משפט בוטמה

בגאומטריה, משפט בוטמה הוא משפט הנוגע לבניית ריבועים על גבי משולש כלשהו.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי ההולנדי אונה בוטמה.

 נוסח המשפט 
ממוזער|תצוגה חזותית של משפט בוטמה: הזזה של נקודה A אינה משנה את המיקום של נקודה M
נתון משולש כלשהו . בונים על גבי הצלע  את הריבוע  ועל גבי הצלע  את הריבוע  כך ששני הריבועים פונים אל חוץ המשולש.

מותחים קטע  ומסמנים ב- את נקודת האמצע שלו ().

משפט בוטמה קובע כי בהינתן שהנקודות  ו- קבועות, הנקודה  אינה תלויה בבחירת הנקודה , עד כדי בחירת חצי המישור (מעל  או מתחתיו).

כלומר,  תהיה באותו חצי המישור של  ביחס לישר , אך מלבד זאת אינה תלויה במיקומו המדויק של .

יתר על כן, הנקודה  היא הנקודה היחידה בחצי מישור זה המקיימת את התכונות הבאות:




כלומר, המשולש  הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים.

 הוכחות 

 הוכחה טריגונומטרית 
ממוזער|תצוגה חזותית של ההוכחה הטריגונומטרית למשפט בוטמה
מסמנים:

 , , 
 , 

באמצעות משפט הסינוסים במשולש  ניתן להגיע לשוויון . באופן דומה, באמצעות משפט הקוסינוסים במשולש  ניתן להגיע לשוויון .

כעת, מורידים שלושה אנכים אל הישר  מהנקודות ,  ו- שפוגשות את הישר  בנקודות ,  ו- בהתאמה. מאחר שהישרים  ו- מאונכים לאותו ישר, הם בהכרח מקבילים זה לזה, משמע  הוא טרפז ישר-זווית.

על ידי חישובים של זוויות צמודות וסכום זוויות במשולש מקבלים ש- ו-. מאחר שהמשולשים  ו- הם ישרי זווית, מתקבל ש- ו-, אך כאמור , משמע  .

בנוסף, הנקודה  חוצה את הקטע  ו- מקבילה לשני בסיסי הטרפז  ו-, משמע ש- הוא קטע אמצעים בטרפז , ולכן בהכרח הוא חוצה את  הצלע השנייה, כלומר . על ידי חיסור קטעים שווים מתקבל ש-.

כעת, על-פי נוסחת אורך קטע אמצעים בטרפז:

.

כלומר, הקטע  מאונך ל-, חוצה אותו ושווה למחצית אורכו. כל זה מתקיים רק במקרה בו המשולש  הוא ישר-זווית ושווה-שוקיים.

מ.ש.ל.

הערה חשובה: ההוכחה לעיל נכונה רק כאשר הזוויות  ו- הן זוויות חדות. אם אחת מהן קהה, אז הריבוע הנשען עליה יורד מתחת לישר . במקרה זה, המשוואות הטריגונומטריות נשארות זהות, אך ההצדקה שלהן משתנה מעט.

 הוכחה במישור המרוכב 
ממוזער|תצוגה חזותית של ההוכחה המרוכבת של משפט בוטמה
מציבים את תרשים הבעיה במישור המרוכב כך שהנקודה  נמצאת ב-. מסמנים את הנקודות  ו- ב- ו- בהתאמה.

מאחר שהנקודה  נמצאת באותו מרחק מ- כמו  ובזווית של  ביחס ל- נגד כיוון השעון, היא נמצאת ב-.

הקטע המכוון  שווה ל-. מאחר שהנקודה  נמצאת באותו מרחק מ- כמו  ובזווית של  ביחס ל- עם כיוון השעון, הקטע המכוון  שווה ל-, משמע  נמצאת ב-.

הנקודה  נמצאת במרכז הקטע  לכן:

.

כלומר,  תלויה רק ב- שהיא הנקודה , ולא תלויה ב- שהיא הנקודה  (היא כן תלויה ב- שנבחרה שרירותית להיות ב-).

ניתן לשים לב כי , לכן  נמצאת בזווית של  ביחס ל- ואורכה קטן פי  ממנה. כל זאת יכול לקרות רק כאשר המשולש  הוא ישר-זווית ושווה-שוקיים.

מ.ש.ל.

 קישורים חיצוניים 

 גרסה אינטראקטיבית של משפט בוטמה באתר של Wolfram Demonstrations.


 ראו גם 

 משפט נפוליאון
 משפט ואן אובל

 הערות שוליים 

קטגוריה:משפטים בגאומטריה
קטגוריה:משולש
קטגוריה:מרובעים