זהות הרמיט

זהות הרמיט () היא משפט בתורת המספרים, הנקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי שארל הרמיט. היא מספקת תובנות חשובות לגבי תכונות של מספרים שלמים ושימושיה באלגברה ובאנליזה. היא משמשת בעיקר להוכחת התכונות של פונקציות מחזוריות ובבניית אלגוריתמים לחישובים בתורת המספרים.

הזהות קובעת כי לכל  שלם ולכל  ממשי מתקיים

כאשר  פונקציית הערך השלם.

הוכחה
באמצעות אלגברה
נכתוב , כאשר  הערך השלם ו- החלק השברי. ראשית ברור כי מתקיים

קיים בדיוק איבר אחד  עבורו

נחסר מהאי-שוויון את הביטוי , ועל פי תכונות הערך השלם נקבל

נחלק את הסכום המבוקש לשני סכומים מתאימים, ונקבל

באמצעות פונקציות
נגדיר פונקציה . מכאן נקבל

כלומר לפונקציה מחזור בגודל , ולכן די להראות כי  לכל :

קישורים חיצוניים
 FRANZ LEMMERMEYER, Hermite's identity, Heidelberg University

קטגוריה:הוכחות
הרמיט