הפרדוקס של רישאר

בלוגיקה, הפרדוקס של רישאר הוא אנטינומיה סמנטית של תורת הקבוצות ושפה טבעית.

פרדוקס זה תואר לראשונה על ידי המתמטיקאי הצרפתי ז'ול רישאר בשנת 1905, ומשמש בדרך כלל כדי להדגיש את חשיבותה של הבחנה קפדנית בין מתמטיקה למטא-מתמטיקה.

ניסוח הפרדוקס
להלן גרסה העוסקת באריתמטיקה של מספרים שלמים.

נניח כי ביכולתנו להגדיר ולנסח בבהירות באמצעות מילים (לצורך הדוגמה בעברית) את התכונות האריתמטיות הטהורות של מספרים מונים.
כדי להימנע ממעגליות ומנסיגה אינסופית בשרשרת ההגדרות, מושגים אחדים המתייחסים לתכונות האריתמטיות יישארו ללא הגדרה מפורשת – מפני שבכל מערכת היסק יש להתחיל מאקסיומות כלשהן. אך לצורך הטיעון נניח כי המושגים היסודיים הבלתי-מוגדרים מובנים בדרך כזאת או אחרת (למשל "מספר שלם הוא סכום של שני מספרים שלמים"). כך למשל נגדיר:
"מספר ראשוני הוא מספר שלם המתחלק ללא שארית רק בעצמו ובאחד".
"מספר ריבועי הוא מספר שלם השווה למכפלת מספר שלם כלשהו בעצמו".
כל הגדרה כזאת מכילה מספר סופי של מילים ואותיות. על כן ניתן לערוך את ההגדרות בזו אחר זו ביחס סדר מילוני, כלומר על פי מספר האותיות שבה ועל פי סדר אלפביתי.
על סמך סדר זה ניתן להצמיד לכל הגדרה מספר שלם יחיד המייצג את מיקומה בסדרת ההגדרות – כלומר להגדרה בת מספר האותיות הקטן ביותר נצמיד 1, לבאה אחריה 2 וכן הלאה.
כיוון שכך, ייתכן לעיתים כי מספרה של הגדרה כלשהי מקיים את התכונה האריתמטית המתוארת בהגדרה – נניח למשל כי להגדרת המספר הראשוני הנ"ל נצמיד 47 (מספר ראשוני), ולהגדרת המספר הריבועי הנ"ל נצמיד 48 (מספר לא-ריבועי).
עתה נגדיר: "מספר רישארי x הוא מספר שלם שאינו מקיים את התכונה האריתמטית המתוארת בהגדרה שמספרה הסידורי x בסדרת ההגדרות". המספר 48 הנ"ל הוא אכן כזה. הגדרה זו לכאורה מתארת תכונה של מספרים שלמים, ולכן בעצמה שייכת לסדרת ההגדרות – כלומר יש לה מספר סידורי n כלשהו. האם n רישארי או להפך?
אם n רישארי אזי הוא אינו מקיים את התכונה "להיות רישארי". אם n לא-רישארי אזי הוא מקיים את התכונה "להיות רישארי". סתירה!

פתרון הפרדוקס

קישורים חיצוניים


קטגוריה:פרדוקסים
קטגוריה:פרדוקסים מתמטיים
קטגוריה:פרדוקסים של התייחסות עצמית