פונקציית דיגמא

ממוזער|300x300 פיקסלים| גרפים של החלק הממשי של פונקציית דיגמא ושל שלוש פונקציות הפוליגמא הבאות לאורך הקו הממשי
במתמטיקה, פונקציית הדיגמא מוגדרת כנגזרת הלוג של פונקציית הגמא:



זאת הראשונה מבין פונקציות הפוליגמא. פונקציה זו מונוטונית עולה ממש וקעורה ממש על , והיא שקולה אסימפטוטית ל-



עבור () בגזרה  לכל .

פונקציית הדיגמא מסומנת לעיתים קרובות כ- או .

 קשר למספרים ההרמוניים 
פונקציית הגמא מקיימת את המשוואה



ניקח לוג של שני האגפים:



גזירה ביחס ל- :



מכיוון שהמספרים ההרמוניים מוגדרים עבור מספרים שלמים חיוביים 



מתקיים,



כאשר  ו- הוא קבוע אוילר-מסקרוני. עבור ארגומנטים של חצי מספר שלם פונקציית דיגמא מקבלת את הערכים



 ייצוגים אינטגרליים 
אם החלק הממשי של  הוא חיובי אז לפונקציית הדיגמא יש את הייצוג האינטגרלי של גאוס:Whittaker and Watson, 12.3.



שילוב של ביטוי זה עם זהות אינטגרלית עבור קבוע אוילר-מסקרוני  נותן:



האינטגרל הזה הוא המספר ההרמוני של אוילר , כך שניתן לכתוב:



כתוצאה מקבלים הכללה של נוסחת נסיגה:



הייצוג אינטגרלי של דיריכלה:



מהייצוג האינטגרלי של גאוס ניתן לקבל את הנוסחה הבאה של .Whittaker and Watson, 12.31.



נוסחה זו היא גם תוצאה של האינטגרל הראשון של בינה עבור פונקציית הגמא. ניתן לזהות את האינטגרל כהתמרת לפלס.

האינטגרל השני של Binet לפונקציית גמא נותן נוסחה שונה עבור :Whittaker and Watson, 12.32, example.



מתוך ההגדרה של  והייצוג האינטגרלי של פונקציית הגמא, מקבלים



כאשר  .

 ייצוג באמצעות מכפלה אינסופית 
הפונקציה  היא פונקציה שלמה, והיא יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה אינסופית:



כאשר  הוא האפס ה- של  (ראה להלן) ו-  הוא קבוע אוילר-מסקרוני.

הערה: זה גם שווה ל-  בשל ההגדרה של פונקציית הדיגמא: 

 ייצוג כטור 
מנוסחת המכפלה של אוילר לפונקציית הגמא, בשילוב עם המשוואה הפונקציונלית וזהות עבור הקבוע של אוילר-מסקרוני, מתקבל הביטוי הבא לפונקציית הדיגמא, התקף במישור המורכב פרט למספרים השלמים השליליים (אברמוביץ וסטגון 6.3.16):



 חישוב סכומים של פונקציות רציונליות 
ניתן להשתמש בזהות לעיל כדי להעריך סכומים מהצורה



כאשר  ו- הם פולינומים של .

פירוק לשברים חלקיים של  בשדה המורכב, במקרה שבו כל השורשים של  הם שורשים פשוטים,



כדי שהטור יתכנס,

 ,

אחרת הטור יהיה גדול מהטור ההרמוני ויתבדר. לכן,



ונקבל,

ניתן לקבל גם נוסחה כללית באמצעות טורים עם פונקציות פוליגמא בדרגה גבוהה יותר:



בתנאי שהטור משמאל מתכנס.

 טור טיילור 
לדיגמא יש טור זיטה רציונלית, הניתן על ידי פיתוח טור טיילור סביב הנקודה :



שמתכנס עבור . כאשר,  היא פונקציית הזטה של רימן. טור זה מתקבל מהטור טיילור של פונקציית הזטה של Hurwitz.

 טור ניוטון 
טור ניוטון לפונקציית דיגמא, המכונה לפעמים גם טור שטרן:



כאשר  הוא המקדם הבינומי. ניתן להכליל זאת ל-



כאשר .

 נוסחת השיקוף 
פונקציית הדיגמא מקיימת נוסחת שיקוף דומה לזו של פונקציית הגמא:

 .

 ראו גם 
 פונקציית פוליגמא
 פיתוחי צ'בישב
 קישורים חיצוניים 






 הערות שוליים 

דיגמא