טרנספורמציית סטילטיס

במתמטיקה, ובפרט בתורת ההסתברות ובאנליזה מרוכבת, טרנספורמציית סטילטיס (Stieltjes transformation), או התמרת סטילטיס של מידת הסתברות  על הישר הממשי עם תומך  היא הפונקציה המרוכבת  המוגדרת על ידי

בפרט, ניתן לראות כי  מוגדרת היטב בחצי המישור העליון והתחתון של המישור המרוכב.

ההתמרה קרויה על שם המתמטיקאי ההולנדי תומאס יוהנס סטילטיס (Thomas Joannes Stieltjes) אשר הציגה לראשונה ב-1894.

להתמרת סטילטיס שימושים שונים במתמטיקה, כאשר העיקרי שבהם הוא בתורת המטריצות האקראיות ובפרט בניתוח התפלגות הערכים העצמיים של מטריצות אקראיות.

 תכונות 

 סימטריה 
לכל  מתקיים כי . לכן, לרוב מספיק לנתח את התנהגות טרנספומצית סטילטיס בחצי המישור המרוכב העליון.

 נגזרות 
על פי כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל, ניתן לראות כי -

בפרט, ניתן לחסום את הנגזרות בעזרת החלק המדומה של  -

 אנליטיות, פיתוח לטור חזקות ומומנטים 
כפי שראינו, טרנספורמציית סטילטיס  היא פונקציה חלקה, ובנוסף, מהחסמים לעיל ניתן להסיק כי היא פונקציה אנליטית בתחום הגדרתה .

תחת ההנחה כי ל- קיימים מומנטים מכל סדר (למשל אם ל- תומך חסום), נוכל לפתח את טור טיילור של  ולקבל-

לכן, אם  משתנה מקרי בעל התפלגות , נקבל כי -

כלומר, המקדמים של תור החזקות הם המומנטים של .

 ניתוח החלק המדומה 
אם נכתוב עבור ,  נקבל כי -

בפרט, מאגף ימין ניתן לראות כי  ממפה את חצי המישור המרוכב העליון לעצמו, ולכן, בשילוב עם כך ש  אנליטית, נסיק כי היא פונקצית הרגלוץ.

 נוסחת ההיפוך של סטילטיס 
תחת תנאים מסוימים ניתן לשחזר את המידה  מטרנספורמציית סטילטיס המתאימה  בעזרת תוצאה חשובה הנקראת נוסחת ההיפוך של סטילטיס.

לדוגמה, אם פונקציית ההתפלגות המצטברת של  רציפה בקטע  אזי  

כאשר . 

מתכונת הסימטריה המרוכבת המצוינת לעיל ניתן לשכתב תוצאה זו ולכתוב 

כאשר  .

 הוכחה 
מניתוח החלק המרוכב של  המופיע בפרק התכונות נקבל כי - 

כאשר המעבר  נובע ממשפט ההתכנסות הנשלטת.

 מסקנה - שחזור פונקציית הצפיפות 
מנוסחת ההיפוך של סטילטיס נוכל להסיק כי אם  רציפה בנקודה  אז נגזרת רדון-ניקודים של  קיימת בנקודה ונתונה על ידי - 

 משפט הרציפות של סטילטיס 
נוסחת ההיפוך של סטילטיס מבטיחה לנו שתחת תנאים מתאימים, טרנספורמציית סטילטיס  קובעת ביחידות את המידה . משפט הרציפות של סטליטיס מכליל תוצאה זו ומאפשר לנו לנתח את ההתנהגות הגבולית של סדרת מידות על ידי ניתוח הגבול של התמרות סטילטיס המתאימות.

 ניסוח פורמלי 
יהיו  מידות הסתברות מקריות מעל הישר הממשי ותהא  מידת הסתברות.

אז, התנאים הבאים מתקיימים:

   כמעט תמיד אם ורק אם   כמעט תמיד בחצי המישור המרוכב העליון.

   בהסתברות אם ורק אם   בהסתברות בחצי המישור המרוכב העליון

   בתוחלת אם ורק אם   בתוחלת בחצי המישור המרוכב העליון.

 שימושים בתורת המטריצות האקראיות 

בעזרת משפט הרציפות של סטילטיס ניתן להוכיח את חוק חצי המעגל של ויגנרמאמר של יוג'ין ויגנר מ-1958 על התפלגות הערכים העצמיים במטריצות אקראיות מסוימות https://www.jstor.org/stable/1970008 ״On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices״.

גרסה בסיסית של חוק זה קובעת כי עבור מטריצות אקראיות, ממשיות וסימטריות  המקיימות:

 ל  כניסות בלתי תלויות ושוות התפלוגת.
ל  תוחלת 0 ושונות 1 לכל  .
ל  מומנטים מכל סדר לכל .

ההתפלגות הספקטרלית האמפירית (ESD) של , המוגדרת להיות  כאשר  הם הערכים העצמיים של , מתכנסת בתוחלת להתפלגות חצי המעגל של ויגנר. כלומר - 

למשפט זה הכללות שונות אשר מבטיחות התכנסות כמעט תמיד תחת הנחות מקלותמאמר של L. Arnold מ-1971 עם הכללה של חוק חצי המעגל של ויגנר https://link.springer.com/article/10.1007/BF00534107 ״On Wigner's semicircle law for the eigenvalues of random matrices״.

 סקיצה להוכחה 
התמרת סטילטיס של המטריצה המנורמלת  היא .

ההתמרה של התפלגות חצי המעגל של וויגנר,  נתונה על ידי -

לכן, על פי משפט הרציפות של סטילטיס, על מנת להוכיח את המשפט די להראות כי לכל  בחצי המישור המרוכב העליון מתקיים כי -

הוכחה מלאה ניתן למצוא בקישור המצורף.

 ראו גם 

 מטריצה אקראית
 התפלגות חצי המעגל של ויגנר
 התפלגות טרייסי-וידום
 התפלגות מרצ'נקו-פסטור

 קישורים חיצוניים 

 Z. D. Bai  ,Convergence Rate of Expected Spectral Distributions of Large Random Matrices, 1993
 Terence Tao, Topics in random matrix theory, 2012
 Roland Speicher, Lecture Notes on "Random Matrices", 2020
 Song Mei, Random Matrices and Stieltjes Transforms, 2021

 הערות שוליים 

קטגוריה:תורת ההסתברות