התפלגות דיריכלה

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות דיריכלה (על שם Peter Gustav Lejeune Dirichlet ), מסומנת לעיתים קרובות , היא משפחה של התפלגויות רב-משתניות רציפות המוגדרות על ידי וקטור  של ממשיים חיוביים. זוהי הכללה רב-משתנית של התפלגות ביתא, (Chapter 49: Dirichlet and Inverted Dirichlet Distributions) ומכאן שמה החלופי - התפלגות בטא רב-משתנית (MBD).  התפלגות דיריכלה משמשת בדרך כלל כהתפלגות פריורית בסטטיסטיקה בייסיאנית, ולמעשה, התפלגות דיריכלה היא ההתפלגות הצמודה של ההתפלגות הקטגוריאלית וההתפלגות המולטינומית.

ההכללה האינסוף-ממדית של התפלגות דיריכלה היא תהליך דיריכלה.

 הגדרות 
 פונקציית צפיפות הסתברות 
שמאל|ממוזער|250x250 פיקסלים| הדגמה כיצד הלוג של פונקציית הצפיפות משתנה כאשר K = 3 ואנו משנים את הווקטור α מ- α = (0.3, 0.3, 0.3) עד (2.0, 2.0, 2.0), תוך שמירה על כך שכל הרכיבים של  נשארים שווים זה לזה.

להתפלגות דיריכלה מסדר  עם פרמטרים , יש פונקציית צפיפות, לפי למידת לבג במרחב האוקלידי , המתוארת באמצעות:



 כאשר  שייכים לסימפלקס  תקני, או באופן שקול, לכל , .

הקבוע המנרמל הוא פונקציית בטא רב-משתנית, שניתן לבטאו במונחים של פונקציית גמא:



 תומך 
התומך של התפלגות דיריכלה היא קבוצת וקטורים  ממדיים  שהערכים שלהם הם מספרים ממשיים בקטע [0,1] כך ש , כלומר סכום הקואורדינטות שווה ל-1. למשל עבור  התומך הוא משולש שווה-צלעות המשוכן במרחב התלת-ממדי, שקודקודיו בנקודות (1,0,0), (0,1,0) ו (0,0,1), כלומר נמצאים על צירי הקואורדינטות במרחק 1 מהראשית.

 תכונות 
 מומנטים מסדר שני 
יהי . ויהי
 .
אזי על פי

פרט לכך, אם  אז
 .
מטריצת הקוויראנס היא אם כך סימטרית והפיכה.

 שכיח 
השכיח של ההתפלגות הוא הווקטור  כאשר

 .

 התפלגות שולית 
ההתפלגות השוליות הן התפלגויות בטא
 .
 אנטרופיה 
קישורים חיצוניים

 הערות שוליים 

דיריכלה