חבורת שבלי

חבורות שבלי הן חבורות ליניאריות המוגדרות מתוך מערכת השורשים של אלגברות לי פשוטות למחצה. הדוגמאות הראשונות הוגדרו על ידי  ב-1955.

למעשה, הבניה של חבורות שבלי מגדירה סכימות חבורה, המגדירות חבורות מעל כל שדה. מעל שדה סגור אלגברית, חבורות שבלי (יחד עם התבניות המצורפות) הן בדיוק החבורות האלגבריות הפשוטות הקשירות.

 הגדרה 
תהי L אלגברת לי פשוטה למחצה מעל . תהי H תת-אלגברת קרטן של L. תהי  מערכת השורשים של H. תהי  מערכת של שורשים פשוטים. יהי  בסיס שבלי של L. תהי  הצגה נאמנה של L על מרחב וקטורי V מממד סופי. מתברר שיש סריג  ב-V שהוא אינווריאנטי לכל הפעולות  (לכל  ולכל מספר טבעי m). יהי R חוג קומוטטיבי כלשהו. נסמן . לכל שורש , הפונקציה  מגדירה הומומורפיזם  (זהו סכום סופי משום שכל
 הוא נילפוטנטי).

חבורת שבלי המתאימה ל-(L,V,R) היא תת-החבורה של  הנוצרת על ידי התמונות של  (לכל השורשים יחד).

 מבנה 
סטיינברג (לשדות סופיים) והאמפריז (למקרה הכללי) הוכיחו שחבורת האוטומורפיזמים של חבורת שבלי G נוצרת על ידי ארבעה סוגי אוטומורפיזמים: פנימיים, "אלכסוניים" (כלומר כאלו המושרים על ידי חבורה אלגברית שבה G נורמלית), אוטומורפיזמים של שדה ההגדרה, ואוטומורפיזמים של דיאגרמת דינקין של מערכת השורשים.

קישורים חיצוניים


קטגוריה:אלגברות לי