משפט הערך ההתחלתי

באנליזה מתמטית, משפט הערך ההתחלתי הוא משפט המקשר בין ביטויים בתחום התדר להתנהגות מערכת בתחום הזמן כשהזמן שואף לאפס.

ניסוח פורמלי
תהי  התמרת לפלס של פונקציה ממשית , כלומר . אם  חסומה בתחום הפתוח  והגבול  קיים, אזי מתקיים .

 הוכחה 
 חסומה והגבול  קיים, כלומר . באמצעות החלפת משתנה ניתן להראות לכל  ש־ וכן ש־.

נפעיל גבול על שני צִדי המשוואה:


הפונקציות  חסומות כולן על ידי הפונקציה  (עבור  גדול מספיק), שהיא אינטגרבילית על הקרן . בנוסף לזה, משפחת הפונקציות הזו מתכנסת נקודתית לפונקציה . על פי משפט ההתכנסות הנשלטת, כל אחת מהפונקציות במשפחה היא אינטגרבילית, וגבול האינטגרלים הוא האינטגרל של פונקציית הגבול:



ולכן:

מ.ש.ל 

 ראו גם 
 משפט הערך הסופי

 הערות שוליים 

קטגוריה:משפטים באנליזה