אי-שוויון אדמר

במתמטיקה, אי-שוויון אדמר (ידוע גם כמשפט הדטרמיננטות של אדמר) פורסם לראשונה על ידי ז'אק אדמר ב-1893.Maz'ya & Shaposhnikova לפי האי-שוויון, הערך המוחלט של דטרמיננטה של מטריצה שערכיה מספרים מרוכבים קטן או שווה למכפלת האורכים של וקטורי עמודותיה (שורותיה). כאשר למטריצה יש רק ערכים ממשיים, נפח המקבילון במרחב האוקלידי ה--ממדי הנפרש על ידי עמודות המטריצה (באמצעות צירופים ליניאריים עם מקדמים לא שליליים קטנים או שווים ל-1) קטן או שווה למכפלת אורכי עמודותיה.

בניסוח פורמלי, אי-שוויון אדמר קובע שאם  היא מטריצה בעלת עמודות , , אז



ושוויון ייתכן אם ורק אם העמודות של מטריצה  אורתוגונליות.

 תוצאות 
אם הערכים המוחלטים של האיברים של מטריצה  חסומים מלעיל על ידי , כלומר  לכל , אז מתקיים,



בפרט, אם הערכים של  הם רק  או  אזGarling



בקומבינטוריקה, מטריצה  שעבורה מתקיים שוויון, כלומר, שבנוסף לדרישות הקודמות העמודות של  הן אורתוגונליות, נקראת מטריצת אדמר.

באופן כללי יותר, נניח ש- היא מטריצה מרוכבת מסדר , שהערכים המוחלטים של איבריה שלה חסומים מלעיל על ידי , כלומר  לכל , מאי-שוויון אדמר נובע,



עבור מטריצה ממשית  מתקיים שוויון אם ורק אם  היא מטריצת אדמר.

אם מטריצה  חיובית למחצה קיימת  כך ש -  כאשר  היא המטריצה הצמודה של . לכן,



כלומר, הדטרמיננטה של מטריצה חיובית למחצה קטן או שווה למכפלת ערכי האלכסון שלה. גם אי-שוויון זה לעיתים מכונה אי-שוויון אדמר.

 הוכחה 
אם המטריצה  היא מטריצה לא הפיכה ולכן הדטרמיננטה שלה היא  והתוצאה היא מיידית. אם המטריצה  הפיכה ולכן העמודות של  אינן תלויות ליניארית. נסמן ב- את המטריצה המתקבלת על ידי חלוקת כל עמודה של  באורך שלה. נסמן ב-, , את העמודות של . ידוע לנו כי הן וקטורי יחידה ואורכן 1. נוכיח תחילה שהמטריצה  מקיימת את טענת המשפט, כלומר, 

נסמן  כאשר היא המטריצה הצמודה של , ונניח ש- הם הערכים העצמיים של . מכיוון שאורך כל עמודה של  הוא , כל איבר באלכסון הראשי של  הוא  ולכן העקבה של  היא . ניישם את אי-שוויון הממוצעים ונקבל,



מכאן נובע מקרה פרטי של המשפט,


 התוצאה הכללית נובעת מהמקרה הפרטי:

 אם יש שוויון אז כל הערכים העצמיים של  שווים וסכומם  ולכן שווים ל-. המטריצה  היא צמודה לעצמה ולכן ניתנת ללכסון, ומכאן שהיא מטריצת היחידה - במילים אחרות העמודות של  הן קבוצה אורתונורמלית והעמודות של  הן קבוצה אורתוגונלית.Proof follows, with minor modifications, the second proof given in Maz'ya & Shaposhnikova. הוכחות רבות אחרות ניתן למצוא בספרות.

קישורים חיצוניים


הערות שוליים

קטגוריה:דטרמיננטות
קטגוריה:אי-שוויונות