצוא את סדר ההתכנסות של סדרת ההפרשים לקבוע אוילר-מסקרוני, זאת מכיוון ש:

משמע, בסימון O גדולה:

 פונקציית ספירת המספרים הראשוניים 
מגדירים לכל :

בנוסף מגדירים:

הפונקציה  היא פונקציית המספרים הראשוניים ו- היא פונקציית צ'בישב הראשונה. באמצעות נוסחת הסכימה של אבל ניתן להראות כי לכל :

ומצד שני:

משפט המספרים הראשוניים קובע כי:

באמצעות שתי הנוסחאות לעיל ניתן להוכיח כי משפט זה שקול לכך ש:

מסיבה זו, אחת הדרכים להוכיח את משפט המספרים הראשוניים היא על-ידי ההוכחה כי  שואף ל-1.

 וריאציות על פונקציית זטא של רימן 
לכל  מגדירים:

זוהי פונקציית פון מנגולד. ניתן להוכיח כי הנגזרת הלוגריתמית  של פונקציית זטא של רימן  בתחום  היא:

מגדירים פונציה  כך שלכל  מתקיים:

זוהי פונקציית צ'בישב השנייה. אם משתמשים בפונקציה  עבור  קבוע כלשהו בתחום לעיל, ניתן להשתמש בגרסה האינסופית של נוסחת הסכימה של אבל כדי לקבל:

באופן דומה, אפשר להוכיח עבור פונקציית מרטנס  אשר מסומנת ב- שמתקיימת הזהות:

 הערות שוליים 

קטגוריה:תורת המספרים
קטגוריה:טורים מתמטיים
קטגוריה:אינטגרלים