חלום המתחיל (מתמטיקה)

חלום השנה הראשונה הוא כינוי לשוויון השגוי , שבו  הוא מספר ממשי (בדרך כלל שלם חיובי הגדול מ-1) ו- הם מספרים ממשיים שאינם אפס. תלמידים מתחילים נוהגים לטעות בחישוב חזקה של סכום מספרים ממשיים, בהניחם בטעות כי חזקות מתפלגות על סכומים.Julio R. Bastida, Field Extensions and Galois Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1984, p.8.Fraleigh, John B., A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, p.453, .

החישוב הנכון של החזקה  נעשה על ידי משפט הבינום. למשל, כאשר , נוסחאות הכפל המקוצר מראות שהביטוי  שווה ל-, ולא ל-.

השימוש בשם "חלום השנה הראשונה" מתייחס גם לעיתים למשפט הקובע כי עבור מספר ראשוני , אם  ו- הם איברים מתחלפים בחוג בעל מאפיין , אז . במקרה המסוים הזה, "הטעות" אכן נותנת את התוצאה הנכונה, שכן  מחלק את כל המקדמים הבינומיים מלבד הראשון והאחרון, והופך את כל האיברים האמצעיים לאפס.

דוגמאות
, אבל .
 לא שווה ל-. לדוגמה, עבור 3 ו-4, מתקיים , אבל זה לא שווה ל-. בדוגמה זו, הטעות נעשתה עם החזקה .

מאפיין ראשוני

כאשר  הוא מספר ראשוני ו- ו- הם חברים בחוג חילופי בעל מאפיין , אז . ניתן להוכיח זאת באמצעות בחינת הגורמים הראשוניים של המקדמים הבינומיים:

המונה הוא  עצרת (!), שהיא מתחלקת ב-. עם זאת, כאשר , גם  וגם  זרים ל-, שכן כל הגורמים קטנים מ- ו- הוא מספר ראשוני. מכיוון שמקדם בינומי הוא תמיד מספר שלם, המקדמים הבינומיים עבור  בין  ל- מתחלקים ב- ולכן שווים ל-0 בחוג. נשארים המקדם הראשון והאחרון, ששניהם שווים ל-1, והתוצאה היא המשוואה הרצויה.

לכן, במאפיין , חלום השנה הראשונה מתקיים. תוצאה זו מראה שהעלאה בחזקת  יוצרת אנדומורפיזם, הידוע כאנדומורפיזם פרובניוס של החוג.

הערות שוליים

קטגוריה:מספרים ראשוניים