מרחב פסאודו-מטרי

בטופולוגיה, מרחב פסאודו-מטרי הוא קבוצה עם פונקציית מרחק שבה ייתכן מרחק 0 בין שני איברים השונים זה מזה. פונקציית מרחק כזו נקראת .פסאודו-מטריקה. מרחב פסאודו-מטרי מהווה הרחבה של המרחב המטרי.

להגדיר פסאודו-מטריקה על קבוצה  שקול ללתת יחס שקילות  על  ולהגדיר מטריקה על מרחב המנה  (ראו להלן). כך שהמושג מרחב פסאודו-מטרי לא מספק אובייקטים מתמטיים השונים באופן מהותי ממרחבים מטריים. עם זאת, המושג נוח כאשר טבעי יותר לדבר על אברי הקבוצה  מאשר על מחלקות השקילות בה (ראו דוגמאות להלן).

מרחבים פסאודו-מטרים הוגדרו לראשונה על ידי המתמטיקאי הסרבי דורו קורפה בשנת 1934.

 הגדרה מתמטית 
בהינתן קבוצה  ופונקציה , כאשר  היא קבוצת המספרים הממשיים האי-שליליים, הפונקציה  תקרא פסאודו-מטריקה אם ורק אם היא מקיימת את התנאים הבאים:

 לכל  מתקיים 
 לכל  מתקיים  (כלומר,  פונקציה סימטרית)
 לכל  מתקיים  (כלומר,  מקיימת את אי השוויון המשולש)

הזוג  נקרא "מרחב פסאודו-מטרי". הגדרה זו זהה להגדרה של מרחב מטרי למעט התנאי הראשון, בו עבור מרחבי מטרי מתקיים ש- אם ורק אם . על כן, כל מרחב מטרי הוא מרחב פסאודו-מטרי.

 טופולוגיה 
בצורה דומה למרחבים מטריים, ניתן להגדיר מרחב טופולוגי באמצעות הפסאודו-מטריקה על ידי לקיחת כל הכדורים הפתוחים  ולהשתמש בהם כבסיס לטופולוגיה. בטופולוגיה זו, הפסאודו-מטריקה  היא בהכרח פונקציה רציפה בשני המשתנים שלה.

ניתן להוכיח כי המרחב הטופולוגי הנוצר באמצעות הפסאודו-מטריקה יהיה בהכרח מרחב רגולרי לחלוטין. כמו כן, ניתן להראות כי אם הטופולוגיה מקיימת את אקסיומת ההפרדה  אז בהכרח הפסאודו-מטריקה היא בעצם מטריקה.

 זיהוי מטרי 
בהינתן מרחב פסאודו-מטרי , ניתן להגדיר על  יחס שקילות  כך ש- אם ורק אם . ניתן להראות כי אם  ו- אז בהכרח . מסיבה זו ניתן להגדיר פונקציה  כך שלכל  מתקיים . פונקציה זו מוגדרת היטב מכיוון שערך המרחק בין מחלקות שקילות אינו תלוי בנציג.

ניתן להוכיח כי  היא מטריקה ולכן  הוא מרחב מטרי.  תקרא מטריקת הזיהוי. כלומר, על-ידי זיהוי נקודות בעלות מרחק 0 זו מזו כאותה נקודה ניתן להפוך את המרחב הפסאודו-מטרי למרחב מטרי.

הטופולוגיה על מרחב מטרי זה מהווה את אותה הטופולוגיה של המרחב הפסאודו-מטרי המקורי עד כדי זיהוי נקודות. כלומר, אם  היא קבוצה פתוחה לפי הטופולוגיה של הפסאודו-מטריקה, אז  היא קבוצה פתוחה לפי מטריקת הזיהוי.

 דוגמאות 
 בהינתן מרחב מטרי  ניתן להגדיר מרחב  כאשר  היא קבוצת כל התת-קבוצות של  (לאו דווקא פתוחות או סגורות) ו- הוא מרחק האוסדורף המוגדר כך שלכל  מתקיים ש-. המרחב  הוא מרחב פסאודו-מטרי.
 בהינתן מרחב וקטורי  ונורמה למחצה עליו , ניתן להגדיר פסואודו-מטריקה  על  כך ש-.
 בהינתן מרחב מידה  ניתן להגדיר פסאודו-מטריקה  על  כך שלכל  מתקיים ש-.

 ראו גם 
 מרחב מטרי
 נורמה למחצה

 הערות שוליים 

קטגוריה:טופולוגיה
קטגוריה:מרחבים מטריים