איבר רגולרי (תורת לי)

איבר באלגברת לי או חבורה אלגברית (בדרך כלל פשוטות למחצה או רדוקטיביות) נקרא רגולרי אם המֶרַכֶּז שלו הוא מהממד (אלגברה ליניארית) הקטן ביותר האפשרי.
לאיברים הרגולריים יש חשיבות בהבנת מבנה המסלולים של הפעולה הצמודה של חבורה אלגברית (או חבורת לי) על אלגברת הלי שלה. המסלולים של איברים אלה הם "הגדולים ביותר" מקרב כל המסלולים, ואפשר לראות בהם כפשוטים ביותר. כמעט כל האיברים הם רגולריים. בין כל האיברים הרגולריים, הפשוטים ביותר להבנה הם הרגולריים הפשוטים למחצה. כמעט כל האיברים הם גם כאלה. בעבר הביטוי "איבר רגולרי" התייחס הרבה פעמים לאיברים רגולריים פשוטים למחצה בלבד.

מקרה מעינין של איברים רגולריים באלגברת לי הם איברים רגולריים ב- .  אלגברת הלי  היא אלגברת כל המטריצות . אבירים רגולרים בה הן מטריצות  שהמֶרַכֶּז שלהן הוא -ממדי. בהקשרים של תורת לי, נהוג לקרא להן מטריצות רגולריות. אולם בהקשרים אחרים הביטוי "מטריצה רגולרית"  מתייחס למטריצה הפיכה. בעבר היה מקובל השם "מטריצה לא מפחיתה" (non-derogatory) עבור איברים רגולריים של .
המקרה של 
מטריצה  בגודל  מעל שדה    היא איבר רגולרי ב  אםם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים:
הפולינום המינימלי של  שווה לפולינום האופייני שלה.
מעלת הפולינום המינימלי של  היא הגבוהה ביותר מבין מעלות הפולינומים המינימליים של מטריצות בגודל של . מעלה זו היא .
ממד המֶרַכֶז של  הוא הקטן ביותר מבין ממדי המרכזים של מטריצות בגודל של  . ממד זה הוא  .
המרכז של  הוא אוסף הפולינומים ב-.
ממד אוסף הפולינומים ב- הוא הגדול ביותר מבין ממדי אוסף הפולינומים במטריצות בגודל של  . ממד זה הוא  .
קיים וקטור  שיוצר  את המרחב ביחס ל- . זאת אומרת ש  -  פורשים את המרחב 
  דומה למטריצה מלווה.
בצורת ז'ורדן של   (מעל הסגור האלגברי של  ) יש בלוק יחיד לכל ערך עצמי. במילים אחרות, הריבוי הגאומטרי של כל ערך עצמי (מעל הסגור האלגברי של  ) של   הוא 1.
ממד (קרול) של המסלול של  תחת הצמדה ב-  הוא הגדול ביתר מבין ממדי המסלולים של  מטריצות ב-    תחת הצמדה ב -  . ממד זה הוא .
המסלול של  תחת הצמדה ב-  פתוח (זריצקי) באוסף כל המטריצות אם אותו פולינום אופייני כמו של .
המסלול של  תחת הצמדה ב-  צפוף (זריצקי) באוסף כל המטריצות עם אותו פולינום אופני כמו של .
המסלול של  תחת הצמדה ב-  לא נמצע בסגור (זריצקי) של אף מסלול אחר של  מטריצוה ב-    תחת הצמדה ב -  .
 היא נקודה חלקה באוסף כל המטריצות אם אותו פולינום אופייני כמו של .
 היא נקודה רגולרית ביחס להעתקת שבלה. זאת אומרת שהדיפרנציאל של העתקת שבלה ב-   הוא על. נזכיר כי העתקת שבלה היא העתקה בין אוסף המטריצות    ובין אוסף הפולינומים המתוקנים ממעלה  המעתיקה כל מטריצה לפולינום האופייני שלה.
הערות: 
 אם   שדה מקומי, אז בכל התנאים השקולים הנ"ל ניתן להחליף את טופולוגית זריצקי בטופולגיה שבאה מהשדה  והם יישארו שקולים.
 גרסאות של תכונות 3, 9-14 מהוות הגדרות שקולת לאיבר רגולרי גם באלגבראות לי באופן כללי.

הערות שוליים

קטגוריה:תורת לי
קטגוריה:מטריצות