נוסחאות ניוטון-קוטס

באנליזה נומרית, הנוסחאות של ניוטון-קוטס, הנקראות גם כללי הריבוע של ניוטון-קוטס או פשוט כללי ניוטון-קוטס, הן קבוצה של נוסחאות לאינטגרציה נומרית (נקראת גם ריבוע) המבוססת על הערכת האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. הם נקראים על שם אייזק ניוטון ורוג'ר קוטס.

נוסחאות ניוטון-קוטס יכולות להיות שימושיות אם ניתן הערך של האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. אם אפשר לשנות את הנקודות שבהן מוערך האינטגרנד, אז כנראה ששיטות אחרות כמו תרבוע גאוס ותרבוע  קלנשו-קרטיס  מתאימות יותר.

 תיאור 
ההנחה היא שערך הפונקציה  המוגדרת ב  ידוע ב  נקודות שוות מרחק:  . ישנן שתי מחלקות של ריבוע ניוטון-קוטס: הן נקראות "סגורות" כאשר  ו , כלומר הן משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה של המרווחים, ו"פתוחות" כאשר  ו , כלומר הן לא משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה. שימוש בנוסחאות ניוטון-קוטס באמצעות  נקודות ניתן להגדרה (עבור שתי המחלקות) כ- כאשר
 עבור נוסחה סגורה, , עם  ,
 עבור נוסחה פתוחה, , עם  .

המספר  נקרא גודל צעד,  נקראות משקולות .

ניתן לחשב את המשקולות כאינטגרל של פולינומי לגרנז' בסיסיים. הם תלויים רק ב  ולא על הפונקציה  .

יהי  פולינום האינטרפולציה בצורת לגראנז' עבור הנקודות , אזי

 חוסר יציבות לדרגה גבוהה 
ניתן לבנות נוסחת ניוטון-קוטס בכל דרגה  . עם זאת, עבור  גדול כלל ניוטון-קוטס יכול לפעמים לסבול מתופעת רונגה   שבה השגיאה גדלה באופן אקספוננציאלי עבור  גדול. שיטות כמו נצב גאוס וניצב קלנשאו-קרטיס עם נקודות מרווחות באופן לא שווה (מקובצות בנקודות הקצה של מרווח האינטגרציה) הן יציבות ומדויקות הרבה יותר, ובדרך כלל הן מועדפות על ניוטון-קוטס. אם לא ניתן להשתמש בשיטות אלו, מכיוון שהאינטגרנד ניתן רק ברשת הניתנת בחלוקה שווה, אז ניתן להימנע מהתופעה של Runge באמצעות כלל מורכב, כפי שיוסבר להלן.

לחלופין, ניתן לבנות נוסחאות ניוטון-קוטס יציבות באמצעות קירוב ריבועים קטנים במקום אינטרפולציה. כך ניתן לבנות נוסחאות יציבות מבחינה נומרית גם לדרגות גבוהות.  

 נוסחאות סגורות של ניוטון-קוטס 
טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הסגור. עבור , יהי  כאשר , ו .
+נוסחאות ניוטון-קוטס סגורות  גודל צעד  שם נפוץ נוּסחָה מונח שגיאה 1  שיטת הטרפז   2  שיטת סימפסון   3    4  שיטת בול  
שיטת בול מכונה לעיתים שיטת בוד, כתוצאה מהפצת טעות דפוס ב־Abramowitz and Stegun, ספר עיון מוקדם. Booles Rule at Wolfram Mathworld, with typo in year "1960" (instead of "1860")

המעריך של גודל הצעד h ברכיב השגיאה מגדיר את הקצב שבו יורדת שגיאת הקירוב. סדר הנגזרת של f ברכיב השגיאה מגדיר את הדרגה הנמוכה ביותר של פולינום שלא ניתן עוד לשלב במדויק (כלומר בשגיאה שווה לאפס) עם הכלל הזה. את המספר  יש לקחת מהקטע (a, b ), לפיכך תחום השגיאה שווה לרכיב השגיאה כאשר  .

 נוסחאות ניוטון-קוטס פתוחות 
טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הפתוח. עבור , יהי  כאשר , ו  .
+פתח את נוסחאות ניוטון-קוטס  גודל צעד  שם נפוץ נוּסחָה מונח שגיאה 0  כלל מלבן, או</br> כלל נקודת האמצע   1    2  כלל מילן   3   

 כללים מורכבים 
כדי שחוקי ניוטון-קוטס יהיו מדויקים, גודל הצעד  צריך להיות קטן, מה שאומר שמרווח האינטגרציה  חייב להיות קטן בעצמו, וזה לא נכון רוב הזמן. מסיבה זו, בדרך כלל מבצעים אינטגרציה נומרית על ידי פיצול  לתת-מרווחים קטנים יותר, החלת כלל ניוטון-קוטס על כל תת-מרווח, וחיבור התוצאות. זה נקרא כלל מורכב . ראה אינטגרציה נומרית .

 ראו גם
 ריבוע (מתמטיקה)
 אינטרפולציה
 אינטרפולציה של ספליין

הערות שוליים

 מ. אברמוביץ ואי.א. סטגון, עורכים. <i id="mwAQM">מדריך לפונקציות מתמטיות עם נוסחאות, גרפים וטבלאות מתמטיות</i> . ניו יורק: דובר, 1972. (ראה סעיף 25.4.)
 ג'ורג' אי פורסיית', מייקל א' מלקולם וקליב ב' מולר. שיטות מחשב לחישובים מתמטיים . Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977. (ראה סעיף 5.1.)

 יוסף סטואר ורולנד בולירש. מבוא לניתוח נומרי . ניו יורק: ספרינגר-ורלג, 1980. (ראה סעיף 3.1.)

 קישורים חיצוניים 
 Newton–Cotes formulas on www.math-linux.com
 Weisstein, Eric W. "Newton–Cotes Formulas". MathWorld.
 Newton–Cotes Integration, numericalmathematics.com


קטגוריה:אנליזה נומרית
קטגוריה:אינטגרלים