עקום אסימפטוטי

בגאומטריה דיפרנציאלית של משטחים, עקום אסימפטוטי הוא עקום שתמיד משיק לכיוון אסימפטוטי של המשטח (היכן שכיוונים כאלו קיימים). עקום כזה מכונה לעיתים גם קו אסימפטוטי, אף על פי שהוא אינו חייב להיות קו ישר.

 הגדרות 
ישנן מספר הגדרות שקולות לכיוונים אסימפטוטיים ולעקומים האסימפטוטיים הנגזרים מהם.
 הכיוונים האסימפטוטיים בנקודה של המשטח הם בדיוק האסימפטוטות של ההיפרבולה המייצגת של Dupin indicatrix דרך נקודה היפרבולית (נקודה בה עקמומיות גאוס היא שלילית), או האסימפטוטה היחידה בנקודה פרבולית (נקודה בה עקמומיות גאוס היא אפס).
 כיוון אסימפטוטי בנקודה הוא כיוון שלאורכו העקמומיות הנורמלית היא אפס. עקמומיות נורמלית  של כיוון  במישור המשיק למשטח S בנקודה מסוימת x מוגדרת כהיטל של הדיפרנציאל של וקטור יחידה נורמלי למשטח  לאורך העקומה  על כיוון המשיק  למשטח, בנקודה x. פורמלית, העקמומיות הנורמלית בכיוון המשיק לעקומה היא המכפלה הפנימית:

מכפלה זו מתאפסת כאשר  (כלומר כאשר הנורמל למשטח קבוע, או כאשר המישור המשיק נותר מקביל לעצמו) או כאשר  ניצב לוקטור הנורמל למשטח באותה נקודה. במקרה השני מקבלים שבהתקדמות לאורך עקומה אסימפטוטית, הנורמל למשטח למעשה "מסתובב" מסביב למשיק לעקומה  (תוך שמירה על זווית ישרה עם המשיק). 
 הגדרה שקולה לעקמומיות הנורמלית בכיוון  היא העקמומיות של חתך נורמלי של המשטח (חתך נורמלי נחתך מן המשטח על ידי מישור המכיל את הנורמל למשטח ואת הווקטור ) או ההיטל של וקטור העקמומיות המוחלטת של העקום האסימפטוטי על כיוון הנורמל למשטח. היטל זה מתאפס כאשר העקומה האסימפטוטית ישרה מקומית באופן "מוחלט" (כלומר ביחס למרחב ), או כאשר מרכז העקמומיות של  בנקודה x מצוי במישור המשיק למשטח. לכן, הגדרה שקולה נוספת לעקומה אסימפטוטית היא עקומה שבה בכל נקודה המישור הנושק לה והמישור המשיק למשטח מתלכדים.

 תכונות 
כיוונים אסימפטוטיים מתקיימים רק בנקודות שבהן עקמומיות גאוס היא שלילית או אפס.

 לפי משפט אוילר בגאומטריה דיפרנציאלית, ישנם שני כיוונים אסימפטוטיים דרך כל נקודה עם עקמומיות גאוס שלילית, שכל אחד מהם נמצא בין שני כיוונים ראשיים. ישנו כיוון אסימפטוטי יחיד או אינסוף כיוונים אסימפטוטיים בכל נקודה פרבולית. בנקודות אמביליות עם עקמומיות שונה מאפס, אין שום כיוון אסימפטוטי (בכל הכיוונים העקמומיות הנורמלית גדולה מאפס).

 אם משטח הוא מינימלי ואינו שטוח, אז הכיוונים האסימפטוטיים ניצבים אחד לשני (ומצויים כל אחד בזווית של 45 מעלות ביחס לכיוונים הראשיים).

 עבור משטח פריס, העקומים האסימפטוטיים הם קווים יוצרים (generatrices) ורק הם.

 אם קו ישר נכלל במשטח (כמו במקרה של משטח ישרים), אז הוא עקום אסימפטוטי של המשטח (תכונה זו נובעת מהגדרה 3).

 מכיוון שעקמומיות גאוס  מוגדרת בתור הדטרמיננטה של המטריצה המייצגת של אופרטור הצורה, ודטרמיננטה זאת נשמרת תחת שינוי בסיס, ניתן להגדיר בסיס אורתונורמלי חדש למישור המשיק המורכב מכיוון אסימפטוטי אחד והכיוון הניצב לו (במקום הכיוונים הראשיים), כך שהמטריצה המייצגת של אופרטור הצורה תישאר סימטרית. לפי התיאור הגאומטרי של הגדרה 2, האיברים (הזהים) שמחוץ לאלכסון הראשי מודדים את קצב הסיבוב של הנורמל למשטח  מסביב למשיק ; גודל זה מכונה בגאומטריה דיפרנציאלית "הפיתול הגאודזי" של העקומה (geodesic torsion) ומסומן . האיברים על אלכסון הראשי הם בדיוק העקמומיות הנורמליות של הכיוון האסימפטוטי והכיוון הניצב לו, ומכפלתן אפס על פי ההגדרה. לכן, תוצאה כמותית חשובה המאפיינת עקומים אסימפטוטיים קובעת שעליהם מתקיים:  - תוצאה זאת מכונה משפט Beltrami-Enneper.

 חישוב כיוונים אסימפטוטיים 
בהינתן הצגה פרמטרית של משטח על ידי קואורדינטות עקומות , העקמומיות הנורמלית בנקודה x בכל כיוון נתונה על ידי התבנית היסודית השנייה, שבדרך כלל מסומנת:

הכיוונים האסימפטוטיים בנקודה הם בדיוק אלו שעבורם התבנית היסודית השנייה מתאפסת, ולפיכך ניתן לקבוע אותם על ידי פירוק לגורמים ליניאריים של התבנית היסודית השנייה. אם נסמן , אז נקבל:

הכיוונים האסימפטוטיים נתונים אז על ידי:

ניתן לראות שכיוונים אסימפטוטיים קיימים רק כאשר הביטוי בתוך השורש הריבועי אינו קטן מאפס, כלומר כאשר הדיסקרימיננטה  של התבנית היסודית השנייה היא אי-שלילית, או באופן שקול כאשר עקמומיות גאוס אינה חיובית. לאחר בחירה עקבית של ענף השורש הריבועי, העקומים האסימפטוטיים הם עקומים אינטגרליים (integral curves) עבור שדה הכיוונים המתואר על ידי התבניות הדיפרנציאליות הליניאריות הללו.

 ראו גם 
 משפט אוילר בגאומטריה דיפרנציאלית

 קישורים חיצוניים 

 Lines of Curvature, Geodesic Torsion, Asymptotic Lines
 "Asymptotic line of a surface" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

הערות שוליים

קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית
קטגוריה:עקומות