מטריצה אנטי-סימטרית

במתמטיקה, במיוחד באלגברה ליניארית, מטריצה אנטי-סימטרית (באנגלית: Anti-Symmetric Matrix או Skew-Symmetric Matrix) היא מטריצה ריבועית שהשחלוף שלה שווה לשלילה שלה. כלומר, הוא מקיים את התנאי:

במונחי הרכיבים של המטריצה, אם  מציין את הערך בשורה ה־ ובעמודה ה־, אז תנאי האנטי-סימטריות שווה ערך ל־

 תכונות 
 אוסף המטריצות האנטי-סימטריות הוא מרחב וקטורי. בפרט, הסכום של שתי מטריצות אנטי סימטריות הוא מטריצה אנטי סימטרית, וכל כפולה בסקלר של מטריצה אנטי סימטרית היא מטריצה אנטי סימטרית.
 כאשר השדה ממאפיין שונה מ-2:
 הממד של מרחב המטריצות האנטי סימטריות הוא .
 הרכיבים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי סימטרית הם כולם אפס, ובפרט העקבה שלה שווה לאפס.
 הערכים העצמיים של מטריצה ממשית אנטי-סימטרית הם מספרים מרוכבים טהורים (כלומר, כפולות ממשיות של היחידה המרוכבת i).
 בפרט, אם  היא מטריצה אנטי סימטרית ממשית  היא מטריצה הפיכה, כאשר  היא מטריצת היחידה.
 אם  היא מטריצה אנטי סימטרית  היא מטריצה סימטרית שלילית (negative indefinite).
 מעל שדה ממאפיין 2, אין הבדל בין מטריצות אנטי-סימטריות למטריצות סימטריות.

 שימושים 

 מכפלה וקטורית 
ניתן להשתמש במטריצות אנטי סימטריות של שלוש על שלוש כדי לייצג פעולת מכפלה וקטורית ככפל מטריצות. בהינתן וקטורים  ו-, מוגדרת המטריצה:



ניתן לכתוב את פעולת המכפלה הווקטורית בתור



ניתן לאמת זאת בקלות על ידי חישוב שני הצדדים של המשוואה הקודמת והשוואה של כל רכיב תואם של התוצאות.

 הגדרת מטריצת סיבוב 
בהינתן , וקטור סיבוב, מטריצת הסיבוב  המתאימה תהיה:

 הכללות 
ערך זה עוסק במטריצות שהן אנטי-סימטריות ביחס לפעולת השחלוף. באופן דומה מגדירים איברים אנטי-סימטריים ביחס לאינוולוציה הסימפלקטית של מטריצות, או לכל אינוולוציה אחרת.

 ראו גם
 מטריצה סימטרית

 לקריאה נוספת 



 קישורים חיצוניים 



  Fortran Fortran90


 הערות שוליים 

קטגוריה:מטריצות
קטגוריה:אלגברה ליניארית