אינטגרל רימן-סטילטיס

במתמטיקה, ובפרט באנליזה מתמטית, אינטגרל רימן-סטילטיס (נקרא גם אינטגרל סטילטיס) הוא הרחבה של אינטגרל רימן. אינטגרל זה נהגה לראשונה על-ידי המתמטיקאי תומאס יוהנס סטילטיס בשנת 1894.

לאינטגרל רימן-סטילטיס חשיבות רבה במיוחד בתחום ההסתברות והוא משמש לחישוב תוחלת ומומנטים של משתנה מקרי.

 הגדרה 
יהי זוג מספרים ממשיים  וזוג פונקציות .

תהי חלוקה  של הקטע  כך ש-.

בנוסף, יהי  תגיות של  כך שלכל  מתקיים ש-.

מגדירים את פרמטר החלוקה:

אזי, אינטגרל רימן-סטילטיס של  לפי  מוגדר להיות  המקיים:

כלומר,  הוא אינטגרל רימן-סטילטיס של  לפי  אם ורק אם לכל  קיים  כך שלכל חלוקה  של  המתקיימת  ולכל תגיות  של  מתקיים ש-.

ניתן להוכיח כי אם  זה קיים הוא יחיד ומסמנים אותו ב- או ב-. במקרה זה  תקרא האינטגרנד ו- תקרא האינטגרטור.

 אינטגרל רימן-סטילטיס לגבולות אינסופיים 
ניתן להרחיב את אינטגרל רימן-סטילטיס לקטע חצי-אינוספי ולמרחב הממשי כולו באופן הבא:

יהי זוג מספרים ממשיים  וזוג פונקציות . אזי מגדירים:

 תכונות 
 אריתמטיקה 
יהי זוג מספרים ממשיים , פונקציות  וקבוע . אזי מתקיימות הזהויות האריתמטיות הבאות:

בכל הנוסחאות לעיל קיום האינטגרל (ים) מימין גורר את קיום האינטגרל משמאל.

 אינטגרציה בחלקים 
אינטגרל רימן-סטילטיס מקיים גרסה מקבילה לנוסחת האינטגרציה בחלקים:

יהי זוג מספרים ממשיים  וזוג פונקציות . אזי מתקיימת הזהות הבאה:

כאשר קיום האינטגרל משמאל גורר את קיום האינטגרל מימין ולהפך.

 קשר לאינטגרל רימן 
יהי זוג מספרים ממשיים  וזוג פונקציות .

אזי, אם  גזירה בקטע  והנגזרת שלה  אינטגרבילית לפי רימן, מתקיים השוויון:

כאשר האינטגרל משמאל הוא אינטגרל רימן-סטילטיס והאינטגרל מימין הוא אינטגרל רימן.

 אינטגרביליות רימן-סטילטיס 
בהינתן זוג מספרים ממשיים  וזוג פונקציות , מגדירים ש- אינטגרבילית רימן-סטילטיס לפי  אם ורק אם האינטגרל  קיים וסופי.

באמצעות אינטגרציה בחלקים, ניתן להוכיח כי  אינטגרבילית רימן-סטילטיס לפי  אם ורק אם  אינטגרבילית רימן-סטילטיס לפי .

כמו כן, אם  רציפה ו- בעלת השתנות חסומה,  ו- אינטגרביליות רימן-סטילטיס אחת לפי השנייה.

מכיוון שכל פונקציה מונוטונית בקטע סגור היא בעלת השתנות חסומה, אם  רציפה ו- מונוטונית הן אינטגרביליות רימן-סטילטיס אחת לפי השנייה.

 שימושים בהסתברות 
בהינתן משתנה מקרי  ניתן להגדיר פונקציית התפלגות  כך שלכל  מתקיים ש-.

כמו כן, יהי  פונקציה כלשהי. על-מנת לחשב את התוחלת של הפעלת הפונקציה  על  יש להשתמש באינטגרל רימן-סטילטיס:

מקרים חשובים של חישובים מסוג זה הוא חישוב התוחלת והמומנט ה--י של המשתנה המקרי, שהם בהתאמה:

במקרה שבו  גזירה ונגזרתה אינטגרבילית לפי רימן, יש למשתנה המקרי פונקציית צפיפות הסתברות , ולכן ניתן לחשב את התוחלות הנ"ל ישירות באמצעות אינטגרל רימן:

 אינטגרל לבג-סטילטיס 
הכללה חשובה של אינטגרל רימן-סטילטיס היא אינטגרל לבג-סטילטיס.

יהי זוג מספרים ממשיים  וזוג פונקציות  כך ש- חסומה ו- עולה מונוטונית.

לכל  מסמנים  ו- .

מגדירים קדם-מידה  על חוג הקבוצות הנפרש על-ידי קטעים ב- כך שלכל :

ובנוסף מגדירים .

לפי משפט ההרחבה של קרתאודורי, קיימת מידה  על סיגמא-אלגברת בורל המתלכדת עם הגדרת . בגלל ש- מוגדרת על קטע סגור, היא קדם-מידה סופית ולכן  זו יחידה. מגדירים:

האינטגרל  נקרא אינטגרל לבג-סטילטיס של  לפי .

ניתן להוכיח כי אם אינטגרל רימן-סטילטיס של  לפי  קיים, גם אינטגרל לבג-סטילטיס של  לפי  קיים ושניהם שווים.

 דוגמאות 
 במקרה שבו  (כלומר,  היא פונקציית הזהות), אינטגרל רימן-סטילטיס ואינטגרל רימן מתלכדים. כלומר, 
 במקרה שבו  (כלומר,  היא פונקציה קבועה), מתקיים ש-
 במקרה שבו  (כלומר,  היא פונקציה קבועה), מתקיים ש-
 במקרה שבו  עבור  כלשהו (כלומר,  היא פונקציית מדרגה), מתקיים ש-

קישורים חיצוניים


 הערות שוליים 

קטגוריה:אנליזה מתמטית
רימן-סטילטיס