סגור אלגברי של שדה סופי

במתמטיקה שדות שהם סגור אלגברי של שדה סופי משחקים תפקיד חשוב בהבנת שדות ממאפיין חיובי ובגאומטריה אלגברית אריתמטית. סגורים אלגבריים של שדות סופיים מאותו המאפיין הם איזומורפיים. לכן די לחקור את הסגור האלגברי של השדה הסופי  עבור כל  ראשוני. שדה זה (שהוא יחיד עד כדי איזומרפיזם לא קאנוני) מסומן ב- . אם  אז אפשר לסמן  את אותו השדה גם ב -.
כמו כן, לפעמים מסמנים שדה זה ב-   באנלוגיה עם הסימון   עבור שדות סופיים (נקראים גם שדות גלואה)
בנייה
ככול סגור אלגברי, ניתן לבנות את  באמצעות הבנייה הכללית של סגור אלגברי. אולם בנייה זו איננה מפורשת ומשתמשת באקסיומת הבחירה. אולם, במקרה זה ישנן בניות מפורשות יותר שלא משתמשות באקסיומת הבחירה. לדוגמה, ניתן לבחור שיכון של  לתוך  לכול  ואז להגדיר את   בתור איחוד עולה:

גם בנייה זו דורשת איסוף בחירות, הן השיכונים הנ"ל והן הבנייה עצמה של השדה הסופי   דורשת בחירה מסוימת, אולם לא קשה לבצע בחירות אלה באופן אחיד (אם כי שרירותי למדי) גם ללא שימוש באקסיומת הבחירה.

את הסדרה  אפשר להחליף בכל סדרה של מספרים טבעיים כך שכל איבר בסדרה מחלק את האיבר העוקב לו, וכך שכל מספר טבעי מחלק את אחד מאברי הסדרה.

תכונות
השדה  הוא שדה סגור אלגברית ממאפיין . ככזה הוא שקול סדר ראשון לכל שדה סגור אלגברית ממאפיין . יתר על כן, השדה   הוא הקטן ביותר בין השדות הסגורים אלגברית ממאפיין . זאת במובן שעבור כל שדה  סגור אלגברית ממאפיין  קיים שיכון מ  ל-. שיכון זה אינו קאנוני, אך תמונתו מוגדרת באופן יחיד. 

חבורת האוטומורפיזמים של  היא חבורת גלואה האבסולוטית של .
זו איזומרפית לחבורה  - ההשלמה הפרו-סופית  של . 

תתי השדות של  הם בדיוק ההרחבות האלגבריות של . בפרט הן כולן הרחבות גאלוה של  וכולם שדות מושלמים. הם כולם גם איחודים של שדות סופיים.

שימושים
דוגמה טיפוסית לשדה סגור אלגברית ממאפין  
כיוון ש -  שקול סדר ראשון לכל שדה סגור אלגברית ממאפין , כל טענה מסדר ראשון שמוכיחים בשבילו תקפה עבור כל שדה סגור אלגברית ממאפין  .

מאידך,   פשוט יותר משאר השדות האלה, למשל כיוון שהוא איחוד של שדות סופיים. זה מאפשר להוכיח טענות מסוימות עבורו ביותר קלות, ולהסיק אותם לשדות אחרים. לעיתים ניתן להרחיב הסקה זו לשדות שאינם סגורים אלגברית ואף שדות ממאפינים אחרים, לעיתים ניתן להרחיב שיטה זו אף לטענות שאינן מסדר ראשון. 

דוגמה קלאסית לשימוש בשיטה זו היא משפט אקס-גרותנדיק.
כאמצעי לחקר שדות סופיים
באופן כללי, אחת הדרכים המקובלות לחקור שאלות ואובייקטים מעל שדה  היא לחקור את אותם האבייקטים מעל הסגור האלגברי שלו (למעשה יש צורך בסגור הספרבילי, אך לשדות מושלמים זה אותו הדבר) ביחד עם פעולת חבורת גלואה עליהם.
במקרה שהשדה k הוא  שיטה זו הופכת ליעילה אף יותר משתי סיבות:
 חבורת גלואה נוצרת על יד אוטומורפיזם אחד (בתור חבורה פרו-סופית). אוטומורפיזם זה נקרא אוטומורפיזם פרובניוס והוא מהווה העלאה בחזקת .
אוטומורפיזם פרובניוס הוא פולינום מהשדה לעצמו - זאת אומרת שניתן להביע אותו בעזרת פעולות השדה ויש לו משמעות עבור כל אלגברה מעל השדה.

היתרון השני שימושי במיוחד בגאומטריה אלגברית. הוא מאפשר להגדיר את הפרובניוס הגאומטרי. עבור כל יריעה  המוגדרת  מעל  ניתן להגדיר יריעה  המוגדרת על ידי אותן המשוואות, אך מעל . הפרובניוס הגאומטרי הוא אנדומרפיזם של  . עבור יריעה אפינית ניתן להגדיר אנדומרפיזם זה על ידי העלאה בחזקת   את כל אחת מהקואורדינטות המתארות את הנקודה. קל להרחיב הגדרה זו להגדרה כללית.

בניה זאת ייחודית להרחבה  ואין לה אנלוגיה להרחבה כללית .
זאת בשונה מהפרובניוס האריתמטי שגם הוא פועל על היריעה , אך הוא אינו מורפיזם המוגדר מעל השדה  אלא רק מורפיזם המוגדר מעל .

בשונה מהפרובניוס האריתמטי, הפרובניוס הגאמטרי אינו אוטומורפיזם. עם זאת, הוא פועל כאוטומורפיזם על קבוצת הנקודות .

ניתן להשתמש בפרבניוס הגאומטרי על מנת לחקור את קבוצת הנקודות  באופן הבא: קבוצה זו היא קבוצת נקודות השבת של הפרובניוס הגאומטרי. רעיון זה עומד בבסיסן של השערות וייל (והוכחתן) ושל נוסחת גרותנדיק-ליפשיץ. ניתן להתאים רעיון זה לכל שדה סופי על ידי החלפת אנדומורפיזם פרבניוס בחזקה שלו (שגם נקראת לעיתים אנדומורפיזם פרבניוס).

קישורים חיצוניים
 https://planetmath.org/algebraicclosureofafinitefield
הערות שוליים

קטגוריה:תורת השדות
קטגוריה:מבנים אלגבריים יחידאים
קטגוריה:תורת המספרים