תורת השמורות

תורת השמורות (גם תורת האינווריאנטים, בעקבות האנגלית: Invariant theory) היא ענף של אלגברה מופשטת העוסק בפעולות של חבורות על יריעות אלגבריות, ובפרט על מרחבים וקטוריים, מנקודת מבט של פעולת החבורות על מרחבי פונקציות על היריעות. באופן קלאסי, התורה עסקה בשאלת התיאור המפורש של פונקציות פולינומיות שאינן משתנות, או שהן אינווריאנטיות, תחת איברי חבורה ליניארית נתונה. לדוגמה, אם ניקח את פעולת ה  על המרחב הליניארי של כל המטריצות n על n על ידי כפל משמאל, אז הדטרמיננטה היא פונקציה פולינומית שאינווריאנטית תחת פעולה זו (מכיוון שהדטרמיננטה של A X שווה לדטרמיננטה של X, כאשר A נמצא ב- ) וכל פונקציוה פולינומית אחרת שאינווריאנטית תחת הפעולה היא פולינום בדטרמיננטה.

מבוא
יהיו  חבורה ו- מרחב וקטורי מממד סופי מעל שדה  (שבתורת השמורות הקלאסית היה בדרך כלל שדה המספרים המרוכבים). כל   משרה פעולת חבורה של  על . אם  הוא  על , אז פעולת החבורה של  על  משרה פעולה על  לפי הנוסחה הבאה:

בפעולה זו טבעי להתייחס לתת-המרחב של כל הפונקציות הפולינומיות שהן אינווריאנטיות תחת פעולת החבורה, כלומר קבוצת הפולינומים כך ש- לכל . מרחב זה של פולינומים אינווריאנטיים מסומן .

הבעיה הראשונה של תורת השמורות היא  האם  הוא אלגברה נוצרת סופית מעל ?

דוגמה: אם  ו- הוא מרחב המטריצות הריבועיות, והפעולה של  על  ניתנת על ידי כפל משמאל, אז  איזוצורפי לחוג פולינומים במשתנה יחיד, שנוצר על ידי הדטרמיננטה. במילים אחרות, במקרה זה, כל פולינום אינווריאנטי הוא צירוף ליניארי של חזקות הפולינום הדטרמיננטי. לכן, במקרה זה  נוצר סופית מעל .

במקרה שבו החבורה , ומאפיין השדה  הוא 0, התשובה חיובית, כלומר החוג  נוצר סופית מעל . 

אם התשובה חיובית, השאלה הבאה היא למצוא בסיס מינימלי. שאלה אחרת שנשאלה היא: בהינתן בסיס בן n איברים, האם מודול היחסים הפולינומיים בין איברי הבסיס נוצר סופית מעל חוג הפולינומים ב n משתנים. משפט הבסיס של הילברט גורר שהתשובה תמיד חיובית. 

לתורת השמורות של חבורות סופיות יש קשרים הדוקים עם תורת גלואה. אחת התוצאות העיקריות הראשונות הייתה המשפט העיקרי על הפונקציות הסימטריות שמתאר את האינווריאנטים של החבורה הסימטרית  הפועלת על חוג הפולינומים  על ידי תמורות של המשתנים. באופן כללי יותר,  מאפיין חבורות סופיות שאלגברת האינווריאנטים שלהן היא חוג פולינומים. מחקר מודרני בתורת השמורות של חבורות סופיות מדגיש תוצאות "אפקטיביות", כגון גבולות מפורשים על דרגות היוצרים. המקרה של מאפיין חיובי, הוא תחום של מחקר פעיל, עם קשרים לטופולוגיה אלגברית.

תורת השמורות של חבורות אינסופיות קשורה קשר הדוק להתפתחות האלגברה הליניארית, ובמיוחד לתורות של תבניות ריבועיות ודטרמיננטות. נושא נוסף בעל השפעה הדדית חזקה היה גאומטריה פרויקטיבית. אחד משיאי הקשר הזה הוא . תורת ההצגות של  שורשיה בתורת השמורות.

עבודתו של דויד הילברט על שאלת נוצרות סופית של אלגברת השמורות (1890) הביאה ליצירת דיסציפלינה מתמטית חדשה, אלגברה מופשטת. מאמר מאוחר יותר של הילברט (1893) עסק באותן שאלות בדרכים קונסטרוקטיביות וגאומטריות יותר, אך נותר כמעט בלתי ידוע עד שדייוויד ממפורד החזיר את הרעיונות הללו לחיים בשנות ה-60 של המאה ה-20, בצורה כללית ומודרנית יותר, ב שלו. במידה רבה הודות להשפעתו של ממפורד, נושא תורת השמורות נתפס ככולל את תורת הפעולות של חבורות אלגבריות ליניאריות על יריעות אלגבריות אפיניות ויריעות אלגבריות פרויקטיביות. ג'אן-קרלו רוטה ואסכולתו פיתחו ענף נפרד של תורת השמורות, שראשיתו בשיטות הקונסטרוקטיביות והקומבינטוריות הקלאסיות של המאה התשע עשרה. דוגמה בולטת למעגל רעיונות זה ניתנת על ידי . הבעיה הארבע-עשרה של הילברט הייתה בעיה פתוחה בתורת השמורות, עד לפתרונה ב-1958 על ידי מסיושי נגטה.

דוגמה
דוגמאות פשוטות לתורת השמורות מגיעות מחישוב המונומים האינווריאנטיים מפעולת חבורה. לדוגמה, נבחן את פעולת  על :

כיוון ש- הם המונומים מהדרגה הנמוכה ביותר שהם אינווריאנטיים, נקבל ש-

דוגמה זו מהווה בסיס לביצוע חישובים רבים.

שורשים במאה התשע עשרה
ארתור קיילי ביסס לראשונה את תורת השמורות במאמרו "On the Theory of Linear Transformations" ("על תורת הטרנספורמציות הליניאריות") מ-1845. בפתיחת מאמרו נותן קיילי קרדיט למאמר משנת 1841 של ג'ורג' בול (המאמר של בול נקרא Exposition of a General Theory of Linear Transformations). את המונח Invariant טבע ג'יימס ג'וזף סילבסטר, שנמנה אף הוא עם מייסדי תורת השמורות.

באופן קלאסי, המונח "תורת השמורות" מתייחס לחקר פולינומים הומוגניים אינווריאנטיים לפעולתן של העתקות ליניאריות. זה היה תחום מחקר מרכזי בחלק האחרון של המאה התשע עשרה. תאוריות עכשוויות הקשורות לחבורה הסימטרית ולפונקציות סימטריות, אלגברה קומוטטיבית, מרחבי מודולים ו שורשיהם בתחום זה.

ביתר פירוט, בהינתן מרחב וקטורי V בעל ממד סופי n, נוכל לשקול את האלגברה הסימטרית S(Sr(V)) של הפולינומים מדרגה r מעל V, ואת הפעולה GL(V) עליו. למעשה, מדויק יותר לשקול את האינווריאנטים היחסיים של GL(V), או הצגות של SL(V), אם אנחנו הולכים לדבר על אינווריאנטים: הסיבה לכך היא שמכפלה סקלרית של היחידה תפעל על טנזור בעל דרגה r ב-S(V) דרך 'משקל' החזקה ה-r של הסקלר. הנקודה היא אז להגדיר את התת-אלגברה של האינווריאנטים I(Sr(V)) עבור הפעולה. המקרה שנחקר הכי הרבה היה אינווריאנטים של צורות בינאריות כאשר n = 2.

עבודה נוספת כללה את זו של פליקס קליין בחישוב החוגים האינבריאנטיים של פעולות חבורה סופיות על  (, המסווגות לפי ); אלו הם חוגי הקואורדינטות של . חלוצים נוספים בפיתוח תורת השמורות הם פאול גורדן, אמי נתר, אלפרד קלבש ולואיג'י קרמונה. 

עבודתו של דויד הילברט, שהוכיחה כי I(V) הוצג באופן סופי במקרים רבים, כמעט שמה קץ לתורת השמורות הקלאסית למשך מספר עשורים, אם כי התקופה הקלאסית בנושא נמשכה עד לפרסומים הסופיים של , יותר מ-50 שנה מאוחר יותר. חישובים מפורשים למטרות מסוימות ידועים בעת המודרנית.

ראו גם
 שמורה (מתמטיקה)
 משפט הבסיס של הילברט

קישורים חיצוניים

Hanspeter Kraft, Claudio Procesi, Classical Invariant Theory, a Primer, July 1996


הערות שוליים

*