הגישה היחסית של גרותנדיק

הגישה היחסית של גרותנדיק היא גישה לחקר בעיות ואובייקטים מתמטיים הקרויה על שמו של אלכסנדר גרותנדיק, אשר עשה בה שימוש נרחב. אפשר לחלק את הגישה לשני רעיונת מרכזיים:
כשחוקרים אובייקט כלשהו כדאי לחקור באותו האופן גם משפחות של אובייקטים מסוג זה.
הדרך לטפל במשפחה של אובייקטים מקטגוריה מסוימת היא על ידי העתקה בין שני אובייקטים בקטגוריה זו:

כך, לאובייקט  יש תפקיד של הפרמטר של המשפחה, ועבור נקודה  ב-, האובייקט המתאים במשפחה הוא הסיב . כדי שתהיה לפרוש זה משמעות, צריכה להיות משמעות למושג "נקודה ב-", אך לגישה היחסית של גרותנדיק יש משמעות גם אם אין מושג ברור של נקודה באובייקט. עם זאת, הגישה רלוונטית בעיקר כאשר האובייקטים האמורים הם גאומטריים.

הגישה החיסית של גרותנדיק שימושית בעיקר בגאומטריה אלגברית והיא עומדת בבסיסם של מושגים רבים מתוחם זה. מושג הסכמה מותאם מאוד לעבודה עם הגישה היחסית. תוצאות רבות בגאומטריה אלגברית הוכחו בזכות גישה זו. שימוש בגישה היחסית יעיל במיוחד כאשר מחברים אותו לשימוש בשיטת ה. דוגמה קלאסית לשימוש בשילוב זה הוא ההוכחה של השערות וייל.

הגישה היחסית מותאמת בעיקר לתחומי גאומטריה בהם הסיב של העתקה הוא גם אובייקט גאומטרי מאותו הסוג (למשל בגאומטריה אלגברית). היא קשה יותר ליישום בתורות גאומטריות אחרות, כמו בטופולוגיה דיפרנציאלית שבה הסיב של העתקה בין יריעות חלקות לאו דווקא מהווה יריעה חלקה.
הגישה היחסית בתורת הקטגוריות
קטגוריה מעל
בהינתן קטגוריה  ואובייקט  בתוכה, מגדירים את הקטגוריה מעל  (ה-overcategory של ) להיות אוסף כל הזוגות המורכבים מאובייקט  והעתקה . מורפיזם בין 2 זוגות  ו-  הוא העתקה  כך שהדיאגרמה

קומוטטיבית.

לעיתים מסמנים קטגוריה זו ב- . האובייקטים בקטגוריה זו נקראים אובייקטים ב- מעל  או בקצרה אובייקטים מעל . לפי הגישה היחסית, ניתן לראות באובייקטים אלה, משפחות של אובייקטים ב- כשאוסף הפרמטרים לאיברי המשפחה הוא .

שינוי בסיס
בהינתן מורפיזם בין 2 אובייקטים: ב-, ניתן להגדיר באמצעות מכפלת סיבים (כשזאת קיימת) פנקטור 
על ידי:

כאשר ההעתקה מ- ל- מוגדרת להיות ההיטל.
פנקטור זה נקרא שינוי בסיס לאורך .

באופן אינטואיטיבי שינוי הבסיס הוא רה-פַּרמטריזציה של המשפחה. במילים אחרות כל איברי המשפחה  הם גם איבר המשפחה  אך מתאימים לפרמטרים ב- , זאת כיוון שבהינתן נקודה  ב  (בהנחה שיש משמעות מוגדת למושג הנקודה) אז הסיב של  מעל  איזומורפי (קנונית) לסיב של  מעל .

סיבים של משפחות
בקטגוריות רבות יש מושג של נקודה. בדרך כלל בוחרים אובייקט מסוים  שרואים בו כנקודה אבסטרקטית (ז.א. נקודה שעומדת בפני עצמה ואיננה נקודה באובייקט מסוים). ואז, עבור אובייקט , מגדירים נקודה ב- בתור העתקה . בדרך כלל בוחרים את  להיות האובייקט הסופי של .
תחת מוסכמות אלה, מגדירים סיב של משפחה  בנקודה  בתור . כך שלמעשה הסיבים אינם סתם אובייקטים ב  אלא אובייקטים מעל . עם זאת, כאשר  הוא האובייקט הסופי ב , אין הבדל בין אובייקטים ב  ובין אובייקטים מעל ,

כל ההסברים למעלה על הקשר בין שינוי בסיס לסיבים הופכים להיות פורמליים תחת מוסכמות אלו.

הגישה היחסית ופנקטור הנקודות
גם כאשר אין מושג מוסכם של נקודה, אפשר לצקת משמעות במושג הסיב באופן הבא: ניתן להחליף את  בכל אובייקט . זה מוביל למושג ה - -נקודות המוגדר כך:
-נקודה של אובייקט  היא מורפיזם מ- ל-.

הפנקטור שמתאים ל -  את קבוצת ה-נקודות של  נקרא פנקטור הנקודות של  (או הפנקטור המיוצג על ידי ). הלמה של יונדה אומרת שניתן לשחזר את  מפנקטור זה.

בהינתן משפחה , אובייקט  ו - -נקודה , ניתן להגדיר את הסיב של המשפחה  בנקודה  להיות .
אינטגרציה של משפחות
בהינתן העתקה  ניתן לראות באובייקט  כאיחוד של כל איברי המשפחה המוגדרת על ידי . לא מדובר באיחוד כללי (כמו בקו-מכפלה) אלא באיחוד שלוקח בחשבון את מבנה המשפחה. לעיתים קוראים לאיחיד זה "אינטגרל" של המשפחה.

למושג זה של אינטגרל יש גם גרסה יחסית - "אינטגרציה של משפחות של משפחות".
בהינתן צמד העתקות  כל נקודה  ב  נותנת משפחה:
 כך שמתקבלת משפחה של משפחות. ניתן לבצע אינטגרציה לכל אחת מהמשפחות האלה ולקבל משפחה שמרחב הפרמטרים שלה הוא .

ברמה של העתקות, משפחה זו מיוצגת על ידי ההרכבה .
מושג ההרכבה הוא בסיסי מאוד מנקודת מבט של העתקות. אולם לפי נקודת המבט של הגישה היחסית הוא נותן בניה מורכבת בהרבה - אינטגרציה.

הגישה היחסית בגאומטריה אלגברית
סכמות כגרסה יחסית של יריעות
בקטגוריית הסכמות יש אבייקט סופי. לכן קטגוריית הסכמות שקולה לקטגוריית האובייקטים מעל אובייקט סופי זה. אובייקט זה הוא . אולם,  אינו מתנהג כנקודה אחת מבחינה גאומטרית. מבחינה זו הוא דומה יותר לעקום או אף לאובייקטים מורכבים יותר.

את התפקיד של נקודות בגאומטריה אלגברית משחקות הסכמות מהסוג  כאשר  הוא שדה (בהקשרים מסוימים דורשים מ- להיות סגור אלגברית או לפחות סגור ספרבילית). ל- יש -נקודה יחידה. בהתאם ניתן לראות בכל סכמה משפחה של -סכמות כאשר  רץ על כל השדות. במקרים רבים -סכמות אלה (או לפחות הרדוקציות שלהן) הן יריעות אלגבריות. לעיתים ממקדים את תשומת הלב במקרה שבו  הוא שדה ראשוני. זה מתאים לכך שעוברים על כל הנקודות בספקטרום הראשוני של . כך כל סכמה  (מטיפוס סופי) נותנת משפחה של יריעות אלגבריות  מעל כל שדה מהסוג  כאשר  רץ על כל הראשוניים ועוד יריעה אלגברית אחת  מעל השדה  המהווה מעין גבול של  כאשר  שואף לאינסוף.

כאשר הסכמה איננה מטיפוס סופי, נקודת מבט זו פחות יעילה. זאת מכיוון, שבמקרה זה, הסכמות  גם אינן מטיפוס סופי (בדרך כלל) ובהתאם אינן יריעות. עם זאת, במקרים רבים, סכמות שאינן מטיפוס סופי, מועתקות על ידי העתקה מטיפוס סופי לסכמה אחרת, קלה להבנה. לדוגמה, יריעה אלגברית (לא ריקה) מעל  איננה מטיפוס סופי כסכמה, אולם ההעתקה שלה ל- היא מטיפוס סופי.

לכן, בתורת הסכמות, חוקרים, לצד סכמות אבסטרקטיות, גם סכמות מעל סכמה קבועה . בהתאם לגישה היחסית, אלו הן משפחות של סכמות המאונדקסות על ידי נקודות ב-. המלה "נקודת" בהקשר זה יכולה להתייחס הן ל- נקודות, עבור שדה  והן לנקודות של  בתור מרחב טופולוגי מחויג.

בדרך כלל מתמקדים בסכמות מטיפוס סופי מעל  (זאת אומרת שההעתקה ל  היא מטיפוס סופי).
 היא סכמה מטיפוס סופי מעל  אז הסיבים שלה (לאחר רדוקציה) הן יריעות אלגבריות. כך שסכמות מטיפוס סופי מעל  נותנות משפחה של יריעות אלגבריות.

מונחים וטענות בגאומטריה אלגברית וגרסאותיהם היחסיות
בהתאם לאמור מעלה, כאשר מנסים להכליל מושג או טענה על יריעות אלגבריות לעולם של סכמות, בדרך כלל לא מכלילים אותו ישירות לסכמות, אלא להעתקות בין סכמות. הכללה כזו אמורה לשקף את המושג או הטענה עבור משפחות של יריעות אלגבריות.

בהתאם מקובל מילון בין טענות ומושגים הקשורים ליריעות אלגבריות ובין טענות ומושגים הקשורים להעתקות בין סכמות. מילון זה אינו מושלם. יש מושגים הקשורים ליריעות אלגבריות שאין להם אנלוג מוסכם להעתקות או שיש כמה כאלה. מאידך יש מושגים הקשורים להעתקות שאין להם משמעות ליריעות.

הטבלה להלן מדגימה מילון זה:
+יריעות אלגבריותהעתקות בין סכמותהערותתכונותיריעה חלקההעתקה חלקהיריעה סופיתהעתקה קוואזי סופית/העתקה סופית/העתקת אטליריעה אפיניתהעתקה אפיניתיריעה פרויקטיביתהעתקה פרויקטיביתיריעה שלמההעתקה נאותהיריעה פרידההעתקה פרידהאיןהעתקה שטוחההעובדה שהעתקה היא שטוחה, לא אומרת דבר על סיביה (אלו הם האיברים במשפחה המוגדרת על ידי ההעתקה). זאת מכיוון שכל העתקה לספקטרום של שדה היא שטוחה. לכן אין אנלוג למושג השטיחות עבור יריעות. המשמעות של שטיחות מנקודת המבט של הגישה היחסית, נוגעת לאופן התלות של איבר במשפחה בפרמטר (מעין רציפות).איןהעתקה מטיפוס סופילא כל העתקה לספקטרום של שדה היא מטיפוס סופי. כך שהעובדה שמשפחה המוגדרת על ידי העתקה מטיפוס סופי אומרת משהוא על איברי המשפחה. אולם, לפי ההגדרה, כל היריעות הם מטיפוס סופי, לכן אין אנלוג לתכונה זו עבור יריעות.כל תכונה מקומית העתקה שטוחה שסיביה מקיימים את התכונה משפטיםמשפט רימן-רוך-הירצברוךמשפט רימן-רוך-גרותנדיקמשפט רימן-רוך-הירצברוך תקף ליריעות אנליטיות ולא רק ליריעות אלגבריות. משפט רימן-רוך-גרותנדיק הוא גרסה יחסית של המקרה האלגברי של משפט רימן-רוך-הירצברוך. זו אחת הדוגמאות הראשונת לשימוש בגישה היחסית. גישה זו לא רק הובילה להכללה של המשפט המקורי, אלא גם להוכחה פשוטה יותר שלו. אם זאת המשפט המקורי הוכח קודם לכן מבלי להשתמש בגישה היחסית.נוסחת גרותנדיק ליפשיץ (רוב השערות וייל)התחלפות התאמת אלומה לפונקציה עם הדחיפה הנאותהזוהי דוגמה קלאסית לשימוש בגישה היחסית. במקרה זה, הדרך להוכיח את המשפט המקורי הייתה להוכיח את המשפט היחסי שהווה הכללה שלו.השערת וייל המהווה אנלוג של השערת רימן (זו שהוכחה אחרונה)חסם על המשקלים בדחיפה של אלומת וייל טהורה.משפט הנורמליזציה של נתרכל העתקה מטיפוס סופי מתפקטרת על קבוצה פתוחה (לא ריקה) להעתקה סופית והיטל ממכפלה עם מרחב אפיניהגרסה היחסית מהווה את עיקר הוכחת משפט שבלה על קבוצות ניתנות-לבנייה
לא כל תכונה של העתקה מתאימה להיחשב כתכונה של משפחה. בדרך כלל מקובל שתכונות של משפחות יציבות לגבי רה-פרמטריזציה, בהתאם אנחנו מצפים מתכונות כאלה להיות יציבות לגבי שינוי בסיס. תכונות כמו סגירות ופתיחות של העתקה אינן כאלה. יש גם תכונות יציבות לגבי שינוי בסיס ויכולת להחשב לתכונות של משפחה, אך אין בהן עינין רב ככאלה. לדוגמה חד-חד ערכיות.

מאידך יש מספר תכונות של סכמות שאינן מתאימות להחשב כתכונות של משפחות, ואין להן אנלוג טבעי עבור סכמות מעל סכמה נתונה .
לדוגמה, רגולריות, נותריות, ובמדה מסוימת גם ממד ואי פריקות.

הגישה היחסית ככלי הוכחה
בהינתן טענה על יריעות אלגבריות,
במקרים רבים, קל יותר להוכיח גרסה שלה עבור העתקות בין יריעות (או סכמות) מאשר את הטענה עצמה. גרסה כזאת תהיה כללית יותר מהטענה עצמה ולכן תגרור אותה.
הסיבה לכך שקל יותר להוכיח טענה יחסית נעוצה בכך שהיא מאפשרת לנו מקרי ביניים רבים שאליהם אפשר לעשות רדוקציה. כלי הרדוקציה הנוסף שהיא מאפשרת הוא האינטגרציה. לפעמים אפשר להוכיח שאם משפחה של יריעות מקיימת את הטענה (וכך גם יריעת הפרמטרים של משפחה זו), אז כך גם האינטגרל שלה. ברמה הטכנית זה אומר שאם שתי העתקות מקיימות את הטענה אז כך גם הרכבתן. כיוון שניתן לקבל יריעות מסובכות באמצעות אינטגרלים של משפחות של יריעות פשוטות יותר, הדבר מאפשר להוכיח את הטענה באינדוקציה ליריעות יותר ויותר מסובכות.

כשלעצמה, שיטה זו מוגבלת. זאת מכיוון שיריעות רבות לא ניתן להציג כאינטגרל של יריעות פשוטות יותר. אולם השילוב עם דה-ויסז' הופך את השיטה לכלי רב עוצמה להוכחת משפטים בגאומטריה אלגברית.
שילוב עם דה-ויסז'
בגאומטריה אלגברית, דה-ויסז' הוא הרעיון שבמקרים רבים ניתן להסיק טענה מסוימת עבור יריעה  מקיומה של טענה זו עבור תת-קבוצה פתוחה  ב-  ועבור המשלים שלה. בעוד שקשה להציג יריעה כללית  כאינטגרל של יריעות פשוטות יותר, קל בהרבה למצוא ב- תת-קבוצה פתוחה (לא ריקה) , אותה ניתן להציג כאינטגרל של יריעות פשוטות יותר. מכאן ניתן להשתמש בדה-ויסז' כדי להוכיח את הטענה באינדוקציה נתרית.

דוגמה שימושית להצגה של (משפחות של) יריעות כאינטגרל של משפחות פשוטות יותר נתונה על ידי הלמה הבאה:

למה: עבור העתקה  של יריעות אלגבריות כך שכל רכיבי  הם ממימד חיובי קיימת קבוצה פתוחה צפופה  והעתקות כך ש- חלקה, סיביה הם עקומים ו.

למה זו שימושית במיוחד כיוון שהיא מאפשרת (בשילוב עם הגישה היחסית ודה-ויסז') לבצע רדוקציה של טענות על יריעות כלליות, לטענות על עקומים. לצד למה זו יש עוד טענות המשחקות תפקיד דומה (בשילוב עם הגישה היחסית ודה-ויסז'), לדוגמה, הגרסה היחסית של למת הנורמליזציה של נתר המוזכרת למעלה.

להלן המחשה של השילוב בין הגישה היחסית לדה-ויסז' לצורך הוכחת טענה על יריעות אלגבריות:
 מנסחים גרסה יחסית של הטענה עבור העתקות בין יריעות אלגבריות (או סכמות).
 לצורך העינין, נכנה העתקה טובה אם היא מקיימת את הטענה הנדרשת. בהתאם נאמר שיריעה היא טובה אם ההעתקה בינה לנקודה טובה.
 המטרה היא להוכיח באינדוקציה (על מימד תחום ההגדרה למשל) שכל העתקה היא טובה.
 בסיס האינדוקציה. מוכיחים שיריעה (או סכמה) 0-ממדית היא טובה. בהקשר של יריעות מעל שדות סגורים אלגברית, הדבר שקול לכך שנקודה היא טובה. לכן, בדרך כלל מדובר בשלב טריוויאלי.
מוכיחים שעקום פרויקטיבי חלק הוא טוב. זה בדרך כלל פשוט למדי. ניתן להשתמש לצורך זה בכלים רבים מגאומטריה אלגברית קלאסית ומתורת העקומים האלגבריים, למשל במשפט רימן רוך.
 מוכיחים שעקום חלק הוא טוב. לפעמים זה נובע מידית מהשלב הקודם, לפעמים זה מוכח באותו האופן. לפעמים (למשל במקרה של השערות וייל) מדובר בשלב מסובך יותר, שנובע משני השלבים הקודמים על ידי דה-ויסז' (הפוך).
מוכיחים שהעתקה חלקה שסיביה הם עקומים (חלקים) היא טובה. לעיתים (כמו במקרה של השערות וייל) שלב זה נובע מידית מהשלב הקודם, לעיתים ניתן להוכיחו בצורה דומה לשלב הקודם, ולעיתים הוא דורש הוכחה מסובכת יותר, למשל תוך שימוש בדה-ויסז' לפי טווח ההעתקה ובמקרה הצורך בהתרת סינגולריות.
 מוכיחים שהרכבה של העתקות טובות היא טובה. זו הנקודה המרכזית בה אנו עושים שימוש בגישה היחסית.
 מסיקים משלבים 4, 7, 8, והלמה למעלה (באמצעות הנחת האינדוקציה) שעבור העתקה  קיימת קבוצה פתוחה צפופה  כך ש-  היא טובה.
 מוכיחים שהטענה הנדרשת מתאימה לדה-ויסז': בהינתן  וקבוצה פתוחה , אם  ו-  הן טובות אז כך גם .
 מסיקים את הטענה הנדרשת משני השלבים האחרונים (ומהנחת האינדוקציה).

ראו גם
סיב
מכפלת סיבים
פורמליזם שש הפעולות של גורתנדיק

השערות וייל

לקריאה נוספת
 דיון ב־stack exchange בגישה
 סכמות יחסיות באתר nLab.

הערות שוליים

קטגוריה:גאומטריה אלגברית
קטגוריה:תורת הקטגוריות