עצמאות אקסיומה

אקסיומה P היא עצמאית אם אין אקסיומות Q אחרות כך ש-Q גורר את P.

במקרים רבים יש מטרה בעצמאות, או כדי להגיע למסקנה של קבוצה מצומצמת של אקסיומות, או כדי להיות מסוגל להחליף אקסיומה עצמאית כדי ליצור מערכת תמציתית יותר (לדוגמה, אקסיומת המקבילים אינה תלויה באקסיומות אחרות של הגאומטריה האוקלידית, ומספקת תוצאות מעניינות כאשר היא נשללת או מוחלפת).

 הוכחת עצמאות 
אם האקסיומות Q המקוריות אינן עקביות, אז אין אקסיומה חדשה עצמאית. אם הן עקביות, אז ניתן להראות ש-P לא תלויה בהם אם כאשר מוסיפים להם את P, או כאשר מוסיפים להם את השלילה של P, שניהם מניבים קבוצות עקביות של אקסיומות. Kenneth Kunen, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, page xi. לדוגמה, האקסיומות של אוקלידס הכוללות את אקסיומת המקבילים מניבות גאומטריה אוקלידית, וכאשר אקסיומת המקבילים נשללת, מקבלים גאומטריה לא אוקלידית. לדוגמה, גאומטריה אליפטית (ללא מקבילים) וגאומטריה היפרבולית (מקבילים רבים). הן הגאומטריה האליפטית והן הגאומטריה ההיפרבולית הן מערכות עקביות, המראה כי אקסיומת המקבילים אינה תלויה באקסיומות האחרות. Harold Scott Macdonald Coxeter Non-Euclidean Geometry, pages 1-15

הוכחת עצמאות היא לרוב קשה מאוד. כפייה היא טכניקה אחת נפוצה. Kenneth Kunen, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, pages 184-237
 קישורים חיצוניים 
 Axiom independence, באתר PhilPapers

 הערות שוליים 

קטגוריה:אקסיומות