שדה פונקציות

בגאומטריה ובאלגברה, כל שדה נוצר סופית מעל שדה בסיס k נקרא שדה פונקציות. כל שדה פונקציות הוא השדה שאיבריו הם הפונקציות הרציונליות המוגדרות על יריעה אלגברית אי-פריקה מסוימת. עבור יריעה אפינית אי-פריקה, אפשר לתאר את השדה כשדה שברים של חוג הפונקציות הפולינומיות של היריעה, שהוא תחום שלמות, ואותו אפשר להציג באמצעות יוצרים ויחסים.
 שדה נקרא רציונלי מעל שדה הבסיס k אם הוא מהצורה , כלומר שדה השברים של חוג פולינומים. יריעה אלגברית נקראת רציונלית אם שדה הפונקציות שלה הוא רציונלי. בעיית נתר עבור פעולה של חבורה סופית G כחבורת תמורות של היוצרים של שדה רציונלי E, שואלת האם שדה הַשֶּבֶת הוא רציונלי. בפרט, נסמן להלן ב- את שדה השבת של  תחת הפעולה הטבעית של G.
 שדה F הוא רציונלי ביציבות (stably rational) אם  רציונלי לאיזשהו m. כל שדה רציונלי הוא רציונלי ביציבות, אבל ההפך אינו נכון.
 שדה F הוא נסג רציונלי (retract rational) אם L הוא שדה השברים של תחום שלמות A כך שקיים חוג  עם שיכון של A ב-R והטלה של R על A, שהרכבתם היא הזהות על A. אם F רציונלי ביציבות, אז F הוא נסג רציונלי. ההפך אינו נכון מעל  (דוגמה נגדית: ). דוגמה נגדית מעל  אינה ידועה.
 שדה F הוא יונירציונלי (unirational) אם F הוא תת-שדה של שדה רציונלי. כל נסג רציונלי הוא יונירציונלי. ההפך אינו נכון (דוגמאות נגדיות:  ו- עבור חבורה P מסוימת מסדר p^9).

חבורת האוטומורפיזמים של שדה הפונקציות הרציונליות  נקראת חבורת קרמונה (Cremona) .

לקריאה נוספת
 Ming-chang Kang, Retract rational fields, 2012.

קישורים חיצוניים


קטגוריה:תורת השדות