איבר צמוד (תורת השדות)

במתמטיקה, ובפרט בתורת השדות, איברים צמודים (באנגלית: conjugate elements) או צמודים אלגבריים של איבר אלגברי , ביחס להרחבת שדות , הם השורשים של הפולינום המינימלי  של  מעל השדה . נהוג לכנות איברים אלו פשוט כצמודים, כאשר ההקשר ברור. בדרך כלל  עצמו נכלל בקבוצת הצמודים שלו. ההצמדה היא יחס שקילות.

באופן שקול, הצמודים של  הם התמונות של  תחת אוטומורפיזמים של  המשמרים את איברי . השקילות של שתי ההגדרות הללו מהווה נקודת מוצא מרכזית בתורת גלואה.

מושג זה מכליל את ההצמדה המרוכבת, שכן הצמודים האלגבריים מעל  של מספר מרוכב הם המספר עצמו והצמוד המרוכב שלו.

דוגמה
שורשי היחידה מסדר שלישי הם:

שני השורשים האחרונים הם צמודים בשדה  עם הפולינום המינימלי:

תכונות
אם השדה  נמצא בתוך שדה סגור אלגברית , ניתן לבחור את הצמודים בתוך . אם לא מצוין שדה כזה, ניתן לבחור את הצמודים בשדה קטן יחסית . הבחירה הקטנה ביותר האפשרית עבור  היא שדה פיצול של הפולינום  מעל , המכיל את . אם  היא הרחבה נורמלית של  המכילה את , היא כבר מכילה שדה פיצול כזה בהגדרה.

עבור הרחבה נורמלית  של , עם חבורת אוטומורפיזמים  המכילה את , כל איבר מהצורה  עבור  ב- יהיה צמוד של , משום שהאוטומורפיזם  מעביר שורשים של הפולינום  לשורשים אחרים של אותו הפולינום. באופן הפוך, כל צמוד  של  הוא מהצורה הזו. במילים אחרות, החבורה  פועלת טרנזיטיבית על הצמודים. הדבר נובע מכך שההרחבה  איזומורפית מעל  ל- בשל אי-הפריקות של הפולינום המינימלי, וכל איזומורפיזם בין שדות המעביר פולינום אחד לאחר ניתן להרחבה לאיזומורפיזם בין שדות הפיצול של אותם פולינומים.

לסיכום, האיברים הצמודים של  נמצאים בכל הרחבה נורמלית  של  המכילה את , כקבוצה g(α) עבור g ב-Aut(L/K). מספר החזרות של כל איבר ברשימה זו הוא המעלה הספרבילית .

משפט של קרונקר קובע שאם  הוא שלם אלגברי שונה מאפס, ו- וכל הצמודים שלו בשדה המרוכבים בעלי ערך מוחלט שאינו עולה על 1, אז  הוא שורש יחידה. קיימות גרסאות כמותיות למשפט זה המציגות חסמים מדויקים (בהתאם למעלה של הפולינום) לערך המוחלט הגדול ביותר של צמוד, שממנו נובע שהשלם האלגברי הוא שורש יחידה.

לקריאה נוספת
 David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.
קישורים חיצוניים


קטגוריה:תורת השדות