עקרון הסה

במתמטיקה, העיקרון המקומי-גלובלי של הלמוט הסה, הידוע גם כעקרון הסה, הוא עקרון המבטיח בתנאים מסוימים קיום פתרונות למערכות משוואות פולינומיות מעל המספרים הרציונליים. כדי לקבוע קיום פתרון ברציונלים מציע העיקרון להתבונן בפתרונות של המשוואה בשדות ההשלמה של המספרים הרציונליים: המספרים הממשיים והמספרים ה--אדיים. אם קיים פתרון שם, אז עשוי להיות פתרון למשוואה גם במספרים רציונליים. גרסה פורמלית יותר של עקרון הסה קובעת שלסוגים מסוימים של משוואות יש פתרון רציונלי אם ורק אם יש להם פתרון במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים עבור כל p ראשוני. באופן יותר כללי העיסוק בעקרון הסה מתייחס לשאלה עבור אילו משוואות שמקדמיהן בשדה גלובלי אפשר לתפור ממשפחה של פתרונות משדות מקומיים עבור המשוואה, פתרון למשוואה בשדה הגלובלי?
רעיון אינטואיטיבי
בהינתן מערכת משוואות פולינומית עם מקדמים רציונליים, אם יש לה פתרון רציונלי, אז פתרון זה מהווה גם פתרון ממשי וגם פתרון -אדי. זאת מכיוון ששדה המספרים הרציונליים משוכן בשדה המספרים הממשיים וגם משוכן בשדה המספרים ה -אדיים. באופן יותר כללי, פתרון בשדה גלובלי מניב פתרונות בשדות המקומיים המתאימים להשלמה של השדה בכל המקומות. עקרון הסה מתייחס למצבים שבהם קיום של פתרונות למערכת בכל ההשלמות גורר את קיומו של פתרון בשדה המספרים הנתון.

בדומה אם למערכת משוואות פולינומית עם מקדמים שלמים יש פתרונות בשלמים אזי פתרון כזה מהווה גם פתרון בממשיים ובחוג השלמים ה -יאדים לכל  ראשוני. במקרה זה עיקרון הסה יתייחס למצבים שבהם קיום פתרונות למערכת בכל חוגי השלמים ה -אדים ובשדה הממשיים גורר את קיומו של פתרון במספרים שלמים.

הרעיון הבסיסי הוא שאם יש פתרון בחוג השלמים ה--אדים עבור כל , אז ניתן לתפור מפתרונות אלו באמצעות משפט השאריות הסיני פתרון בחוג  (זאת אומרת, פתרון שיקיים את המשוואה מודולו ) עבור כל שלם . לאחר מכן משתמשים בתכונות מיוחדות של המערכת כדי "להרים" פתרונות אלה לכדי פתרון שלם.

העיקרון הוא משפט מתמטי במספר מקרים מעניינים אבל גם במקרים שהעיקרון אינו מתקיים יש לעיתים אפשרות לתאר בצורה מתמטית את הסיבה לכישלונו.

תבניות המייצגות את אפס
תבניות ריבועיות
משפט הסה-מינקובסקי קובע שהעיקרון המקומי-גלובלי תקף עבור הבעיה של ייצוג המספר אפס על ידי תבנית ריבועית המוגדרת מעל שדה מספרים. התוצאה הוכחה תחילה עבור שדה המספרים הרציונלים על ידי הרמן מינקובסקי, ובאופן כללי יותר, לשדות מספרים, על ידי הלמוט הסה. במקרה הכללי יש להניח כי התבנית מייצגת את אפס בכל השדות המקומיים המתאימים. ראוי לציין את משפט לז'נדר (1785) אודות תבניות ריבועיות בשלושה משתנים שמראה גרסה של העיקרון המקומי-גלובלי עבור ייצוג אפס על ידי תבניות אלו, בשפה של קונגרואנציות.

הרחבות שדות
משפט הסה על הרחבה ציקלית  של שדות מספרים קובע שהעיקרון המקומי-גלובלי חל על התנאי של היותו של אבר בשדה  נורמה של איבר בשדה ההרחבה . נשים לב שבמקרה ש- היא הרחבה ריבועית אז משפט זה נובע ממשפט הסה-מינקובסקי (לתבניות דו-ממדיות).

תבניות ממעלה שלוש
דוגמה נגדית של ארנסט ס. סלמר מראה שלא ניתן להרחיב את משפט הסה-מינקובסקי לתבניות מדרגה 3: למשוואה

יש פתרון במספרים ממשיים, ויש פתרון בכל השדות ה-p-אדים, אבל אין לה פתרון לא טריוויאלי במספרים רציונליים.
דוגמה נגדית עבור תבנית ריבועית מעל השלמים (בורווי-רודניק) היא המשוואה

לה יש פתרונות בכל החוגים הפיאדים ובממשיים, אבל אין לה פתרון בשלמים.

רוג'ר הית'-בראון (Roger Heath-Brown) הראה
שכל תבנית מדרגה שלוש מעל המספרים השלמים בלפחות 14 משתנים מייצגת 0. תוצאה זו משפרת תוצאות קודמות של הארולד דבנפורט (Davenport). נובע כי העיקרון המקומי-גלובלי מתקיים באופן טריוויאלי עבור תבניות מדרגה שלוש מעל הרציונלים בלפחות 14 משתנים.
נעיר כי כל תבנית מדרגה שלוש מעל המספרים ה-p-אדים עם לפחות עשרה משתנים מייצגת אפס.

אם מצטמצמים לתבניות לא סינגולריות, אפשר לקבל תוצאות חזקות יותר: הית' בראון הוכיח שכל תבנית מדרגה שלוש ב-10 משתנים לפחות שאינה סינגולרית מעל המספרים הרציונליים מייצגת אפס, ובכך ביסס באופן טריוויאלי את עקרון הסה עבור מחלקה זו של תבניות.

בהקשר מסוים התוצאה של הית' בראון היא החזקה ביותר האפשרית: קיימות תבניות מדרגה שלוש לא סינגולריות מעל הרציונלים ב-9 משתנים שאינן מייצגות אפס.
מאידך, Hooley הראה שעקרון הסה תקף לייצוג אפס על ידי תבניות מדרגה שלוש בתשעה משתנים לפחות ובלבד שאינן סינגולריות מעל המספרים הרציונליים. שאלה פתוחה היא האם העיקרון תקף עבור תבניות מדרגה שלוש בחמישה משתנים ומעלה.
ההוכחות של תוצאות אלו של דבנפורט, הית'-בראון והולי השתמשו בשיטת המעגל של הארדי-ליטלווד.

לפי רעיון של יורי מאנין, ניתן לקשור את המכשולים להתקיימות עקרון הסה בתבניות מדרגה שלוש, לתיאוריה של חבורת בראואר (Brauer groups). באופן כללי ניתן להגדיר לכל יריעה אלגברית, איבר בחבורת בראואר הנקרא Manin-Brauer obstruction, ועבור מחלקות מסוימות של יריעות אלגבריות התקיימות עיקרון הסה עבור היריעה שקול לגמרי להתאפסות האיבר הנ"ל. עם זאת, סקרובוגטוב הראה ש Manin-Brauer obstruction אינו יכול להסביר את כל המקרים בו עקרון הסה כושל. עבודות של תומר שלנק ויונתן הרפז מבטאות את הכישלון של עיקרון הסה בשפה של תורת ההומוטופיה.

תבניות מדרגה גבוהה
דוגמאות נגדיות של פוג'יווארה וסודו מראות שמשפט הסה-מינקובסקי אינו ניתן להרחבה לתבניות מדרגה , כאשר n הוא מספר שלם לא שלילי.

מצד שני, משפט Birch מראה שאם d הוא מספר טבעי אי-זוגי כלשהו, אז יש מספר  כך שכל תבנית מדרגה  ביותר מ- משתנים מייצגת אפס. עבור תבניות כאלו עקרון הסה מתקיים באופן טריוויאלי.

משפט אלברט-בראוור-הסה-נתר
משפט אלברט-בראוור-הסה-נתר מתייחסת לנכונותו של העיקרון המקומי-גלובלי ביחס לתכונת הפיצול של אלגברה פשוטה מרכזית  מעל שדה מספרים . הוא קובע שאם  מתפצלת בכל השלמה  אז  איזומורפית לאלגברת מטריצות מעל .

חבורות אלגבריות
עקרון הסה לחבורות אלגבריות קובע שאם  היא חבורה אלגברית פשוטת קשר המוגדרת מעל השדה הגלובלי , אז ההעתקה 
היא חד חד ערכית. המכפלה באגף ימין נלקחת על קבוצת המקומות  של השדה הגלובלי .
יש וריאציה קצת יותר מסובכת עבור חבורות שאינן פשוטות קשר, ועקרון הסה עבור החבורה אורתוגונלית
 קשור קשר הדוק לעקרון הסה עבור התבנית הריבועית .

קנסר (בשנת 1966) ואחרים אימתו את עקרון הסה על ידי הוכחות פרטניות לכל חבורה אלגברית (פשוטת קשר). המקרה האחרון, החבורה , טופל על ידי צ'רנוסוב בשנת 1989.

עיקרון הסה לחבורות אלגבריות שימש בהוכחת ההשערה של  אנדרה וייל אודות מספרי טמאגאווה (Tamagawa) ובהוכחת משפט הקירוב החזק.

ראו גם
 משפט הסה-מינקובסקי
 אנליזה מקומית 
 משפט גרונאוולד-ואנג
 השערת העקמומיות הפיאדית של גרותנדיק-קאטס

קישורים חיצוניים
 וידאו של Numberphile על עקרון הסה באתר Youtube.
 עקרון הסה בWolfram MathWorld


לקריאה נוספת
 Number Theory, מאת בורביץ' ושפרביץ'.

הערות שוליים

קטגוריה:תורת המספרים האלגברית