מעוין פרנל

מעוין פרנל הוא פריזמה אופטית המציגה הפרש פאזה של 90° בין שני רכיבי קיטוב ניצבים, בעזרת שתי החזרות פנימיות גמורות. אם הקרן הפוגעת מקוטבת באופן ליניארי בזווית של 45° למישורי הפגיעה וההחזרה, הקרן היוצאת תהיה מקוטבת באופן מעגלי, ולהפך. אם הקרן הפוגעת מקוטבת ליניארית בכיוון שאינו מתואם למישור ההחזרה, הקרן היוצאת תהיה מקוטבת אליפטית, כאשר אחד מהצירים הראשיים שלה ימוקם במישור ההחזרה (או בניצב לו, בהתאמה).

המעוין מקבל בדרך כלל צורה של מקבילית ישרה, הגוף המוצק הנדון הוא מקבילית (Parallelepiped) בעל שש פאות. כאשר קרן אור פוגעת בניצב לאחת משתי הפאות המלבניות הקטנות שלו, זווית הפגיעה וההחזרה בשתי הפאות הארוכות יותר שוות לזווית החדה של המקבילית. זווית זו נבחרת באופן ספציפי כך שכל החזרה פנימית יוצרת הפרש פאזה של 45° בין הרכיבים המקוטבים המקבילים והניצבים למישור ההחזרה. עבור מקדם שבירה נתון וגבוה מספיק, ישנן שתי זוויות העומדות בקריטריון זה; לדוגמה, מקדם שבירה של 1.5 דורש זווית של 50.2° או 53.3°.

בניגוד לכך, עבור זווית פגיעה והחזרה קבועה, הפרש הפאזה הנוצר על ידי המעוין תלוי באופן בלעדי במקדם השבירה שלו, המשתנה במידה מזערית בלבד בתחום הספקטרום הנראה לפיכך המעוין מתפקד כאילו היה לוח רבע גל רחב פס בניגוד ללוח רבע גל קונבנציונלי בעל שבירה כפולה, שהפרש הפאזה שלו רגיש יותר לתדר (צבע) האור. החומר שממנו עשוי המעוין בדרך כלל זכוכית אינו צריך להיות חומר בעל שבירה כפולה.

מעוין פרנל קרוי על שם ממציאו, הפיזיקאי הצרפתי אוגוסטן ז'אן פרנל, שפיתח את המכשיר בין השנים 1817 ו-1823. במהלך תקופה זו הוא השתמש בניסויים שכללו שבירה כפולה וסיבוב אופטי, שכולם תרמו לקבלתה של תאוריית הגל הרוחבי של האור.

 דרך פעולה 
גלים אלקטרומגנטיים פוגעים (כגון אור) מורכבים מתנודות רוחביות בשדות החשמליים והמגנטיים פרופורציונליים וניצבים זה לזה, ולכן ניתן לייצג את שניהם (לדוגמה) באמצעות השדה החשמלי בלבד. כאשר פוגעים בממשק, ניתן לפרק את תנודות השדה החשמלי לשני רכיבים ניצבים, המכונים רכיבי ה-s וה-p, המקבילים למשטח ולמישור הפגיעה, בהתאמה; במילים אחרות, רכיבי ה-s וה-p ריבועיים ומקבילים בהתאמה למישור הפגיעה.
אור העובר דרך מעוין פרנל עובר שתי החזרות פנימיות מלאות באותה זווית פגיעה שנבחרה בקפידה. לאחר שיקוף כזה, רכיב p מתקדם ב-1/8 מחזור (45°; π/4 רדיאנים) יחסית לרכיב s. עם שתי השתקפויות כאלה, מתקבלת הזזת פאזה יחסית של רבע מחזור (90°; π/2).Jenkins & White, 1976, p.532. המילה 'יחסי' היא קריטית: מכיוון שאורך הגל קטן מאוד בהשוואה לממדי מכשירים אופטיים טיפוסיים, קשה לצפות בהתקדמות הפאזה הנפרדת של רכיבי ה-s וה-p. אולם, את הפרש הפאזה ביניהם ניתן לצפות בקלות דרך השפעתו על מצב הקיטוב של האור היוצא.

אם האור הנכנס מקוטב באופן ליניארי (מקוטב מישורי), רכיבי ה-s וה-p נמצאים בתחילה בפאזה; לפיכך, לאחר שתי השתקפויות, "רכיב ה-p נמצא 90° קדימה בפאזה", כך שהקיטוב של האור היוצא הוא אליפטי עם צירים ראשיים בכיווני ה-s וה-p (איור1). באופן דומה, אם האור הנכנס מקוטב בצורה אליפטית עם צירים בכיווני ה-s וה-p, האור היוצא מקוטב באופן ליניארי.

במקרה המיוחד שבו רכיבי ה-s וה-p נכנזים לא רק נמצאים בפאזה אלא גם בעלי גודל שווה, הקיטוב הליניארי ההתחלתי הוא בזווית של 45° למישור הפגיעה וההחזרה, והקיטוב האליפטי הסופי הוא מעגלי. כאשר אור מקוטב מעגלית נבדק באמצעות מנתח (מקטב שני), הוא ייראה כ'נטול קיטוב' לחלוטין, שכן עוצמתו הנצפית אינה תלויה בכיוון המנתח. עם זאת, אם אותו אור עובר דרך מעוין (Rhomb) שני, הוא יקוטב מחדש בזווית מסוימת. של 45° למישור ההחזרה באותו מעוין. תכונה שאינה משותפת לאור רגיל (לא מקוטב).

 מכשירים קשורים 
עבור קיטוב קלט כללי, ההשפעה נטו של המעוין זהה לזו של לוח רבע גל כפול שובר גל במערכות דו-שבירות (בעלות שבירה כפולה), לוח גל פשוט (simple wave plate) מספק הפרדת פאזה רצויה של 90° רק בתדר בודד, ולא (אפילו לא בקירוב) במגוון רחב של תדרים. לעומת זאת, הפרדת הפאזה המתקבלת באמצעות המעוין תלויה במקדם השבירה שלו, המשתנה רק במעט על פני טווח תדרים רחב (ראו: "פיזור"). ניתן להשתמש בשני מעוינים פרנל יחד (בדרך כלל מחוברים בצמנט כדי למנוע השתקפויות בממשק שלהם) כדי להשיג את הפונקציה של לוח חצי גל. לסידור הטנדם, בניגוד למעוין פרנל יחיד, יש את התכונה הנוספת שהקרן היוצאת יכולה להיות קוליניארית עם הקרן הפוגעת המקורית.

 תאוריה 
לשם קביעת הסטת הפאזה הנוצרת בעת ההחזרה, נדרש לבחור מוסכמה לסימן מקדם ההחזרה, המוגדר כיחס שבין האמפליטודה המוחזרת לאמפליטודה הפוגעת. במקרה של רכיבי s, שעבורם התנודות הפוגעות והמוחזרות הן שניהם נורמליות (מאונכות) למישור הפגיעה, הבחירה המתבקשת היא לומר שמקדם החזרה חיובי, המתאים להסטת פאזה אפסית, הוא כזה שעבורו לשדות הפוגעות ולשדות המוחזר יש את אותו כיוון (ללא היפוך; ללא "אינוורסיה"). במקרה של רכיבי p, מאמר זה מאמץ את המוסכמה לפיה מקדם החזרה חיובי הוא כזה שבו השדה הפוגע והשדה המוחזר נוטים כלפי אותו תווך. בקיצור, מקדם החזרה נחשב חיובי כאשר הרכיב של השדה האלקטרומגנטי הניצב למישור הפגיעה (הווקטור החשמלי עבור קיטוב s, או הווקטור המגנטי עבור קיטוב p) שומר על כיוונו לאחר ההחזרה. (אך יש להזהיר את הקורא כי חלק מהמחברים משתמשים במוסכמה שונה עבור רכיבי p, וכתוצאה מכך הסטת הפאזה המוצהרת שונה ב-180° מהערך שניתן כאן).

עם מוסכמת הסימן שנבחרה, הפאזה מתקדמת בהחזרה פנימית כוללת, עבור רכיבי ה-s וה-p, ניתנים בהתאמה על ידיCf. Jenkins & White, 1976, p.529.

ו-

כאשר θi היא זווית הפגיעה, כאשר n מוגדר כמקדם השבירה היחסי בין התווך הפנימי, בעל צפיפות אופטית גבוהה יותר, לבין התווך החיצוני, בעל צפיפות אופטית נמוכה יותר.. (עם זאת, ישנם מחברים המשתמשים במקדם השבירה ההדדי,Examples include Born & Wolf (1970, p.49, eqs.60) and Stratton (1941, p.499, eqs.43). Furthermore, Born & Wolf define  and  as arguments rather than phase shifts, causing a change of sign. כך שהביטויים שלהם עבור הזזות הפאזה נראים שונים מהנ"ל.)
ממוזער|522x522 פיקסלים|תמונה 2: התקדמות פאזה בהשתקפויות "פנימיות" עבור מקדמי שבירה של 1.55, 1.5 ו-1.45 ("פנימי" יחסית ל"חיצוני"). מעבר לזווית הקריטית, הקיטובים - p (אדום) ו-s (כחול) עוברים היסט פאזה לא שוויוני בהחזרה פנימית מלאה; ההבדל הנצפה מקרוסקופית בין היסטים אלה מסומן בשחור.
התקדמות הפאזה של רכיב ה-p יחסית לרכיב ה-s ניתנת לאחר מכן על ידיStratton, 1941, p.500, eq.(44). The corresponding expression in Born & Wolf (1970, p.50) is the other way around because the terms represent arguments rather than phase shifts.



עקומה זו, המסומנת בשחור באיור 2, מציגה את הפרש הפאזה עבור זוויות פגיעה החורגות מהזווית הקריטית, לשלושה ערכים שונים של מקדם השבירה. ניתן לראות בבירור כי מקדם שבירה של 1.45 אינו מספק ליצירת הפרש פאזה של 45°, בעוד שמקדם שבירה של 1.5 מספיק (בהפרש זעום) כדי לתת הפרש פאזה של 45° בשתי זוויות פגיעה: כ-50.2° ו-53.3°.

עבור θ גדול מהזווית הקריטית, הזזות הפאזה בהחזרה מלאה נגזרות מהערכים המרוכבים של מקדמי ההחזרה. לצורך הצגה מלאה, איור 2 מציג בנוסף את הזזות הפאזה הקשורות להחזרה חלקית, עבור θ קטנה מהזווית הקריטית. במקרה האחרון, מקדמי ההחזרה עבור רכיבי ה-s וה-p הם ממשיים, ומתבטאים בנוחות על ידי חוק הסינוס של פרנלFresnel, 1866, pp.773,789n; Hecht, 2002, p.115, eq.(4.42).

וחוק המשיק של פרנלFresnel, 1866, pp.757,789n; Hecht, 2002, p.115, eq.(4.43).

כאשר θi היא זווית הפגיעה ו-θt היא זווית השבירה (עם סימן t עבור i המועברת), והסימן של התוצאה האחרונה הוא פונקציה של המוסכמה שתוארה לעיל.Also used in the histories by Whittaker (1910, p.134) and Darrigol (2012, p.213), and in the texts by Born & Wolf (1970, p.40, eqs.21a) and Jenkins & White (1976, p.524, eqs.25a). (חסרונה של מוסכמה זו בא לידי ביטוי בכך שלשני המקדמים סימנים מנוגדים ככל שמתקרבים לתדירות הנורמלית. עם זאת, יתרונה המקביל הוא שהם שומרים על אותם סימנים בפגיעה המשיקה.)

על פי חוק הסינוס של פרנל,  חיובי לכל זוויות הפגיעה שבהן קיימת קרן מועברת (מכיוון  עבור פגיעה צפופה עד נדירה), מה שנותן היסט פאזה  של אפס. אבל, לפי חוק המשיק שלו,  שלילי עבור זוויות קטנות (כלומר, קרוב לזוויות תקיפה נורמליות), ומשנה סימן בזווית ברוסטר, כאשרθi θt משלימים זה את זה. לכן, הזזת הפאזה  היא 180° עבור θ קטן, אך נעלם (מגיע ל-0°) בזווית ברוסטר..כאשר משלבים את עקרון הקומפלמנטריות עם חוק סנל, מתקבל  כזווית ברוסטר עבור שכיחות צפופה-נדירה.

זה משלים את המידע הדרוש כדי לשרטט  ו- עבור כל זוויות הפגיעה באיור.2, שבו  מסומן באדום ו- בכחול. בסולם זווית הפגיעה (ציר אופקי), זווית ברוסטר היא המקום שבו  (אדום) יורד מ-180° ל-0°, והזווית הקריטית היא המקום שבו גם  וגם  ההחזרים (המסומנים באדום וכחול) מתחילים לעלות שוב. משמאל לזווית הקריטית נמצא אזור ההחזרה החלקית; באזור זה, שני מקדמי ההחזרה הם ממשיים (בעלי פאזה של 0∘ או 180∘) וגודלם קטן מ-1. מימין לזווית הקריטית נמצא אזור ההחזרה המלאה; שם, שני מקדמי ההחזרה הם מרוכבים, וגודלם שווה ל-1.

באיור2, מחשבים את הפרש הפאזה  על ידי חיסור סופי; אך אך ניתן לבטא אותו בדרכים אחרות. פרנל עצמו, בשנת 1823,Buchwald, 1989, pp.394, 453; Fresnel, 1866, pp.759, 786–787, 790. נתן נוסחה עבור  .Born and Wolf (1970, עמ'.50) גזרו ביטוי עבור  ומצאו את המקסימום שלו אנליטית.

 היסטוריה 
 רקע 
אוגוסטן-ז'אן פרנל הגיע לחקר ההחזרה הפנימית המוחלטת דרך מחקרו על קיטוב. בשנת 1811, פרנסואה אראגו "התגלה כי אור מקוטב עובר "דה-פולריזציה" (ביטול קיטוב) באופן התלוי בכיוון ובצבע, כאשר הוא מועבר דרך פרוסת גביש דו-שביר. האור היוצא מן הגביש הציג צבעים ברורים בעת צפייה דרך מנתח (מקטב שני). "קיטוב כרומטי", כפי שכונתה תופעה זו, נחקר באופן יסודי יותר בשנת 1812 על ידי ז'אן-בטיסט ביו. בשנת 1813, ז'אן-בטיסט ביוט קבע כי התופעה שאותה חקר פרנסואה אראגו – קוורץ החתוך בניצב לציר האופטי שלו – היא למעשה סיבוב הדרגתי של מישור הקיטוב בהתאם למרחק שהאור עובר בחומר. הוא המשיך וגילה כי נוזלים מסוימים, כולל טרפנטין ("טרבנטין"), חולקים תכונה זו (ראו: "סיבוב אופטי").

בשנת 1816, פרנל הציג את ניסיונו הראשוני לפתח תיאוריה גלית לקיטוב כרומטי. תיאוריה זו, אף שלא ציינה במפורש גלים רוחביים, התייחסה לאור ככולל שני רכיבים מקוטבים המאונכים זה לזה.

 שלב 1: מנסרות מצומדות (1817) 
בשנת 1817, הבחין פרנל בתופעה מעניינת: אור מקוטב ליניארית, כאשר קיטובו היה בזווית חדה למישור הפגיעה, עבר דה-פולריזציה (ביטול קיטוב) חלקית בעקבות החזרה פנימית מלאה [הערה 1]. במסגרת ניסוי קיטוב כרומטי שכלל החזרה פנימית כוללת, גילה פרנל שהאור שנראה כאילו איבד את קיטובו, היה למעשה תערובת של רכיבים מקוטבים המקבילים והניצבים למישור הפגיעה. עוד מצא, כי ההחזרה הכוללת יצרה הפרש פאזה בין רכיבים אלו. על ידי בחירת זווית פגיעה מתאימה (שלא פורטה במדויק בשלב זה), ניתן היה ליצור הפרש פאזה של שמינית מחזור שתי השתקפויות כאלה מה"פאות המקבילות" של "שתי מנסרות מצומדות" נתנו הפרש פאזה של רבע מחזור. במקרה כזה, אם האור היה מקוטב בתחילה בזווית של 45° למישור הפגיעה וההחזרה, נראה שהוא היה דפולריזטיבי לחלוטין לאחר שתי ההחזרות. ממצאים אלה דווחו בספר זיכרונות שהוגש והוקרא בפני האקדמיה הצרפתית למדעים בנובמבר 1817.

ב"תוספת" מיום ינואר 1818, פרנל דיווח כי ניתן לדמות סיבוב אופטי באמצעות העברת אור מקוטב תחילה דרך זוג 'מנסרות מצומדות'. לאחר מכן, האור עובר דרך פרוסות כפולות רגילות המקבילות לציר האופטי שלהן, כאשר הציר מוטה בזווית של 45∘ למישור ההחזרה של המנסרות. לבסוף, הוא עובר דרך זוג מנסרות שני הממוקמות בזווית של 90∘ לזוג הראשון. זו הייתה העדות הניסויית הראשונה לקשר מתמטי בין סיבוב אופטי לשבירה כפולה.

 שלב 2: מקבילית (1818) 
ספר הזיכרונות מנובמבר 1817 נושא את המנסרה המקבילית מזכוכית, הידועה כיום כמנסרת פרנל מעוינת, הוזכרה לראשונה על ידי פרנל בזיכרונותיו שהוצגו בפני האקדמיה ב-30 במרץ 1818. זיכרונות אלו אבדו לאחר מכן ונמצאו רק בשנת 1846. הערת שוליים ללא תאריך מציינת כי המחבר החליף את שתי המנסרות המצומדות במנסרה מקבילית זו. בספר זיכרונות זה, דיווח פרנל שאם אור מקוטב עבר "דה-פולריזציה" מלאה על ידי מעוין, תכונותיו לא שונו עוד יותר על ידי מעבר מאוחר יותר דרך תווך מסתובב אופטית, בין אם תווך זה היה גביש או נוזל או אפילו אמולטור שלו; לדוגמה, האור שמר על יכולתו לעבור רה-פולריזציה על ידי מעוין שני.

 אינטרלוד (1818–1822) 
ממוזער|אוגוסטין-ז'אן פרנל (1788–1827)
כמהנדס גשרים וכבישים, וכתומך בתורת הגלים של האור, פרנל עדיין היה זר לממסד הפיזיקלי כשהציג את המקבילית שלו במרץ 1818. אבל היה קשה יותר ויותר להתעלם ממנו. באפריל 1818 הוא טען לעדיפות לאינטגרלים של פרנל. ביולי הוא הגיש את ספר הזיכרונות הגדול על דיפרקציה שהנציח את שמו בספרי לימוד בפיזיקה יסודית. בשנת 1819 הוכרזה הפרס על ספר הזיכרונות על דיפרקציה, פרסום חוקי פרנל-אראגו, והצגת הצעתו של פרנל להתקין "עדשות מדורגות" במגדלורים.

בשנת 1821, פרנל גזר נוסחאות המקבילות לחוקי הסינוס והטנגנס שלו (משוואות...).() ו-(), לעיל) על ידי מידול גלי אור כגלים אלסטיים רוחביים עם תנודות בניצב למה שנקרא בעבר מישור הקיטוב. באמצעות נתונים ניסויים ישנים, הוא אישר מיד שהמשוואות ניבאו נכון את כיוון הקיטוב של הקרן המוחזרת כאשר הקרן הפוגעת מקוטבת בזווית של 45° למישור הפגיעה, עבור אור הפוגע מאוויר על זכוכית או מים.Buchwald, 1989, pp.390–391; Fresnel, 1866, . אישוש הניסויי דווח ב'פוסט-סקריפט' לעבודתו של פרנל, שם הציג את תאוריית הקיטוב הכרומטי הבוגרת שלו ושילב גלים רוחביים. פרטי הגזירה פורסמו מאוחר יותר, בספר זיכרונות שהוצג לאקדמיה בינואר 1823. גזירה זו שילבה עקרונות של שימור אנרגיה עם המשכיות הוויברציה המשיקית בממשק, אך לא כללה תנאי כלשהו על הרכיב הנורמלי של הוויברציה.Buchwald, 1989, pp.391–393; Darrigol, 2012, ; Whittaker, 1910, . (הגזירה הראשונה מעקרונות אלקטרומגנטיים ניתנה על ידי הנדריק לורנץ בשנת 1875.)

בינתיים, עד אפריל 1822, פרנל הסביר את הכיוונים והקיטובים של הקרניים הנשברות בגבישים דו-שבירים מהמעמד הדו-צירי. הישג שזכה להערצתו של פייר-סימון לפלס.

 שימוש בניסויים (1822–1823) 
במאמר זיכרונות על שבירה כפולה המושרה על ידי מאמץ (הנקראת כיום "פוטואלסטיות") שנקרא בספטמבר 1822, דיווח פרנל על ניסוי שכלל שורה של מנסרות זכוכית כאשר זוויות השבירה שלהן בכיוונים מתחלפים, ועם שתי חצאי מנסרות בקצוות, מה שהופך את כל המכלול למלבני. כאשר המנסרות הפונות לאותו כיוון נדחסו במלחציים, עצמים שנצפו לאורך המכלול נראו כפולים. בסוף ספר זיכרונות זה הוא הציע וריאציה של הניסוי, הכוללת מעוין פרנל, במטרה לאמת שסיבוב אופטי הוא סוג של שבירה כפולה: הוא ניבא שאם יוחלפו מנסרות הזכוכית הדחוסה במנסרות קוורץ חד-גבישיות (לא מאומצות) בעלות כיוון סיבוב אופטי זהה ועם ציריהן האופטיים מיושרים לאורך השורה, עצם הנראה על ידי התבוננות לאורך הציר האופטי המשותף ייתן שתי תמונות, שיראו לא מקוטבות אם יצפו בהן דרך מנתח בלבד; אך אם יצפו בהן דרך מעוין פרנל, הן יהיו מקוטבות ב-±45° למישור ההחזרה.

אישור לתחזית זו דווח בספר זיכרונות שנקרא בדצמבר 1822, בו טבע פרנל את המונחים "קיטוב ליניארי", "קיטוב מעגלי" ו"קיטוב אליפטי".Buchwald, 1989, pp.230–231; Fresnel, 1866, p.744. בניסוי, מעוין פרנל גילה ששתי התמונות היו מקוטבות מעגלית בכיוונים מנוגדים, והפרדת התמונות הראתה שהקיטובים (המעגליים) השונים התפשטו במהירויות שונות. כדי להשיג הפרדה נראית לעין, פרנל נזקק רק למנסרה אחת של 14°–152°–14° ולשתי חצאי מנסרות. עם זאת, הוא גילה שההפרדה השתפרה אם חצאי המנסרות מזכוכית הוחלפו בחצאי מנסרות קוורץ שכיוון הסיבוב האופטי שלהן היה הפוך לזה של המנסרה 14°–152°–14°.Fresnel, 1866, pp.737–739 (§4). 

לכן, למרות שאנו חושבים כיום על מעוין פרנל בעיקר כמכשיר להמרה בין קיטוב ליניארי למעגלי, רק בזיכרונותיו מדצמבר 1822 פרנל עצמו יכול היה לתאר אותו במונחים אלה.

באותו ספר זיכרונות, פרנל הסביר סיבוב אופטי בכך שציין כי אור מקוטב ליניארי יכול להתפרק לשני רכיבים מקוטבים מעגלית המסתובבים בכיוונים מנוגדים. אם רכיבים אלה התפשטו במהירויות שונות במקצת (כפי שהדגים עבור קוורץ), אז הפרש הפאזה ביניהם ולכן האוריינטציה של התוצאה המקוטבת ליניארית שלהם ישתנה באופן רציף עם המרחק.Buchwald, 1989, p. 442; Fresnel, 1866, p.749 (§13).

 שלב 3: חישוב זוויות (1823) 
מושג הקיטוב המעגלי היה שימושי בספר הזיכרונות מינואר 1823, ובו הגזירות המפורטות של חוקי הסינוס והמשיק: באותו ספר זיכרונות, פרנל מצא שעבור זוויות פגיעה גדולות מהזווית הקריטית, מקדמי ההחזרה המתקבלים היו מורכבים עם גודל יחידה. הוא ציין כי הגודל מייצג את יחס האמפליטודה כרגיל, וניחש שהארגומנט מייצג את הסטת הפאזה, ואימת את ההשערה באמצעות ניסוי. האימות הכרוך בכך
 חישוב זווית הפגיעה שתביא להפרש פאזה כולל של 90° בין רכיבי ה-p וה-s, עבור מספרים שונים של השתקפויות פנימיות כוללות בזווית זו (בדרך כלל היו שני פתרונות),
 חשיפת האור למספר זה של השתקפויות פנימיות כוללות בזווית פגיעה זו, עם קיטוב ליניארי התחלתי בזווית של 45° למישור הפגיעה
 בדיקה שהקיטוב הסופי היה מעגלי.

עבור זכוכית בעלת מקדם שבירה של 1.51, חישב פרנל כי הפרש פאזה של 45° בין שני מקדמי ההחזרה (ומכאן הפרש של 90° לאחר שתי השתקפויות) דורש זווית פגיעה של 48°37' או 54°37'. הוא חתך מעוין לזווית האחרונה ומצא שהוא פועל כמצופה. כך הושלם המפרט של מעוין פרנל.

באופן דומה, פרנל חישב ואימת את זווית הפגיעה שתיתן הפרש פאזה של 90° לאחר שלוש השתקפויות באותה זווית, וארבע השתקפויות באותה זווית. בכל מקרה היו שני פתרונות, ובכל מקרה הוא דיווח שזווית הפגיעה הגדולה יותר נתנה קיטוב מעגלי מדויק (עבור קיטוב ליניארי התחלתי בזווית של 45° למישור ההחזרה). במקרה של שלוש השתקפויות הוא בדק גם את הזווית הקטנה יותר, אך גילה שהיא נתנה צבע מסוים עקב הקרבה לזווית הקריטית ותלותה הקלה באורך הגל. (השווה איור). 2 לעיל, אשר מראה כי הפרש הפאזה  רגיש יותר למקדם השבירה עבור זוויות פגיעה קטנות יותר.)

למען הביטחון העצמי, פרנל ניבא ואימת שארבע השתקפויות פנימיות כוללות בזווית של 68°27' ייתנו קיטוב מעגלי מדויק אם שתיים מההשתקפויות היו בעלות מים כתווך חיצוני בעוד ששתיים האחרות היו בעלות אוויר, אך לא אם המשטחים המחזירים היו רטובים או יבשים לחלוטין.

 משמעות 
לסיכום, המצאת המעוין לא הייתה אירוע בודד בקריירה של פרנל, אלא תהליך שהשתרע על פני חלק גדול ממנה. ניתן לטעון שחישוב היסט הפאזה על החזרה פנימית כוללת סימן לא רק את השלמת תורת המעוין שלו, אלא גם את השלמת השחזור שלו של אופטיקה פיזיקלית על סמך השערת הגל הרוחבי (ראו: אוגוסטן ז'אן פרנל).

חישוב הזזת הפאזה היה גם ציון דרך ביישום של מספרים מרוכבים. לאונהרד אוילר היה חלוץ בשימוש באקספוננטים מרוכבים בפתרונות של משוואות דיפרנציאליות רגילות, מתוך הבנה שהחלק הממשי של הפתרון הוא החלק הרלוונטי.Bochner, 1963, pp.198–199. אבל נראה כי טיפולו של פרנל בהחזרה פנימית כוללת היה המקרה הראשון שבו יוחסה משמעות פיזיקלית לטיעון של מספר מרוכב. לפי סלומון בוכנר, אנו סבורים כי זו הייתה הפעם הראשונה שבה מספרים מרוכבים, או כל עצם מתמטי אחר שאינו אלא סמל, הועמדו במרכזה של מסגרת פרשנית של ה"מציאות", וזוהי עובדה יוצאת דופן שפרשנות זו, על אף היותה הראשונה מסוגה, עמדה היטב במבחן האימות הניסויי וב"מקסווליזציה" המאוחרת של התאוריה כולה. במונחים כלליים מאוד ניתן לומר כי זו הייתה הפעם הראשונה שבה ה"טבע" הופשט מתוך מתמטיקה "טהורה"; כלומר, מתוך מתמטיקה אשר לא הופשטה קודם לכן מהטבע עצמו.

 לקריאה נוספת 
 ש. בוכנר (יוני 1963), "המשמעות של כמה תפיסות מתמטיות בסיסיות לפיזיקה", איזיס, כרך. 54, לא. 2, עמ' 179–205; jstor.org/stable/228537.
 מ. בורן ואי. וולף, 1970, עקרונות האופטיקה, מחזור ד' עורך, אוקספורד: הוצאת פרגמון.
 ג'יי.ז. בוכוולד, 1989, עלייתה של תורת הגלים של האור: תיאוריה אופטית וניסוי בתחילת המאה התשע עשרה, הוצאת אוניברסיטת שיקגו, .
 או. דריגול, 2012, היסטוריה של אופטיקה: מהעת העתיקה היוונית ועד המאה התשע עשרה, אוקספורד, 
 A. Fresnel, 1866 (עורך H. de Senarmont, E. ורדט, ול. Fresnel), , פריז: Imprimerie Impériale (3 כרכים, ), כרך.1 (1866).
 א. הכט, 2002, אופטיקה, מהדורה רביעית. אדיסון ווסלי,  .
 פ.א. ג'נקינס וה.ה. ווייט, 1976, יסודות האופטיקה, מחזור ד' עורך חדש יורק: מקגרו-היל, .
 נ. קיפניס, 1991, היסטוריה של עקרון ההתערבות של האור, בזל: הוצאת בירקהויזר, 
 ה. לויד, 1834, "דו"ח על התקדמותה ומצבה הנוכחי של האופטיקה הפיזיקלית", דו"ח הישיבה הרביעית של האגודה הבריטית לקידום המדע (שנערכה באדינבורו בשנת 1834), לונדון: הוצאת ג'. מארי, 1835, עמ'.295–413.
 ג'יי. איי. סטרטון, 1941, תיאוריה אלקטרומגנטית, ניו יורק: מקגרו-היל.
 וו. ויוול, 1857, "היסטוריה של מדעי האינדוקציה: מהתקופה המוקדמת ביותר ועד ימינו", כרך שלישי; עורך: לונדון: ג'יי. וו. פארקר &, כרך2
 ET Whittaker, 1910, היסטוריה של תיאוריות האתר והחשמל: מתקופת דקארט ועד סוף המאה התשע עשרה, לונדון: Longmans, Green, & Co.

 קישורים חיצוניים 
 לכמה תצלומים של מעויני פרנל (עתיקים), ראו T. ב. גרינסלייד, ג'וניור, "מעוין פרנל", מכשירים לפילוסופיה טבעית, מכללת קניון (גמבייר, OH), גישה 4 מרץ 2018; אורכיון 28 אוגוסט 2017. (תיקון, אושר על ידי המחבר: יש למחוק את המילים "בזווית של ברוסטר").

 ביאורים 

הערות שוליים

קטגוריה:היסטוריה של הפיזיקה
קטגוריה:קיטוב (גלים)
קטגוריה:אופטיקה פיזיקלית