העתקה אוקלידית

טרנספורמציה אוקלידית או העתקה אוקלידית או איזומטריה אוקלידית היא העתקה גאומטרית של מרחב אוקלידי שמשמרת את המרחק האוקלידי  בין כל שתי נקודות.

העתקה אוקלידית כוללת סיבוב, הזזה ושיקוף וכן רצף של פעולות אלה. שיקוף מוחרג לפעמים מההגדרה של העתקה אוקלידית על ידי דרישה שההעתקה תשמר גם את האוריינטציה של אובייקטים במרחב האוקלידי (שיקוף אינו משמר את האוריינטציה; למשל, הוא יהפוך יד שמאל ליד ימין). כדי למנוע אי בהירות, העתקה המשמרת את האוריינטציה נקראת תנועה קשיחה או תנועה אוקלידית.

במרחב אוקלידי דו-ממדי, תנועה קשיחה היא הזזה או סיבוב. במרחב אוקלידי תלת-ממדי, כל תנועה קשיחה ניתנת לפירוק כהרכבה של סיבוב והזזה. למעשה, לפי משפט צ'סלס , כל תנועה קשיחה יכולה להתבטא כתנועת בורג, זאת אומרת תנועה שהיא הרכב של סיבוב והזזה למרחק (יכול להיות גם - 0) מסוים בציר הסיבוב.

לאחר תנועה קשיחה אובייקט ישמור על אותה צורה וגודל.

כל ההעתקות האוקלידיות הן דוגמאות להעתקות אפיניות. קבוצת כל ההעתקות האוקלידיות היא חבורה הקרויה חבורה אוקלידית , המסומנת E(n) עבור מרחבים אוקלידיים מממד n. קבוצת התנועות הקשיחות נקראת החבורה האוקלידית המיוחדת, ומסומנת SE(n).

בקינמטיקה, תנועות קשיחות במרחב אוקלידי תלת-ממדי משמשות לייצוג תזוזות של גופים קשיחים.

הגדרה פורמלית

העתקה אוקלידית מוגדרת כטרנספורמציה שכאשר היא פועלת על כל וקטור , מייצרת וקטור  שעבר טרנספורמציה שצורתה

שבה  (כלומר, R הוא העתקה אורתוגונלית), ו-t הוא וקטור שנותן את ההזזה של הראשית.

תנועה קשיחה מקיימת גם

כלומר R אינו מייצר שיקוף, ומכאן שהוא מייצג סיבוב (העתקה אורתוגונלית משמרת אוריינטציה). ואכן, כאשר מטריצת העתקה אורתוגונלית מייצרת שיקוף, הדטרמיננטה שלה היא 1-.

נוסחת מרחק
מדידת מרחק בין נקודות, או מטריקה, נחוצה כדי לוודא שההעתקה היא קשיחה. נוסחת המרחק האוקלידי עבור  היא הכללה של משפט פיתגורס. הנוסחה נותנת את המרחק בריבוע בין שתי נקודות  ו- כסכום ריבועי המרחקים לאורך צירי הקואורדינטות, כלומר

כאשר  ו- והנקודה מייצגת מכפלה סקלרית.

בשימוש בנוסחת המרחק הזו, להעתקה קשיחה  יש את התכונה

הזזות והעתקות ליניאריות
הזזה של מרחב וקטורי מוסיף וקטור  לכל וקטור במרחב, כלומר זו ההעתקה
.
קל להראות שמדובר בהעתקהה אוקלידית על ידי הוכחה שהמרחק בין הווקטורים לאחר ההזזה שווה למרחק בין הווקטורים המקוריים:
.
העתקה ליניארית של מרחב וקטורי, , משמרת צירוף ליניארי:
.
העתקה ליניארית  ניתנת לייצוג על ידי מטריצה, כלומר

כאשר  היא מטריצה בגודל .
העתקה ליניארית היא העתקה אוקלידית כאשר היא מקיימת את התנאי

שהוא
.
נשתמש בעובדה שניתן לכתוב את המכפלה הסקלרית של שני וקטורים v.w כפעולת המטריצה , כאשר ה-T מציין שחלוף מטריצה, ומתקיים
.
לפיכך, ההעתקה הליניארית L היא העתקה אוקלידית אם המטריצה שלה מקיימת את התנאי
,
כאשר  היא מטריצת היחידה. מטריצות המקיימות תנאי זה קרויות מטריצות אורתוגונליות. תנאי זה מחייב למעשה את העמודות של המטריצות הללו להיות וקטורי יחידה אורתוגונליים.

מטריצות המקיימות תנאי זה יוצרות חבורה תחת הפעולה של כפל מטריצות, חבורה הנקראת החבורה האורתוגונלית של מטריצות n×n, ומסומנת O(n).

נחשב את הדטרמיננטה של התנאי למטריצה אורתוגונלית ונקבל
,
שמראה שהמטריצה  יכולה להיות עם דטרמיננטה 1+ או 1-. מטריצות אורתוגונליות עם דטרמיננטה 1- הן שיקוף, ואלה עם דטרמיננטה 1+ הן סיבוב. את קבוצת המטריצות האורתוגונליות ניתן לראות כמורכבת משתי יריעות ב- המופרדות על ידי הקבוצה של המטריצות הסינגולריות.

הקבוצה של מטריצות הסיבוב קרויה "החבורה האורתוגונלית המיוחדת" ומסומנת . זו דוגמה לחבורת לי משום שיש לה מבנה של יריעה.

קישורים חיצוניים
 נצה מובשוביץ-הדר, טרנספורמציות, חבורות וסימטריה או מהו סוד הסדרה: 7, 17, 230, 4783..., עלון למורה המתמטיקה – על"ה 35, תשס"ו-2005

 Rigid Transformations, MathBitsNotebook.com
 Heejun Park, Rigid Transformation in 3D Space: Translation and Rotation, Medium, May 5, 2024

קטגוריה:פונקציות מתמטיות
קטגוריה:העתקות (פונקציות)