משפט ההפרדה הבסיסי

בגאומטריה, משפט ההפרדה הבסיסי עוסק בקשר בין קבוצות קמורות ונקודות שנמצאות מחוץ לקבוצה.

המשפט טוען שבהינתן נקודה שלא נמצאת בקבוצה הקמורה תמיד ניתן יהיה למצוא היפר-מישור שיפריד את הקבוצה מהנקודה.

 ניסוח פורמלי 
תהי  קבוצה קמורה וסגורה במרחב האוקלידי  ויהי  המקיים  אז קיים וקטור  ומספר  כך ש:

לכל .

 הוכחה 
נתון  קמורה וסגורה ולכן ממשפט הקירוב הטוב ביותר קיים  שהוא הווקטור הקרוב ביותר ל ב. מעובדה זו, נובע אי השוויון הבאקיים משפט שטוען שאם  סגורה וקמורה אז: כלומר אי השוויון הימני מתקיים אמ"ם  הוא הקירוב הטוב ביותר של  ב.:

לכל .

נגדיר . ברור ש  ו-  לכל .

אם כך אז  לכל .

נגדיר  ונשים לב ש 

כלומר  לכל  ומכאן מ.ש.ל.

 קישורים חיצוניים 
 A. L. Peressini, F. E. Sullivan J. J. Uhl, Jr. The Mathematics of Nonlinear Programming p.162–163

הערות שוליים

קטגוריה:משפטים בגאומטריה