ספקטרום פרויקטיבי

בגאומטריה אלגברית ספקטרום פרויקטיבי הוא אנלוג פרויקטיבי של המושג ספקטרום של חוג.
ספקטרום פרויקטיבי מתאים לחוג קומוטטיבי מדורג  יריעה קוואזי-פרויקטיבית (או סכמה קוואזי-פרויקטיבית) , אם  אלגברה נוצרת סופית מעל . למשל, אם  הוא חוג הפולינומים, מדורג כך שכל המשתנים בעלי דרגה 1, אז   הוא המרחב הפרויקטיבי .
בגאומטריה אלגברית קלאסית יריעה פרויקטיבית  המוגדרת על-ידי משוואות הומוגניות  מתוארת על-ידי חוג מדורג  עם הדירוג המושרה מהדירוג הסטנדרטי בחוג הפולינומים.
בניית הספקטרום הפרויקטיבי משחזרת (בשפה של סכמות) את היריעה הפרויקטיבית  מהחוג המדורג .
 כקבוצה
יהי  חוג קומוטטיבי מדורג. אידיאל  נקרא הומוגני אם . אוסף אברי  בעלי דרגה חיובית  הוא אידיאל הומוגני הקרוי לעיתים אידיאל לא רלוונטי . איברי  הם האידיאלים הראשוניים המדורגים של  שלא מכילים את .

טופולוגיית זריצקי על 
בדומה לטופולוגיה על הספקטרום של חוג קומוטטיבי, ניתן להגדיר על  טופולוגיה על-ידי קביעת קבוצות 
, כאשר  אידיאל הומוגני, כקבוצות סגורות.
זה מגדיר טופולוגיה על  הנקראת טופולוגיית זריצקי. בסיס של הטופולוגיה ניתן על-ידי הקבוצות הפתוחות  כאשר  איבר הומוגני ב-. נציין כי  הומאומורפי לספקטרום של החוג , לוקליזציה הומוגנית של  המוגדרת כאוסף שברים  ב-  בעלי דרגה .

  מבנה של סכמה על 
כדי להגדיר מבנה של מרחב מחויג על , יש להגדיר עליו את אלומת המבנה , אלומת הפונקציות הרגולריות. כיוון שהקבוצות הפתוחות  מהוות בסיס של טופולוגיה,  מספיק להגדיר את חתכי אלומת המבנה רק על קבוצות אלה, וכן להגדיר את העתקות הצמצום  לכל זוג איברים הומוגניים  בחוג .
הומיאומורפיזם בין  לבין הספקטרום של  מאפשר להגדיר  ולקבל
את העתקות הצמצום באופן אוטומטי.
כיוון שמרחב מחויג  איזומורפי, לפי הבנייה, לסכמה אפינית ,  הוא סכמה.

מורפיזם סכמות  מתקבל על-ידי הדבקה של המורפיסמים 
המוגדרים על-ידי מבנה של -אלגברה על . מורפיזם זה פרויקטיבי עם 
אלגברה נוצרת סופית מעל .

דוגמאות
 המרחב הפרויקטיבי 
הדוגמה הראשונה של ספקטרום פרויקטיבי היא  כאשר . הקבוצות הפתוחות 
מזוהות עם ספקטרה של חוגי הפולינומים , כך שבמקרה  הוא שדה 
סגור אלגברית, הנקודות הסגורות של  מזוהות עם המרחב הפרויקטיבי הקלאסי .
באופן כללי, הספקטרום הפרויקטיבי של  כאשר  חוג קומוטטיבי כלשהו והמשתנים  בעלי דרגה , נקרא המרחב הפרויקטיבי מעל  המסומן .

 יריעות פרויקטיביות קלאסיות 
יהי  שדה סגור אלגברית,  אלגברה מדורגת הנוצרת על-ידי איברים הומוגניים בעלי דרגה .
זה גורר כי  ניתן להציג כמנה של החוג המדורג  מודולו אידיאל הומוגני .
זה מאפשר להציג  כתת-סכמה סגורה של . הנקודות הסגורות של  הן
נקודות  של  המקיימות משוואות של .

ניפוח של סכמה אפינית
תהי  סכמה אפינית ותהי  תת-סכמה סגורה הניתנת על-ידי אידיאל . 
ניפוח של  ב-  אפשר לתאר כספקטרום פרויקטיבי של החוג המדורג

לקריאה נוספת
 Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Springer-Verlag. .

קטגוריה:גאומטריה אלגברית