הנוסחה המפורשת של רימן פון מנגולד

הנוסחה המפורשת של רימן פון מנגולד היא נוסחה לפונקציה השנייה של צ'בישב באמצעות אפסים (והקטבים) של פונקציית זטא של רימן. הפונקציה השנייה של צ'בישב סופרת באופן ממושקל את חזקות הראשוניים עד לערך נתון. מנוסחה זאת קל יחסית להסיק נוסחאות מפורשות לפונקציית המספרים הראשוניים . בצורה זאת הנוסחה תקפה רק עבור  לא שלם. נוסחה זאת ודומת לה סללו את הדרך להוכחת משפט המספרים הראשוניים.

הנוסחה

אגף שמאל של הנוסחה נקרא  פונקציית צ'בישב השנייה ומסומן בדרך כלל ב-. 
הנוסחה תקפה ל-  ממשי שאינו שלם. אם   שלם אז צריך להחליף את אגף שמאל בממוצע עריכיו מיד לפני ומיד אחרי .  תיקון זה של פונקציית צ'בישב השנייה מסומן בדרך כלל ב-. 
הסימון  מתייחס לריבוי האפס שיש לפונקציית זטא של רימן בנקודה . אם  היא קוטב, אז ריבוי האפס מוגדר להיות מינוס מעלת הקוטב. אם אין בנקודה אפס או קוטב אז הריבוי הוא . הסכום באגף ימין נראה כאילו הוא רץ על קבוצה מעוצמת הרצף אולם בפועל הוא בן מניה, כיוון שכמעט תמיד הערך של    הוא  . הסכום מתכנס בתנאי. כדי לקבל התכנסות זו יש לקחת את הגבול של הסכומים החלקיים על פי עיגולים גדלים סביב אפס.

ניתן להפוך נוסחה זו למפורשת יותר באופן הבא:
 לחשב את  
 לחשב את התרומה של הקוטב היחיד של פונקציית זטא של רימן  לאגף ימין. תרומה זו היא הפונקציה  והיא מהווה את עיקר הערך של אגף ימין עבור 
 גדול.
 לחשב את התרומה של כל האפסים הטריוויאליים של פונקציית זטא של רימן
 לשים לב שבהתאם להוכחת משפט המספרים הראשוניים כל יתר האפסים הם ברצועה .
כך מתקבלת הנוסחה הבאה:

הוכחת הנוסחה

קשר לנוסחה המפורשת של רימן עבור פונקציית הספירה של המספרים הראשוניים

קישורים חיצוניים


קטגוריה:פונקציות זטא
קטגוריה:תורת המספרים האנליטית