משפט ניבן

במתמטיקה, ובפרט בטריגונומטריה, משפט ניבן הוא משפט העוסק ברציונליות של ערכי פונקציית הסינוס והקוסינוס.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי האמריקאי-קנדי איבן ניבן אשר פרסם הוכחה שלו בשנת 1956.

ניתן להשתמש במשפט ניבן כדי להוכיח גרסאות דומות לפונקציות הסקאנס, הקוסקאנס, הטנגנס והקוטנגנס.

 סימונים ומוסכמות 
נסמן ב-, ,  ו- את קבוצת המספרים הטבעיים, השלמים, הרציונליים והממשיים בהתאמה.

בערך זה ערכן של פונקציות טריגונומטריות מחושב ברדיאנים.

 מבוא ומוטיבציה 
בהינתן מספר רציונלי  ניתן להוכיח כי  הוא בהכרח מספר אלגברי. הוכחה זו מתבססת על כך שקיימים זוג מספרים טבעיים  כך ש- ולכן  הוא שורש של הפולינום  כאשר  הוא פולינום צ'בישב מהסוג הראשון מדרגה .

ידוע כי לא כל מספר אלגברי הוא בהכרח מספר רציונלי. על כן, נשאלת השאלה: באילו מקרים מתקיים שגם  וגם ?

משפט ניבן מוכיח שבכל תחום נתון, כמו למשל התחום , מספר ערכי  שמקיימים תנאי זה הוא סופי וידוע.

 נוסח המשפט 

 גרסה לפונקציית הסינוס 
תהי זווית  כך ש- הוא רציונלי וגם  רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:

  ו-
  ו-
  ו-

 גרסה לפונקציית הקוסינוס 
תהי זווית  כך ש- הוא רציונלי וגם  רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:

  ו-
  ו-
  ו-

 הוכחה 
מכיוון ומתקיימת הזהות הטריגונומטרית , שתי הגרסאות של המשפט שקולות זו לזו.

לכן, די להוכיח את הגרסה לפונקציית הקוסינוס כדי להוכיח את המשפט כולו.

מגדירים סדרת פולינומים במקדמים שלמים  אשר מוגדרת רקורסיבית באופן הבא:



  לכל .

ניתן להוכיח כי לפולינומים אלו התכונות הבאות:

 לכל  הפולינום  הוא מדרגה .
 לכל , הפולינום  הוא פולינום מתוקן (כלומר, האיבר המוביל של הפולינום הוא ).
 לכל  ולכל  מתקיימת הזהות .
הפולינומים  מהווים גרסה מתוקנת של פולינומי צ'בישב.

כעת, מניחים כי  היא זווית העומדת בתנאי המשפט. לכן קיימים  זרים זה לזה כך ש-.

מסמנים . לפי ההנחות על ,  הוא מספר רציונלי אי-שלילי (זאת מכיוון שהפונקציה  מקבלת ערכים אי-שליליים בלבד בתחום ).

מכאן מתקיים כי:

מגדירים פולינום חדש  ומקבלים ש- הוא שורש רציונלי שלו.  הוא פולינום מתוקן במקדמים שלמים, לכן לפי משפט השורש הרציונלי, כל שורש רציונלי שלו חייב להיות שלם, כלומר . מצד שני, . לכן, הערכים היחידים ש- יכול לקבל הם ,  ו- ובהתאמה  יכול לקבל אך ורק את הערכים ,  ו-. הפונקציה  מונוטונית יורדת ממש בתחום , לכן הערכים המתאימים היחידים ש- יכול לקבל לכל  כנ"ל הם ,  ו- בהתאמה.

מ.ש.ל.

 הכללות ומסקנות 

 הכללה לזווית כללית 
משפט ניבן עוסק בזוויות בתחום . עם זאת, ניתן להשתמש בזהויות הטריגונומטריות  ו- כדי להכליל את המשפט לזווית  כללית. משמעות הדבר היא שהערכים הרציונליים היחידים ש- ו- יכולים לקבל כך שגם  תהיה גם רציונלית הם ,  ו-.

 גרסה לפונקציית הטנגנס 
תהי זווית  כך ש- הוא רציונלי וגם  רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:
  ו-
  ו-

 הוכחה 
תהי  זווית העומדת בתנאי המשפט. מסמנים . באמצעות זהויות טריגונומטריות ניתן להוכיח כי:

לכן, מאחר ש- רציונלי בהכרח גם  רציונלי. כלומר, הזווית  עומדת בתנאים של משפט ניבן לפונקציית הקוסינוס בתחום . לכן הערכים היחידים ש- יכול לקבל הם מהקבוצה . משמע הערכים היחידים ש- יכול לקבל הם מהקבוצה .

על ידי בחינה של כל אחד מהערכים הללו ניתן להוכיח שהערכים היחידים שעבורם  הוא אכן רציונלי הם  ו-.

מ.ש.ל.

 גרסה לפונקציית הקוטנגנס 
תהי זווית  כך ש- הוא רציונלי וגם  רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:
  ו-
  ו-

 הוכחה 
ההוכחה לגרסה זו זהה להוכחה לגרסת הטנגנס, אך עושה שימוש בזהות הטריגונומטרית:

 מצולע משוכלל שקודקודיו על סריג 
מסתכלים על הסריג  עבור  ובוחרים מתוכו  נקודות היוצרות מצולע משוכלל (מצולע שכל צלעותיו וכל זוויותיו שוות).

אזי, הערכים היחידים ש- יכול לקבל הם .

 הוכחה 
לוקחים שלוש נקודות סמוכות על גבי המצולע .

בגלל שהמצולע משוכלל ובעל  צלעות  ו-. כמו כן מסמנים .

ניתן לראות כי . באופן דומה אפשר להראות כי .

ממשפט הקוסינוסים על המשולש  מקבלים:

על כן הזווית  מקיימת את תנאי משפט ניבן והערכים היחידים שהיא יכולה לקבל הם מהקבוצה .

מאחר ש- מספר טבעי שגדול או שווה ל-3, הערכים היחידים שהוא יכול לקבל הם .

להלן דוגמאות למצולעים שכאלו עבור הסריג התלת-ממדי:

 משולש שווה-צלעות: 
 ריבוע: 
 משושה משוכלל: 

מ.ש.ל.

 הבהרה לגבי מצולע משוכלל על סריג דו-ממדי 
על אף שההוכחה לעיל אינה משתמשת במספר הממדים  של הסריג, ניתן להראות כי הטענה אינה נכונה לסריג הדו-ממדי .

ניתן להראות באמצעות משפט פיק שלא ניתן לבנות משולש שווה-צלעות על הסריג הדו-ממדי. מסיבה זו, גם לא ניתן לבנות משושה משוכלל על הסריג הדו-ממדי, שכן אחרת אפשר היה לקחת כל קודקוד שני שלו וליצור משולש שווה-צלעות.

עם זאת, ניתן לבנות על הסריג הדו-ממדי את הריבוע הסטנדרטי .

 ראו גם 

 שדה המספרים הניתנים לבנייה

קישורים חיצוניים



 הערות שוליים 

קטגוריה:משפטים בטריגונומטריה
קטגוריה:משפטים באלגברה