נוסחת אוילר-רודריגס

במתמטיקה ובמכניקה, נוסחת אוילר – רודריגס מתארת סיבוב של וקטור במרחב תלת־ממדי. הוא מבוסס על נוסחת הסיבוב של רודריגס, אך משתמש בפרמטריזציה אחרת.

הסיבוב מתואר על ידי ארבעה פרמטרי אוילר שיצר לאונרד אוילר .

נוסחת הסיבוב של רודריגס (על שם אולינדה רודריגס), היא שיטה לחישוב המיקום של נקודה המסתובבת, השיטה משומשת ביישומי תוכנה מסוימים, כגון סימולטורים של טיסה ומשחקי מחשב .

 הַגדָרָה 
סיבוב סביב המקור מיוצג על ידי ארבעה מספרים ממשיים, , , ,  כך ש-



כאשר הסיבוב מוחל, נקודה במיקום  מסתובבת למיקומה החדש,



 ניסוח וקטורי 
ניתן לקרוא לפרמטר  פרמטר סקלרי ול-  הפרמטר הווקטורי . בסימון הווקטור הסטנדרטי, נוסחת הסיבוב של רודריגס לובשת את הצורה הקומפקטית.

 סִימֶטרִיָה 
הפרמטרים  ו-  מתארים את אותו סיבוב. מלבד סימטריה זו, כל קבוצה שונה של ארבעה פרמטרים מתארת סיבוב ייחודי במרחב התלת־ממדי.

 הרכבת סיבובים 
ההרכב של שני סיבובים הוא עצמו סיבוב. יהי  ו-  שני סיבובים המורכבים מהפרמטרים של אוילר. הפרמטרים של סיבוב ההרכבה (סיבוב 2 לאחר סיבוב 1) הם כדלקמן:



זה פשוט, אם כי מייגע, לבדוק ש-  . (זו בעצם זהות ארבעת הריבועים של אוילר .)

 זווית סיבוב וציר הסיבוב 
כל סיבוב מרכזי בתלת מימד נקבע באופן ייחודי על ידי ציר הסיבוב שלו (מיוצג על ידי וקטור יחידה  ) וזווית הסיבוב  . הפרמטרים של אוילר עבור סיבוב זה מחושבים באופן הבא:



שימו לב שאם  גדל בסיבוב מלא של 360 מעלות, הטיעונים של סינוס וקוסינוס גדלים רק ב-180 מעלות. הפרמטרים המתקבלים הם הפוכים מהערכים המקוריים,  ; ולכן הם מייצגים את אותו סיבוב.

בפרט, טרנספורמציה של הזהות (סיבוב אפס,  ) תואמת לערכי פרמטר  . סיבובים של 180 מעלות סביב כל ציר מביאים ל-  .

 ראו גם 
 פורמליזם של סיבוב בתלת מימד
 קווטרניונים וסיבוב מרחבי
 ורסור
 ספינורים בתלת מימד
 SO(4)
 קבוצת סיבוב תלת מימד
 דגם Beltrami–Klein (דגם Cayley–Klein)
 מדד Cayley–Klein
 זהות ארבעת הריבועים של אוילר 

 לקריאה נוספת 






הערות שוליים

קטגוריה:לאונרד אוילר