אי-שוויון יאנג

במתמטיקה, אי-שוויון יאנג (באנגלית: Young's inequality for products) הוא אי-שוויון על מכפלה של שני מספרים. אי השוויון נקרא על שמו של המתמטיקאי האנגלי . אחד השימושים לאי-שוויון זה הוא בהוכחת אי-שוויון הלדר.

אי-שוויון יאנג עבור חזקה 2 אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים , מתקיים:

במקרה הכללי, אי-שוויון יאנג אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים ,
ועבור  כך ש ,

השוויון מתקבל אם ורק אם .

 הוכחה עבור חזקה 2 
עבור a ו b  ממשיים,

נפתח את הסוגריים, ונקבל:

נחבר   לשני הצדדים,

ולבסוף, נחלק ב  :

 הוכחה למקרה הכללי 
נשתמש באי-שוויון ינסן. כאשר  או  אי השוויון מתקיים.
נניח ש   וגם .
נגדיר . נקבל ש .

בגלל  שפונקציית הלוגריתם קמורה, ניתן להשתמש באי שוויון ינסן, ולקבל:

נקח אקספוננט בשני הצדדים, ונקבל

נציב את  ונקבל את אי-שוויון יאנג.

קישורים חיצוניים


יאנג