התפלגות תת-מעריכית

בתורת ההסתברות, התפלגות תת-מעריכית (או תת-אקספוננציאלית) היא התפלגות שזנבותיה דועכים בקצב החסום על ידי פונקציה מעריכית.
פורמלית, התפלגות של משתנה מקרי  תיקרא תת-מעריכית אם קיים  כך שלכל  מתקיים: .

במילים: הסיכוי ש  גדול מ- חסום בפונקציה מעריכית דועכת ביחס ל-.

התפלגות תת-מעריכית היא גם התפלגות זנב דק כיוון שהיא עונה על ההגדרה שקיים  כך ש-:
, כאשר  היא פונקציית התפלגות של  ,

 הגדרות 
ההתפלגות התת-מעריכית ניתנת להגדרה במספר דרכים שקולות, עבור קבועים  ממשיים:
 תוחלת האקספוננט של הערך המוחלט של המשתנה המקרי כפול פרמטר חסום בשתיים: .
 עבור כל  כך ש-, התוחלת של האקספוננט של המשתנה המקרי כפול למדה דועכת מעריכית עם קצב : .
 לכל , מתקיים: .
 במידה ש-, עבור כל  כאשר , מתקיים: .
 אם  תת-גאוסי.

תכונות
 סכום משתנים תת-מעריכיים: אם  ו- הם משתנים מקריים תת-מעריכיים בלתי תלויים, אז גם הסכום שלהם  הוא תת-מעריכי.
 יציבות תחת מקסימום: התפלגויות תת-מעריכיות הן יציבות תחת מקסימום. כלומר, אם  הם משתנים מקריים תת-מעריכיים בלתי תלויים, אז גם  הוא תת-מעריכי.
 הוכחה: ניתן להוכיח זאת באמצעות חסם האיחוד וההגדרה הראשונה של התפלגות תת-מעריכית:
,
כאשר  הם פרמטרי התת-מעריכיות של המשתנים.

 נורמות
 נורמת אורליץ 
פונקציה  המוגדרת על המספרים האי-שליליים נקראת פונקציית אורליץ אם:
  פונקציה קמורה
  פונקציה מונוטונית לא יורדת
 , 

כל פונקציית אורליץ מגדירה נורמת אורליץ  של משתנים מקריים, לפי הנוסחה:
.

עבור הפונקציה , אפשר לראות שלמשתנה מקרי יש נורמת אורליץ  סופית אם ורק אם הוא תת-מעריכי. באופן כללי, עבור הפונקציות  (לכל ), נקבל משפחה מעריכית של פונקציות אורליץ. גם המקרה  הוא מיוחד מפני שלמשתנה מקרי יש נורמת  סופית אם ורק אם הוא משתנה תת-גאוסי.

קבוצה נוספת של נורמות אורליץ מתקבלת עבור , כאשר הנורמה התקבלת היא נורמת  של המשתנה המקרי.

 נורמה תת-מעריכית 
הנורמה התת-מעריכית היא דוגמה לנורמת אורליץ כאשר , מסומנת כ-, של משתנה מקרי מוגדרת על ידי:,

על סמך ההגדרה השקולה הראשונה, אם הנורמה סופית המשתנה הוא תת-מעריכי.

 נורמה תת-גאוסית 
הנורמה התת-גאוסית היא דוגמה לנורמת אורליץ כאשר , מסומנת כ-, של משתנה מקרי מוגדרת על ידי:.

 הקשר בין משתנה מקרי תת-גאוסי למשתנה מקרי תת-מעריכי 
 כל משתנה  שהוא תת-גאוסי הוא גם משתנה מקרי תת-מעריכי.
 אם  הוא משתנה מקרי תת-מעריכי, אז המשתנה  הוא משתנה מקרי תת-גאוסי, ומתקיים .
 טענה זאת נובעת ישירות מהגדרת הנורמות.
 אם  ו- הם משתנים מקריים תת-גאוסיים, אז המכפלה שלהם, , היא משתנה מקרי תת-מעריכי, ומתקיים .

 משפטים 
אי שוויון ברנשטיין
אי שוויון ברנשטיין מספק חסם על הזנב של סכום של משתנים מקריים תת-מעריכיים בלתי תלויים עם תוחלת אפס.

נניח ש- הם משתנים מקריים תת-מעריכיים בלתי תלויים עם תוחלת אפס. אזי, לכל , מתקיים:
,
כאשר .

 אי-שוויון ברנשטיין עבור התפלגויות חסומות 
נניח ש- הם משתנים מקריים תת-מעריכיים בלתי תלויים עם תוחלת אפס. נניח גם כי המשתנים חסומים, כלומר  לכל , עבור קבוע . אז עבור כל , אי-שוויון ברנשטיין קובע כי:

כאשר  היא סכום השונויות.

 התפלגויות מוכרות 
 ההתפלגות מעריכית היא התפלגות תת-מעריכית.
 התפלגות וייבול כאשר :
 פונקציית ההסתברות המצטברת שלה היא:
 זנב ההתפלגות מקיים: 
 עבור :  כלומר, מדובר בקצב דעיכה מעריכי בדיוק, כאשר הקבוע הוא הפרמטר . לכן, כאשר , התפלגות וייבול היא תת-מעריכית (זהה להתפלגות מעריכית).
 עבור , מתקיים: ביטוי זה דועך מהר יותר מאקספוננט שלילי פשוט, כלומר גם במקרה זה ההתפלגות היא תת-מעריכית.
 עבור , תנאי זה לא מתקיים, ולכן התפלגות וייבול אינה תת-מעריכית במקרים אלו.
 כל התפלגות תת-גאוסית

 ראו גם 
 התפלגות תת-גאוסית
 התפלגות מעריכית
 נורמת אורליץ 
 אי-שוויונות ברנשטיין

 קישורים חיצוניים 
 Roman Vershynin, High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science, University of California, Irvine, June 9, 2020

הערות שוליים

תת-מעריכית