אי-שוויון בנט

בתורת ההסתברות, אי-שוויון בנט מספק חסם עליון על ההסתברות שסכום של משתנים מקריים בלתי-תלויים חורג מהתוחלת שלו ביותר מקבוע נתון. אי-השוויון תקף עבור סכום של משתנים מקריים שהם חסומים כמעט בכל מקום ובעלי שונות סופית. אי-השוויון הכי דומה באופיו לאי-שוויונות ברנשטיין, ואף מהווה שיפור לראשון שבהם. אי-השוויון הוכח על ידי ג'ורג' בנט מאוניברסיטת ניו סאות' ויילס בשנת 1962.
 נוסח פורמלי 
יהיו

משתנים מקריים בלתי-תלויים עם שונות סופית, ונניח שקיים  כך שלכל  מתקיים המאורע  כמעט בוודאות. נגדיר:

אז לכל  מתקיים:

כאשר .

 עיקרי ההוכחה 
הוכחה אפשרית מתבססת על אי-שוויון מרקוב ואי-התלות של המשתנים המקריים כדי לקבל לכל :

נסמן  ונגדיר את הפונקציה המונוטונית העולה:

מכיוון ש-, מתקיים:  ומקבלים:

ומכך שמתקיים  לכל :

כאשר: ממזערת את אגף ימין, ועל ידי הצבה של ערך זה מתקבל אי-שוויון בנט.

 השוואה לחסמים אחרים 
אי-שוויון בנט דומה לאי-שוויונות ברנשטיין, וספציפית לראשון שבהם, שדורש שהמשתנים המקריים יהיו חסומים כמעט תמיד. בחלק מהגרסאות של אי-שוויון ברנשטיין יש דרישות חלשות יותר מקיום של חסם על המשתנים המקריים ובהן לא ניתן להשתמש באי-שוויון בנט. תחת התנאים של אי-שוויון בנט מתקבל חסם הדוק יותר מזה שמתקבל על ידי אי-השוויון הראשון של ברנשטיין שתקף למשתנים מקריים חסומים, בשל העובדה שלכל  מתקיים:  ועל ידי הצבה באי-שוויון בנט מקבלים: כאשר אגף ימין זה בדיוק הביטוי שמופיע באי-שוויון ברנשטיין הראשון עבור משתנים מקריים חסומים.

אי-שוויון הופדינג לעומת זאת מספק זנב תת-גאוסי שהוא בדרך כלל הדוק יותר מהחסם שאי-שוויון בנט מספק עבור ערכים גדולים של , אך מכיוון שהוא לא מתחשב בשונות של המשתנים המקריים אלא רק בערכים  שחוסמים אותם, אי-שוויון בנט יכול לספק חסם הדוק יותר כאשר השונות של  קטנה משמעותית מ-, בעיקר עבור ערכים קטנים של .

 דוגמה 
יהיו  משתנים מקריים בלתי-תלויים עם התפלגות ברנולי.
ממוזער|החסמים שמתקבלים מאי-שוויון בנט ומאי-שוויון הופדינג, עבור הדוגמה עם n=20.|411x411 פיקסלים
מתקיים:  ו-לכן לפי אי-שוויון בנט לכל : 

ולפי אי-שוויון הופדינג לכל : 

עבור:  החסם שמתקבל מאי-שוויון בנט הוא:

כך שעבור  אי-שוויון בנט נותן חסם הרבה יותר הדוק מזה שמתקבל מאי-שוויון הופדינג עבור ערכים קטנים של  (למשל ) כפי שממחיש האיור.

הכללות
לאי-שוויון בנט קיימות הכללות גם לאובייקטים מתמטיים שאינם משתנים מקריים בלתי תלויים, למשל:
 קיימת גרסה למרטינגלים, בעזרתה ניתן לחסום הסתברות שקשורה לסכום של סדרת הפרשים  בעזרת ביטוי שמכיל את הפונקציה  והסתברות שקשורה לתוחלת המותנית של ריבוע המשתנים המקריים. 
 קיימת גרסה לאנליזה פונקציונלית, בעזרתה ניתן לחסום הסתברות שקשורה לסופרמום על פני משפחה של פונקציות מדידות שמקיימות תנאים מסוימים שמערב סכימה ביחס להרכבה עם משתנים מקריים שווי-התפלגות, בעזרת ביטוי שמכיל את הפונקציה  והשונויות.

ראו גם
 אי-שוויונות ברנשטיין
 חסם הופדינג
 אי-שוויון ריכוז 

הערות שוליים

קטגוריה:סטטיסטיקה
בנט