משפט התמיכה

באופטימיזציה קמורה, משפט התמיכה טוען שבהינתן קבוצה קמורה ונקודת שפה, ניתן להעביר היפר-מישור שיחלק את המרחב לשני חלקים כאשר הקבוצה מוכלת כולה באחד מהם וההיפר מישור מכיל את נקודת השפה.

משפט זה הוא משפט יסודי ונחוץ להוכחת משפט קארוש-קון-טאקר - אחת מהתוצאות המרכזיות בתחום.

המשפט דומה בנוסח למשפט ההפרדה הבסיסי אך מתייחס לנקודת שפה של הקמורה במקום לנקודה כללית שלא נמצאת בקבוצה.ממוזער|מקרה בו תנאי המשפט לא מתקיימים ( אכן נקודת שפה אבל  לא קבוצה קמורה) ולכן לא מובטחת לנו התוצאה (היפר-מישור שעובר בנקודת השפה ומחלק את המרחב לשני חלקים כשאר הקבוצה כולה מוכלת באחד מהם).

 ניסוח פורמלי 
תהי  קבוצה קמורה עם פנים לא ריק במרחב האוקלידי  ותהי  בשפה של . אז קיים וקטור  המקיים:

לכל .

 הוכחה 
תהי  נקודה פנימית ו- נקודת שפה של . לכל  נגדיר .

נשים לב שלכל  כנ"ל מתקיים  כי אחרת, על פי למת הנגישות, הקו  מכיל אך ורק נקודות פנימיות. אבל אם נציב  נקבל ש נקודה פנימית של  סתירה.

מהעובדה ש נוכל להפעיל את משפט ההפרדה הבסיסי ולקבל וקטור  המקיים:

לכל  ולכל .

מאחר שהאי שוויון הנ"ל יישמר גם אם ננרמל את  נרשה לעצמנו להתייחס לכל  כווקטור מנורמל, כלומר  לכל .

נגדיר סדרה  המקיימת שתי תכונות:


  לכל .

ונגדיר .

נשים לב ש לכל . ולכן ממשפט בולצאנו ווירשטראס קיימת לסדרה  תת סדרה  ששואפת לאיזשהו .

מרציפות הנורמה נובע שהגבול  מקיים  ולכן בפרט מתקיים .

אבל אם כך אז מרציפות המכפלה הפנימית מתקבל:

לכל  ומכאן מ.ש.ל

 לקריאה נוספת 

קטגוריה:אופטימיזציה מתמטית