תת-קטגוריה

במתמטיקה, תת-קטגוריה של קטגוריה C היא קטגוריה שבה אוסף האובייקטים הוא תת-אוסף של אוסף האובייקטים של C, אוסף המורפיזמים הוא תת-אוסף של אוסף המורפיזמים של C, אם אותם מורפיזמי זהות והרכבה.

הגדרה
תת-קטגוריה S של קטגוריה C נתונה על ידי
 תת-אוסף ob(S) של אוסף האובייקטים של C ו
 תת-אוסף hom(S) של אוסף המורפיזמים של C
כך ש
 לכל אובייקט X ב ob(S), מורפיזם הזהות Id_X שייך ל hom(S).
 לכל מורפיזם f : X → Y, גם המקור X וגם הטווח Y שייכים ל hom(S).
 לכל שני מורפיזמים f ו g ב hom(S), שההרכבה שלהם ב C מוגדרת, ההרכבה שייכת ל hom(S).

האוספים ob(S) ו hom(S) מגדירים קטגוריה S, שההרכבה בה מושרה על ידי ההרכבה ב C, ופונקטור טאוטולוגי מהימן מ־S ל C.
דוגמאות
 קטגוריית הקבוצות הסופיות היא תת-קטגוריה מלאה של קטגוריית הקבוצות.
 קטגורית החוגים היא תת-קטגוריה לא מלאה של קטגוריית ה"חוגים בלי יחידה".

סוגים של תת-קטגוריות
 תת-קטגוריה S ב C נקראת תת-קטגוריה מלאה אם עבור כל שני אובייקטים X ו־Y ב־S מתקיים
.
 תת-קטגוריה S של קטגוריה אבלית C נקראת תת-קטגוריית סר אם לכל סדרה מדויקת קצרה

ב C, M שייך ל־S אם ורק אם גם 'M וגם ''M שייכים ל S.

קטגוריה:תורת הקטגוריות
קטגוריה:היררכיה