אלגברת טמפרלי-ליב

אלגברת טמפרלי-ליב היא אלגברת דיאגרמות מממד סופי, שיש לה שימושים אלגבריים וקומבינטוריים. הוגדרה ב-1971 על ידי Neville Temperley ו-Elliott Lieb, במסגרת עבודתם על מודלים במכניקה סטטיסטית.

 מבנה 
 יוצרים ויחסים 
יהי R חוג קומוטטיבי עם איבר . אלגברת טמפרלי-ליב  היא אלגברה אסוציאטיבית עם איבר יחידה מעל R, הנוצרת על ידי איברים  המקיימים את היחסים
  לכל i;
  לכל i;
  כאשר .
באמצעות היחסים האלו אפשר להביא כל מונום לצורת ג'ונס נורמלית, , כאשר  ו-. האיברים בצורה הנורמלית מהווים בסיס לאלגברת טמפרלי-ליב. למשל,  מהווים בסיס ל-.

הממד של אלגברת טמפרלי-ליב הוא מספר קטלן: .

האלגברה  היא תת־אלגברה של אלגברת בראואר
 (אלגברת החבורה של מונויד בראוור), ולכן גם של אלגברת החלוקות .

מעל המרוכבים, אלגברת טמפרלי-ליב מסדר n היא חוג פשוט למחצה לכל  מחוץ לקבוצה סופית ידועה. כל אלגברות טמפרלי-ליב מסדר n הפשוטות למחצה איזומורפיות זו לזו.

 אלגברת דיאגרמות 
אפשר לפרש את היוצרים של אלגברת טמפרלי-ליב בתור דיאגרמות, באופן הבא. נאמר שסבך פשוט הוא מלבן ש-n נקודות מסומנות על צד שמאל ועל צד ימין שלו, והנקודות שלו מחוברות בזוגות בקשתות שאינן חוצות זו את זו. איבר היחידה הוא הסבך הפשוט שבו כל נקודה מחוברת לזו שמולה. היוצר  הוא הסבך הפשוט שבו הנקודות i,i+1 מחוברות זו לזו (גם מימין וגם משמאל), ושאר הנקודות מחוברות לנקודות שמולן. הכפל של שני סבכים פשוטים נעשה על ידי הצבתם זה לצד זה, כאשר כל לולאה סגורה המתקבלת מן ההצמדה מוחלפת בקבוע .

 הצגות 
נניח ש- פשוטה למחצה. המודולים הפשוטים של האלגברה הם  עבור  המקיימים . ממדי המודולים האלה הם

ידוע בסיס דיאגרמטי למודולים הפשוטים. ידועים גם כללי ההסתעפות של המודולים הפשוטים של אלגברת בראוור עבור אלגברת טמפרלי-ליב.

 לקריאה נוספת 
 לואי קאופמן, "Knots and Physics", הוצאת World Scientific, 1991.
 רודני בקסטר, "Exactly Solved Models in Statistical Mechanics", Academic Press, 1982.

קטגוריה:תורת הקשרים