דינמיקת לנז'בן

דינמיקת לנז'בן היא שיטה מתמטית לתיאור דינמיקה של מערכות פיזיקליות הנתונות גם לכוחות דטרמיניסטיים וגם להשפעות אקראיות. הכלי המרכזי של השיטה הוא משוואת לנז'בן, שהיא משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית. דינמיקת לנז'בן מהווה בסיס חשוב במחקרי פיזיקה סטטיסטית, כימיה פיזיקלית, ביופיזיקה ודינמיקה מולקולרית.

 היסטוריה 
דינמיקת לנז'בן התפתחה בראשית המאה ה־20 מתוך הרצון להבין כיצד מערכות פיזיקליות מתנהגות כאשר הן נמצאות באינטראקציה מתמדת עם סביבתן. הרקע ההיסטורי לכך היה חקר התנועה הבראונית - תנועתם האקראית של חלקיקים זעירים במים, שנצפתה כבר במאה ה־19 והציבה אתגר תאורטי וניסויי לפיזיקאים.

בשנת 1905 הציע אלברט איינשטיין תיאור מתמטי סטטיסטי לתופעה, שחיבר בין התנועה האקראית לבין המבנה האטומי של החומרEinstein, A. "On the movement of small particles suspended in stationary liquids required by the molecular-kinetic theory of heat", Annalen der Physik 17 (1905).. מספר שנים לאחר מכן הציע פול לנז'בן גישה שונה – במקום להתמקד בהסתברויות, הוא תיאר ישירות את הדינמיקה של החלקיק הבודד תוך שילוב בין כוחות דטרמיניסטיים וכוחות אקראיים שמייצגת הסביבה. רעיון זה נחשב צעד חשוב בהבנת מערכות פתוחות ובפיתוח התיאור הסטוכסטי בפיזיקה.

אחד האימותים הבולטים של התיאוריה הגיע מניסוייו של ז'אן פרן, שהצליח למדוד בפועל את קבוע אבוגדרו באמצעות ניתוח התנועה הבראוניתPerrin, J. Mouvement brownien et réalité moléculaire (1909).. עבודתו זיכתה אותו בפרס נובל לפיזיקה בשנת 1926, וסימנה נקודת ציון מרכזית בקבלת הרעיון שהחומר מורכב מחלקיקים בדידים.

לאורך המאה ה־20 התפתחה דינמיקת לנז'בן לכלי מתמטי מרכזי בפיזיקה הסטטיסטית ובמדעי החומר. בתחילה התמקדו היישומים בתנועת חלקיק בודד, אולם בהמשך הורחבה התאוריה גם למערכות רבות־חלקיקים ולתחומים מגוונים: דינמיקה קריטית, תהליכי נוקלאציה, קורסנינג, תנועת ממשקים, מערכות זכוכית וספין־זכוכיות.

בעשורים האחרונים קיבלה הדינמיקה מקום חשוב גם בתחומים חדשים, כגון חקר חומר פעיל, תרמודינמיקה סטוכסטית ותיאורמות תנודות, והיא נחשבת עד היום לאחד הכלים המרכזיים לתיאור מערכות פיזיקליות מורכבות הנתונות לרעש והשפעות סביבתיותB. Tanygin, S. Melchionna, "Comparison of effective and stable Langevin dynamics integrators", Computer Physics Communications 299, 109152 (2024)..

 תיאור מתמטי 
במקרה הפשוט ביותר של חלקיק בעל מסה :

כאשר:
  – מקדם החיכוך,
  – רעש לבן גאוסי עם תוחלת אפס,
  – כוח חיצוני.

עקרון מרכזי הוא הפלוקטואציה–דיסיפציה, הקובע קשר ישיר בין עוצמת הרעש לבין החיכוך והטמפרטורה. ניתן לתאר את הדינמיקה גם באמצעות משוואת פוקר–פלאנק, המגדירה את ההתפלגות ההסתברותית של מצבי המערכת.

 אינטגרציה נומרית ושיטות חישוב 
משוואת לנז'בן היא משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית, ולכן הפתרון שלה בסימולציות מחשב נעשה באמצעות אינטגרטורים נומריים. בחירה נכונה של האינטגרטור משפיעה על יציבות החישוב, על הדיוק בשימור התכונות הסטטיסטיות ועל יעילות הסימולציה.

במהלך השנים פותחו אינטגרטורים רבים לדינמיקת לנז'בן, שכל אחד מהם מבוסס על קירוב שונה של האופרטור הליוביליאני ועל אופן טיפול בכוח האקראי. בין הבולטים ניתן למנות:

BBK (Brooks–Brünger–Karplus) – הרחבה של אינטגרטור ורלה (Verlet), שבו נוסף טיפול בכוח החיכוך וברעש הסטוכסטי. זהו אינטגרטור ותיק אך סובל מבעיות יציבות בצעד זמן גדול.

Verlet עם פרמטר λ (λ05–VV) – גרסה משופרת של ורלה שבה מכניסים בקירוב ליניארי את ההשפעה של החיכוך והרעש.

GJF (Grønbech-Jensen–Farago) – אינטגרטור המשלב קירוב טרפזי למונחי הכוח, ומתאפיין בדיוק גבוה גם בצעדי זמן גדוליםGrønbech-Jensen, N., & Farago, O. "A simple and effective Verlet-type algorithm for simulating Langevin dynamics", Molecular Physics 111 (2013)..

EB (Ermak–Buckholz) – פתרון כמעט סגור של משוואת לנז'בן בהנחת כוח קבוע בתוך צעד הזמן. מתאים במיוחד למצבים שבהם נדרשים צעדי זמן גדוליםErmak, D. L., & Buckholz, H. "Numerical integration of the Langevin equation: Molecular dynamics simulation of polymer chains", J. Comput. Phys. 35 (1980)..

BD (Brownian Dynamics) – הגבול האוברדאמפדי של EB, המתאר ישירות את דיפוזיית החלקיקים תוך הזנחת האינרציה.

LI (Langevin Impulse) – אינטגרטור המבוסס על אינטרפולציה דו־נקודתית של הכוחות, שנועד לשפר את הדיוק במערכות עם כוחות משתנים במהירות.

vGB82 – שיטה נוספת לאינטרפולציה ליניארית של הכוחות, שהוצעה על ידי van Gunsteren ו־Berendsenvan Gunsteren, W. F., & Berendsen, H. J. C. "Algorithms for Brownian dynamics", Molecular Physics 45 (1982)..

BAOAB – אינטגרטור מודרני המשלב מבנה סימפלקטי ותכונות יציבות מצוינות. נחשב כיום לאחד המדויקים ביותר בשימור ההתפלגות הקנונית ובתיאור פונקציות קורלציהLeimkuhler, B., & Matthews, C. "Rational construction of stochastic numerical methods for molecular sampling", Applied Mathematics Research Express 2013 (2013)..

 תרמוסטט לנז'בן (Langevin thermostat) 
תרמוסטט לנז'בן הוא מנגנון לשליטה על טמפרטורה בסימולציות דינמיקה מולקולרית. התרמוסטט מוסיף לכוחות הפועלים על כל חלקיק גם רכיב חיכוך פרופורציונלי למהירות () וגם כוח אקראי () שמייצג התנגשויות עם חלקיקי הסביבה. כתוצאה מכך, הטמפרטורה הממוצעת של המערכת נשמרת סביב הערך הרצוי.

השיטה מבטיחה דגימה נכונה מההתפלגות הקנונית (אנצמבל NVT) והיא נפוצה בתוכנות סימולציה כגון GROMACS ו־LAMMPS.

 Langevin Monte Carlo 
באלגוריתם זה, המכונה לעיתים Overdamped Langevin Dynamics, עושים שימוש בצעד חישוב מהצורה:

כאשר  הוא פוטנציאל המערכת ו־ רעש גאוסי.

השיטה מאפשרת לבצע דגימה מונטה קרלו יעילה מהתפלגות בולצמן, והיא נפוצה בלמידת מכונה (למשל לשיטות Bayesian sampling) ובסטטיסטיקה חישובית.

 משפט הפלוקטואציה–דיסיפציה 
משפט זה קובע קשר אוניברסלי בין רעש תרמי לבין כוחות דיסהיפטיביים (חיכוך). למשל, עוצמת הכוח האקראי  פרופורציונלית למקדם החיכוך  ולטמפרטורה :

משפט זה מהווה עקרון בסיסי בפיזיקה סטטיסטית ומבטיח שהמערכת תגיע לשיווי משקל תרמודינמי נכון.

 יישומים חישוביים 
דינמיקת לנז'בן מהווה כיום חלק בלתי נפרד מספריות קוד פתוח לסימולציות דינמיקה מולקולרית, כגון ESPResSo, GROMACS ו־LAMMPS. שימוש בגישה זו מאפשר לדמות:
 נוזלים מורכבים כמו תרחיפים קולואידיים ונוזלים ביולוגיים.
 חקר תהליכים תרמיים במולקולות ביולוגיות, כולל קיפול חלבונים ותגובות אנזימטיות.
 דיפוזיה תחת שדות חיצוניים (כגון כבידה או שדות חשמליים).
 מערכות מגנטיות כמו פרופילי חלקיקי פרומגנט (Ferrofluids).

היתרון המרכזי של אינטגרטורים מבוססי לנז'בן הוא היכולת לאזן בין תיאור דינמי פיזיקלי לבין שליטה על סטטיסטיקת הקאנוניקלית (NVT), ובכך לאפשר סימולציות יציבות ואמינות גם בהיקפים גדולים.

 ראו גם 
 משוואת לנז'בן
 תנועה בראונית
 משוואת פוקר–פלאנק
 פיזיקה סטטיסטית

הערות שוליים

קטגוריה:מערכות דינמיות