צבי ארטשטיין

צבי (צביקה) ארטשטיין (1 בפברואר 1943 – 31 באוקטובר 2025) היה מתמטיקאי ישראלי ופרופסור בפקולטה למתמטיקה ומדעי המחשב במכון ויצמן למדע. כיהן כדקאן הפקולטה וסגן נשיא המכון ליישומים טכנולוגיים. נודע כמומחה לחקר מערכות דינמיות ותורת הבקרה.

 ביוגרפיה 
 שנותיו המוקדמות 
צבי ארטשטיין נולד וגדל בתל אביב, בנם של גיטה (לבית איזנברג) ואברהם ארטשטיין, אח ליהודה איל. דודו, זכריה ארטשטיין, היה ממנהיגי המרד בגטו ורשה ורבים מקרוביו נספו בשואה. בן-דודו הוא העיתונאי עמוס רגב. ארטשטיין שירת בחטיבת הצנחנים ואת שירות המילואים עשה בחטיבה 55, במסגרתה לחם במלחמת ששת הימים, ונפצע בצווארו בקרב על גבעת התחמושת, כתוצאה מנתז של קליע.

עשה את לימודיו לתואר ראשון במתמטיקה ובפיזיקה באוניברסיטה העברית בירושלים והשלים אותם ב-1968 בהצטיינות. לאחר מכן המשיך ללימודי תואר שני ושלישי במתמטיקה, בהנחיית פרופ' ישראל אומן. עבודת הדוקטורט שלו, שהוגשה ב-1973, נשאה את הכותרת "על האינטגרל של פונקציות שערכיהן קבוצות".

 כחוקר עצמאי 
לאחר סיום הדוקטורט שימש ארטשטיין כמרצה באוניברסיטת בראון ועם שובו לישראל ב-1975 הצטרף לסגל המחלקה למתמטיקה עיונית במכון ויצמן למדע. ב-1979 מונה לפרופסור חבר וב-1985 לפרופסור מן המניין. החזיק שנים ארוכות בקתדרה ע"ש הטי ה' היינמן למתמטיקה.

ב-2016 יצא ארטשטיין לגמלאות אך המשיך לעסוק במחקר פעיל. לאורך השנים כיהן כחוקר אורח באוניברסיטת בראון, באוניברסיטת נורת'איסטרן, באוניברסיטת קליפורניה בדייוויס, באוניברסיטת מונפלייה ובאימפריאל קולג'.

 תפקידי ניהול וייעוץ 
ב-1986–1988 כיהן כראש המחלקה למתמטיקה עיונית וב-1989 מונה לדקאן הפקולטה למתמטיקה ומדעי המחשב, וכיהן בתפקיד זה עד 1998. ב-1998 כיהן כיו"ר מועצת הפרופסורים של המכון. ב-1999–2002 כיהן כסגן נשיא מכון ויצמן ליישומים טכנולוגיים וכיו"ר חברת ידע, בתוך כך כיהן כחצי שנה גם כמנכ"ל החברה בפועל. בשנים אלה גם היה חבר ועדת הניהול של האיגוד האירופי למתמטיקה. ב-2005 מונה בשנית לדקאן וכיהן בתפקיד עד 2010. מ-2001 עד לפטירתו ב-2025 היה חבר בוועד המנהל הבין-לאומי של המכון.

ארטשטיין כיהן כחבר בהנהלת חברת ידע. כמו כן, ארגן וניהל מספר מסגרות אקדמיות ומחקריות, בהן: תחום המתמטיקה בתוכנית רוטשילד-ויצמן להכשרת מורים, תוכנית ההעשרה במינהל עסקים לתלמידי מדרשת פיינברג וקרן המחקר של איגוד האינטרנט הישראלי.

 חינוך מתמטי 
ארטשטיין, שעסק והתעניין בהיבטים שונים של הוראת המדעים וחינוך מתמטי, חיבר ספר לקהל הרחב בשם "הקשר המתמטי: המתמטיקה של הטבע, הטבע של המתמטיקה והזיקה לאבולוציה", ובו נבחן הקשר שבין האבולוציה האנושית והמתמטיקה שהאנושות פיתחה ומפתחת. הספר נכתב בעברית ותורגם לאנגלית, יפנית ואיטלקית.

 מחקר 
צבי ארטשטיין חקר מתמטיקה ותוצאות המחקרים שלו משמשות גם בקשת רחבה של תחומים מחוץ למתמטיקה. התייחסות משמעותית לתרומות אלה אפשר למצוא, בנוסף למתמטיקה, בשטחים שונים של מדעי הטבע, מדעי החברה והנדסה. הנושאים המתמטיים בהם הוא עוסק הם מערכות דינמיות המתוארות על ידי משוואות דיפרנציאליות, במיוחד שאלות של יציבות ותלות בפרמטר, וכן מערכות בקרה – מערכות שניתן להשפיע על פעולתן על ידי פרמטר שליטה, למשל כדי לייצב את המערכת, או להפעילה בצורה אופטימלית. נושא נוסף שארטשטיין תרם לו רבות, הוא משפטי גבול למשתנים מקריים שערכיהם קבוצות במרחב גאומטרי, במיוחד תהליכים המביאים לתכונות של קמירות, ושימושים לאופטימיזציה.

שני רעיונות, השזורים זה בזה, מוצגים במחקריו של ארטשטיין. ראשית, בהינתן אוסף של פתרונות, למשל פתרונות של משוואה דיפרנציאלית, ייתכן שהמבנה של גבול פתרונות יהיה שונה מהמבנה של הפתרונות עצמם. הרעיון עצמו אינו חדש, אבל ארטשטיין פיתח אותו בכיוון הדומה לגישה האפלטונית, כיוון שמתמצה באמרה שטבע: . הרעיון בבסיס גישה זו הוא שמחקר הטבע מתחיל במחקר של המתמטיקה לשמה, ואחר כך בדיקה עד כמה התופעות הטבעיות קרובות לתוצאות הנובעות לוגית מהמחקר, זאת להבדיל מגישה אחרת למתמטיקה שימושית, והיא להתרכז בתופעת טבע מסוימת, ולבנות את המתמטיקה הקרובה ביותר לתיאור אותה תופעה.

ארטשטיין חיבר למעלה מ-130 מאמרים ומילא תפקידי עריכה בשורת כתבי עת בתחומי מחקרו. הוא הנחה למעלה מ-30 תלמידי מחקר ובתר-דוקטורנטים. עם תלמידיו נמנים פרופ' ג'ורג' קאראקוסטס מאוניברסיטת יואנינה ביוון, פרופ' ג'ורג' וייס מאוניברסיטת תל אביב, פרופ' אריה ליזרוביץ מהטכניון, פרופ' יעקב כוגן מאוניברסיטת מרילנד, פרופ' גלעד תדמור מאוניברסיטת נורת'איסטרן ופרופ' גרא וייס מאוניברסיטת בן-גוריון בנגב.

חוקרים בתחומים שונים מצאו לנכון לקרוא על שמו של ארטשטיין מספר תוצאות ומבנים מתמטיים שפיתח, כמפורט להלן:
 משפט ארטשטיין (Artstein’s Theorem)  מאפיין את האפשרות לייצוב פתרונות של משוואות דיפרנציאליות על ידי משוב רציף. נוסחה למקרה הליניארי ניתנה על ידי אדוארדו זונטג , והתוצאה מכונה משפט ארטשטיין-זונטג. המשפט הביא בעקבותיו שימושים קונקרטיים של ייצוב מערכות רבות, ביניהם מערכות כוח חשמלי, כימיה, ועוד. האפיון מתבסס על קיומה של פונקציית בקרה-ליאפונוב (Control-Lyapunov)  גזירה ברציפות.
 מעגלי ארטשטיין (Artstein’s Circles) מהווים דוגמה למערכת לה קיימת פונקציית בקרה-ליאפונוב שהיא ליפשיץ, ואי אפשר לייצב אותה על ידי משוב רציף. הדוגמה משמשת אמת-מידה ליעילות של משוב ייצוב שאינו רציף.
 התמרת ארטשטיין (Artstein’s Transformation), שמכונה גם הרדוקציה של ארטשטיין (Artstein's Reduction) הופכת מערכת עם השהייה של הבקרה, למערכת ללא השהייה. הספרות מציעה שיטות בקרה למערכות ללא השהייה. התמרת ארטשטיין מאפשרת ניתוח מושכל למערכות עם השהייה. תוצאה של התמרות אלה היא המנבא של ארטשטיין (Artstein’s Predictor), מנבא של מערכות עם השהייה המבוסס על התמרת ארטשטיין.
 אי-השוויונות של ארטשטיין (Artstein’s Inequalities) מאפיינים קיום של בחירת התפלגות נתונה, מתוך התפלגות על קבוצות. יש להם שימוש רב בניתוח הסתברותי של גופים גאומטריים, ובסטטיסטיקה תחת טעויות מדידה. אי-השוויונות הללו מביאים לעוד משפט ארטשטיין, הפעם בתורת ההסתברות.
 התיאוריה של ארטשטיין והפתרונות של ארטשטיין (Artstein Theory, Artstein’s Solutions) אלה הם שמות כוללים לגישה שיזם ארטשטיין, לניתוח מערכות דינמיות, ומערכות בקרה, עם הפרעות סינגולריות, כאשר דינמיקה מהירה מאוד מתערבת בדינמיקה רגילה. כאשר הדינמיקה המהירה לא מתכנסת לנקודת שבת, אפשר עדיין למצוא התכנסות במובן של מידות הסתברות, שהן אינוואריאטיות לפי הדינמיקה המהירה. הפתרון הגבולי במקרה זה הוא מסלול במרחב של מידות הסתברות. לגישה זו נמצאו שימושים רבים בתחומים שונים.
 האלגוריתם ההיברידי של ארטשטיין (Artstein’s Hybrid Algorithm) הוא דוגמה לאסטרטגיה של ייצוב על ידי משוב היברידי.
 מדד ארטשטיין (Artstein’s Gauge) הוא מדד לקיום תכונת המיצוע במשוואות התלויות בזמן.
 בחירת ארטשטיין-פריקרי (Artstein-Prikry Selection) משמשת לקיום פתרונות למשוואות הכלה כאשר התלות בזמן אינה בהכרח רציפה.
 החוק החזק של קבוצות מקריות של ארטשטיין-ויטלה (Artstein-Vitale SLLN) פרץ את הדרך לקשת רחבה של משפטי גבול הסתברותיים לקבוצות מקריות במרחבים ליניאריים, תכונות סטטיסטיות של קבוצות כאלה, והוביל לפתרון בעיות שונות של אופטימיזציה בתהליכים סטוכסטיים
מלבד אלה, עבודותיו של ארטשטיין כוללות תרומות לנושאים הבאים: משפטי בנג-בנג, הגדרה של ממוצע של קבוצות שאינן קמורות, הכללת עיקרון האינוואריאנטיות של לסל (LaSalle) וחקר של מידות אינוואריאנטיות במערכות בקרה.

 חיים אישיים 
עד לפטירתו, ארטשטיין היה נשוי ליעל (לבית פרידמן), שכיהנה כסגנית מנהל המחקר בבנק ישראל וכחברת המועצה המייעצת של הבנק, ואב לשלושה: פרופ' רון ארטשטיין, בלשן חישובי באוניברסיטת דרום קליפורניה; יובל, אלגוריתמאי בתעשיית ההייטק; ופרופ' שירי ארטשטיין-אבידן, מתמטיקאית באוניברסיטת תל אביב. התגורר במכון ויצמן.

נפטר באוקטובר 2025.

 ספרו 
צבי ארטשטיין, הקשר המתמטי: המתמטיקה של הטבע, הטבע של המתמטיקה והזיקה לאבולוציה. הוצאת ידיעות ספרים וספרי עליית הגג, 2014.

 קישורים חיצוניים 






 הערות שוליים 

קטגוריה:מתמטיקאים ישראלים
קטגוריה:חיילי חטיבת הצנחנים
קטגוריה:חיילי חיל הרגלים במלחמת ששת הימים
קטגוריה:גבעת התחמושת
קטגוריה:בעלי תואר דוקטור מהאוניברסיטה העברית בירושלים
קטגוריה:סגל מכון ויצמן למדע: מתמטיקה ומדעי המחשב
קטגוריה:אישים הקבורים ברחובות
קטגוריה:ישראלים שנולדו ב-1943
קטגוריה:ישראלים שנפטרו ב-2025