אומד עקיב

בסטטיסטיקה,  אומד הוא כלל לחישוב אומדנים מתוך תצפיות, עבור הערך של פרמטר   המאפיין את התפלגות התצפיות. אומד עקיב הוא בעל תכונה שכאשר כמות הנתונים המשמשת לחישוב האומד גדלה ושואפת לאינסוף, האומד מייצר סדרת משתנים מקריים  המתכנסת בהסתברות לערך של הפרמטר  המאפיין את התפלגות התצפיות. המשמעות היא שהתפלגויות המשתנים המקריים המתקבלים מתרכזות יותר ויותר ליד הערך הרצוי של הפרמטר הנאמד. כלומר, לכל   נתון, שההסתברות לכך שהמרחק בין המשתנים המקריים בסדרה לבין הערך הנכון של  יהיה גדול מ-, שואפת ל-0.

נניח שנתונה משפחה של התפלגויות עם פרמטר , כך שלכל התפלגות במשפחה מתאים ערך מסוים של . נניח שנתון מדגם מקרי מתוך אחת ההתפלגויות השייכות למשפחה ועבור התפלגות של המדגם מתקיים . אומד של  הוא פונקציה של המדגם מקרי, המוגדרת למדגמים בכל גודל n ותפקידו לאמוד את . עקיבות של אומד היא תכונה שמאפיינת את האומד כאשר גודל המדגם  שואף לאינסוף. אם ניתן להראות מתמטית שלכל התפלגות מהמשפחה, בהינתן מדגם מקרי מההתפלגות, סדרת המשתנים המקריים שהאומד מגדיר מתכנסת בהסתברות לערך של θ המתאים להתפלגות שממנה לקוח המדגם, אז האומד נקרא אומד עקיב ל-θ; אחרת, אם ניתן להראות שעבור התפלגות מסוימת במשפחה הסדרה איננה מתכנסת כלל או מתכנסת לערך לא נכון, אז האומד אינו אומד עקיב ל-θ.

עקיבות כפי שהוגדרה כאן מכונה לפעמים עקיבות חלשה. כאשר אנו מחליפים התכנסות בהסתברות בהתכנסות כמעט בוודאות, אומרים שלאומד יש עקיבות חזקה.

באופן פורמלי בהינתן משפחת התפלגויות , אם לכל ערך   אפשרי של   וסדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות , האומד   מתכנס בהסתברות ל- :  כלומר  או באופן שקול, אם לכל ε > 0,  אז  הוא אומד של  בעל עקיבות חלשה.

לאומד  של פרמטר  יש עקיבות חזקה, אם לכל ערך   אפשרי של  וסדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות ,   מתכנס בהסתברות 1 ל-. כלומר, 

 דוגמאות 

 ממוצע מדגם של משתנה מקרי נורמלי 
נניח שנתון מדגם מקרי של משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות מהתפלגות נורמלית . כדי לאמוד את  על סמך  המשתנים המקריים הראשונים ניתן להשתמש כאומד בממוצע המדגם: . אומד זה מגדיר סדרה של משתנים מקריים, משתנה לכל .

מתכונות ההתפלגות הנורמלית, נובע כי  מתפלג התפלגות נורמלית, עם תוחלת  ושונות . בנוסף לכך, מתכונות ההתפלגות הנורמלית נובע כי ל-  יש התפלגות נורמלית סטנדרטית. לכן, לכל  כאשר  שואף לאינסוף, 



לכן, הסדרה  של ממוצעי המדגם מהווה אומד עקיב לתוחלת   ( היא ההתפלגות המצטברת של ההתפלגות הנורמלית סטנדרטית).

 לקריאה נוספת 


 הערות שוליים 

קטגוריה:סטטיסטיקה