פרדוקס סיבוב מטבעות

ממוזער| מסלול נקודה הנמצאת על היקף המטבע המסתובב הוא קרדיואידה.
פרדוקס סיבוב המטבעות הוא בעיה מתמטית, הסותרת את האינטואיציה, המתארת מטבע המסתובב סביב שפת מטבע אחר בגודל שווה. המטבע הנע משלים שני סיבובים מלאים על ציר המטבע, ולא אחד, לאורך היקפו של המטבע הנייח וכאשר התצפית נעשית ממערכת חיצונית. ניתן להכליל את הבעיה גם למטבעות בעלי רדיוסים שונים.

 תיאור 
התחל עם שני מטבעות זהים הנוגעים זה בזה כשצידי "ראשם" מוצגים ומקבילים. תוך שמירה על מטבע A נייח, סובב את מטבע B סביב A, תוך שמירה על נקודת מגע ללא החלקה. כאשר מטבע B יגיע לצד הנגדי, שני הראשים יהיו שוב מקבילים ובכך נראה כי מטבע B השלים סיבוב מלא סביב צירו. המשך תנועה של B יחזיר אותו לנקודת ההתחלה ובכך ישלים סיבוב שני סביב צירו. באופן פרדוקסלי, נראה שמטבע B עשה מרחק הכפול מהיקפו.  עם זאת, מכיוון ששני המטבעות בעלי היקף זהה, הרי בהגדרה מטבע B עבר דרך השווה להיקפו שלו. הסיבוב השני נובע מהעובדה שהנתיב שלאורכו הוא מתגלגל הוא מעגלי.

אחת הדרכים להמחיש את העניין היא למתוח קו ישר שאורכו שווה להיקף המטבע ולהסיע לאורכו את מטבע B. כך ניתן לראות שמטבע B מבצע רק סיבוב אחד סביב צירו לאורך הנתיב הישר. זהו "הסיבוב הראשון". באותה מידה, החלקת מטבע B סביב היקף מטבע A, במקום לגלגל אותו, תוך שמירה על נקודת המגע הנוכחית שלו, תקנה סיבוב נוסף המייצג את "הסיבוב השני" בתרחיש המקורי.

כאשר מטבע B מסתובב, כל נקודה בהיקפו מתארת עקומה קרדיואידית.

 ניתוח ופתרון 
מתחילתו ועד סופו, מרכז המטבע הנע עובר במסלול מעגלי. היקף המטבע הנייח ומסלול המרכז יוצרים שני מעגלים קונצנטריים. רדיוס המעגל החיצוני הוא סכום הרדיוסים של המטבעות; לפיכך, היקף הנתיב של המרכז הנע הוא פי שניים מההיקף של כל אחד מהמטבעות.  מרכז המטבע המסתובב, מתקדם למרחק כפול מהיקפו. לכן, המטבע הנע מבצע שני סיבובים סביב צירו.

 רדיוסים לא שווים וצורות אחרות 
link=|ממוזער| דוגמה שבה R = 3 r. באיור 1, כאשר R פרוס על קו ישר, מספר הסיבובים (מספר הפעמים שהחץ מצביע כלפי מעלה) הוא ⁠ R / r ⁠ = 3. באיור 2, כאשר R במעגל, המטבע עושה סיבוב נוסף, ומבצע ⁠ R / r ⁠ + 1 = סיבובים 4. [ (לחץ לאנימציה)]
מטבע ברדיוס r מתגלגל סביב מטבע ברדיוס R משלים  + 1 סיבובים.  הסיבה לכך היא שמרכז המטבע הנע עובר במסלול מעגלי עם רדיוס (או היקף) של = + 1 מהרדיוס שלו (או ההיקף). במקרה קצה, כאשר R = 0, המטבע עם רדיוס r יבצע  + 1 = סיבוב אחד.

הצורה שסביבה מגלגלים את המטבע לא חייבת להיות עיגול: סיבוב אחד מתווסף ליחס היקפים של שתי הצורות כאשר מדובר בכל מצולע פשוט או עקומה סגורה שאינה חותכת את עצמה. אם הצורה מורכבת, מספר הסיבובים שנוסף (או נגרע, אם המטבע מתגלגל בתוך העקומה) הוא הערך המוחלט של אינדקס הליפוף שלו.

 יישומים 
 יממה כוכבית 
הפרדוקס קשור ליממה כוכבית שהוא הזמן שלוקח לכדור הארץ להסתובב עד שכוכב מרוחק חוזר לאותו מיקום בשמיים, בעוד שיממה שמשית הוא הזמן שבו השמש חוזרת לאותו מיקום. בשנה יש בערך 365.25 ימי שמש, אבל 366.25 יממות כוכביות כדי לחשב סיבוב אחד סביב השמש. Bartlett, A. K., Solar and Sidereal Time, Popular Astronomy, vol.  מכיוון שליממה שמשית יש 24 שעות, ליממה כוכבית יש בערך  × 24 שעות = 23 שעות, 56 דקות ו-4.1 שניות.

 תורת החבורות 
גרסה של הפרדוקס קיימת גם בתורת החבורות, במיוחד הניתוח של חבורת לי. אחת ההרכבות של קבוצה זו מתבססת על העובדה שכדור המתגלגל סביב כדור אחר, אשר לו רדיוס גדול פי שלושה, יבצע ארבעה סיבובים מלאים, ולא שלושה. 

 שגיאה במבחני SAT של שנת 1982 
ב-1 במאי 1982, במבחן ה-SAT לקבלה לקולג' בארצות הברית, הופיעה שאלה ולה מספר תשובות בנוגע לבעיה זו. שלושה נבחנים הוכיחו שבין האפשרויות שניתנו לא הייתה אף תשובה נכונה.

 ראו גם
 פרדוקס הגלגל של אריסטו

 קישורים חיצוניים 




 הערות שוליים 

סיבוב מטבעות
קטגוריה:סיבוב
קטגוריה:מעגל