פונקציה טרנסצנדנטית

באנליזה מתמטית, פונקציה טרנסצנדנטית היא פונקציה אנליטית שאינה אלגברית, כלומר לא ניתן לבטא אותה באמצעות מספר סופי של פעולות החשבון (חיבור, חיסור, כפל, חילוק) והעלאה בחזקות של משתנה כלשהו.

דוגמאות לפונקציות טרנסצנדנטליות כוללות את הפונקציה המעריכית, פונקציית הלוגריתם, הפונקציות ההיפרבוליות והפונקציות טריגונומטריות. משוואות המשתמשות בפונקציות אלה נקראות משוואות טרנסצנדנטליות.

 הגדרה 
באופן פורמלי, פונקציה אנליטית  בעבור משתנה ממשי או מרוכב היא טרנסצנדנטלית אם אין לה תלות אלגברית במשתנה זה. משמעות הדבר היא שהפונקציה אינה מקיימת אף משוואה פולינומית. לדוגמה, הפונקציה  שעבורה

  בעבור כל 

אינה טרנסצנדנטית, אלא אלגברית, משום שהיא מקיימת את משוואת הפולינום

 .

באופן דומה, הפונקציה  שעבורה

  בעבור כל 

אינה טרנסצנדנטית, אלא אלגברית, אף על פי שלא ניתן לכתוב אותה כביטוי סופי הכולל את פעולות החשבון הבסיסיות.

ניתן להרחיב הגדרה זו עבור פונקציות בעלות מספר משתנים.

 היסטוריה 
הפונקציות הטרנסצנדנטיות סינוס וקוסינוס חושבו בעזרת טבלאות טריגונומטריות בעת העתיקה, לדוגמה ביוון על ידי היפרכוס ובהודו בידי ג'יה וקוטי-ג'יה. בתיאורו של טבלת המיתרים של תלמי, המקבילה לטבלת סינוסים, כתב אולף פדרסן:

הבנה מהפכנית של הפונקציות הטריגונומטריות התרחשה במאה ה-17, וזכתה להסבר מעמיק על ידי לאונרד אוילר בשנת 1748 בספרו מבוא לניתוח האינסוף. בעקבות תרבוע ההיפרבולה הריבועית , שביצע גרגואיר דה סנט וינסנט בשנת 1647, כאלפיים שנה לאחר שארכימדס חקר את תרבוע הפרבולה, הוכח כי פונקציות טרנסצנדנטליות עתיקות הן פונקציות רציפות.

הוכח כי כשהיחס בין גבולות האינטגרציה נשמר קבוע, גם השטח שמתחת לעקומת ההיפרבולה  נשאר קבוע. הדבר הוביל להגדרת פונקציית הלוגריתם ההיפרבולי, אם כי השימוש בה היה מוגבל לאורך זמן. השינוי המשמעותי הגיע ב-1748, כשלאונרד אוילר קשר אותה לפונקציות מעריכיות כמו  (אקספוננט). כשאוילר הציג את הפונקציות הטרנסצנדנטיות האלה והראה שהן חד-חד-ערכיות ולכן הפיכות, זה אפשר לו לבצע חישובים אלגבריים עם הלוגריתם הטבעי — גם אם הוא עצמו אינו פונקציה אלגברית.

פונקציית האקספוננט מוגדרת בתור  אוילר זיהה אותה עם טור אינסופי מהצורה , כאשר  מייצג את העצרת של k.

כאשר מפרידים בין האיברים הזוגיים והאי־זוגיים בטור של , מקבלים שני טורים חדשים שמייצגים את הפונקציות ההיפרבוליות  ו-. לכן ניתן לרשום: . כדי להפוך את הפונקציות ההיפרבוליות לפונקציות טריגונומטריות (סינוס וקוסינוס), מוסיפים לטור את האיבר , מה שיוצר טור מתחלף  שבו האיברים מחליפים סימן בין חיובי לשלילי. בעקבות אוילר, מתמטיקאים החלו לראות את פונקציות הסינוס והקוסינוס דרך טורי החזקות האלה, וכך חיברו ביניהן לבין הפונקציות הלוגריתמיות והמעריכיות — במיוחד דרך נוסחת אוילר בתחום המספרים המרוכבים.

 דוגמאות 
הפונקציות הבאות הן טרנסצנדנטיות:

עבור הפונקציה 1, ניתן להחליף את המעריך  בכל מספר אי-רציונלי אחר, והפונקציה תישאר טרנסצנדנטית. עבור הפונקציות 2 ו-3 ניתן להחליף את הבסיס  בכל מספר ממשי חיובי אחר שאינו שווה ל-1, והפונקציות יישארו טרנסצנדנטיות. פונקציות 4–8 מייצגות את הפונקציות ההיפרבוליות, בעוד שפונקציות 9–13 מייצגות את הפונקציות הטריגונומטריות. הפונקציה ה-14 מייצגת את ההרחבה האנליטית של פונקציית העצרת דרך פונקציית גמא, והפונקציה ה-15 היא הפונקציה ההופכית שלה. לבסוף, בפונקציה האחרונה, ניתן להחליף את המעריך  ב- עבור כל  ממשי שאינו אפס, והפונקציה תישאר טרנסצנדנטית.

 פונקציות אלגבריות וטרנסצנדנטיות 
הפונקציות הטרנסצנדנטיות המוכרות ביותר הן הלוגריתם, המעריכית (עם כל בסיס לא טריוויאלי), הטריגונומטרית וההיפרבולית, וההופכיות של כולן. פחות מוכרות הן פונקציות מיוחדות באנליזה, כמו פונקציית גמא, פונקציות אליפטיות ופונקציית זטא — כולן טרנסצנדנטיות. גם פונקציות היפרגאומטריות כלליות ופונקציות בסל נחשבות לרוב טרנסצנדנטליות, אם כי עבור ערכים מסוימים של הפרמטרים שלהן הן יכולות להיות אלגבריות.

פונקציות טרנסצנדנטליות לא ניתנות להגדרה אך ורק בעזרת פעולות חשבון רגילות – חיבור, חיסור, כפל, חילוק, ושורשים (מסדר כלשהו). כדי להגדיר אותן דרוש תהליך גבולי כלשהו, כמו טורים אינסופיים, אינטגרלים, או גבולות.

פונקציה שאינה טרנסצנדנטית מכונה אלגברית. דוגמאות פשוטות לפונקציות אלגבריות הן פונקציות רציונליות ופונקציית השורש הריבועי. עם זאת, לא כל פונקציה אלגברית ניתנת לביטוי באמצעות נוסחה סופית שמורכבת רק מפונקציות אלמנטריות. לדוגמה, הפונקציה שמקיימת את המשוואה היא אלגברית, אבל אי אפשר לבטא אותה בעזרת נוסחה סגורה (ראו משפט אבל-רופיני).

האלגברה הדיפרנציאלית עוסקת במצבים שבהם אינטגרציה יוצרת פונקציות שאינן אלגבריות ביחס לפונקציות שמהן התחילו. לדוגמה, כשמתייחסים לפולינומים שבהם הפונקציות הטריגונומטריות הן המשתנים, פעולת האינטגרציה לעיתים מייצרת פונקציות שאינן תלויות אלגברית בפונקציות המקור — כלומר, הן בלתי תלויות אלגברית מהן.

 פונקציות טרנסצנדנטיות באופן טרנסצנדנטי 
פונקציה רגילה נקראת טרנסצנדנטית אם היא לא מקיימת שום משוואה פולינומית (עם מקדמים אלגבריים) — כלומר, היא לא פתרון של אף משוואה מהצורה , כאשר  הוא פולינום בעל המשתנים  ו-. יש פונקציות כמו  או , שהן טרנסצנדנטיות — ועדיין מקיימות משוואות דיפרנציאליות אלגבריות. למשל:

 או .

לעומת זאת, פונקציה טרנסצנדנטית באופן טרנסצנדנטלי לא מקיימת שום משוואה דיפרנציאלית אלגברית  כלל, כלומר היא לא רק "לא אלגברית", אלא גם אינה ניתנת לתיאור באמצעות משוואות דיפרנציאליות שבנויות מאלגברה. דוגמאות בולטות לפונקציה כזאת הן פונקציית גמא ופונקציית זטא.

 קבוצת יוצאים מן הכלל 
אם  היא פונקציה אלגברית ו- הוא מספר אלגברי, אז גם  הוא מספר אלגברי. אבל הטענה ההפוכה אינה נכונה: קיימות פונקציות טרנסצנדנטיות שלמות — כלומר, מוגדרות וגזירות בכל המישור המרוכב — שעבור כל מספר אלגברי , הערך  הוא אלגברי.

במקרה כזה, אומרים שלפונקציה יש קבוצת יוצאים מן הכלל (exceptional set). זו קבוצת המספרים האלגבריים שכשמציבים אותם בפונקציה, מקבלים תוצאה אלגברית.

 הגדרה פורמלית 
אם  היא פונקציה טרנסצנדנטלית, אז קבוצת היוצאים מן הכלל שלה היא:

במקרים רבים, קבוצת היוצאים מן הכלל של פונקציה טרנסצנדנטלית היא קטנה מאוד. למשל, עבור הפונקציה המעריכית , מתקם: . כלומר, הערך האלגברי היחיד שבו הפונקציה מקבלת תוצאה אלגברית הוא ב-, כי . תוצאה זו הוכחה על ידי פרדיננד לינדמן ב-1882. מכאן נובע ש-e הוא טרנסצנדנטי. יתר על כן, לפי זהות אוילר ידוע ש-, מספר אלגברי. אז אם נניח לרגע ש־ הוא אלגברי, גם  הוא אלגברי (כי  עצמו כן אלגברי). אבל אז נקבל שערך של הפונקציה המעריכית על קלט אלגברי הוא אלגברי — וזה לא אפשרי לפי משפט לינדמן-ויירשטראס, אלא אם הקלט הוא 0. ומכיוון ש-, יש סתירה ולכן  חייב להיות טרנסצנדנטי.

 ראו גם 
 פונקציה מרוכבת
 פונקציה

קישורים חיצוניים


 הערות שוליים 

קטגוריה:פונקציות מתמטיות: מאפיינים
קטגוריה:פונקציות מתמטיות
קטגוריה:טריגונומטריה
קטגוריה:היפרבולה
קטגוריה:אנליזה מתמטית
קטגוריה:אנליזה מרוכבת