מגוון (אלגברה אוניברסלית)

באלגברה אוניברסלית, מגוון הוא משפחה של מבנים אלגבריים בעלי אותה חתימה, הסגורה ביחס למעבר לתת-מבנים, לתמונות הומומורפיות, ולמכפלה ישרה (לאו דווקא סופית). לפי משפט בירקהוף (נקרא גם משפט HSP על שם הפעולות האלה), כל מגוון מוגדר על ידי מערכת של זהויות.

באנגלית נקרא המגוון בשם variety, המתורגם לעברית בדרך כלל בתור .

יש התאמה בין מגוונים לבין קונגרואנציות על המבנה החופשי. כאשר סריג הקונגרואנציות הוא מודולרי, גם סריג המגוונים הוא מודולרי. משפט מלצב (1954, ) נותן קריטריון המבטיח את המודולריות של סריג הקונגרואנציות. לדוגמה, סריג המגוונים של לולאות הוא מודולרי. 

כל מבנה אלגברי יוצר מגוון. לדוגמה, חבורה ציקלית מסדר n יוצרת את המגוון הכולל את כל החבורות האבליות מאקספוננט המחלק את n. סריג המגוונים של רצועות ידוע באופן מלא.

 מגוונים קטנים וגדולים 

מגוון הנוצר על ידי מבנה סופי הוא נוצר סופית. יש טיפוסי מבנים
שבהם כל מגוון נוצר סופית הוא נוצר סופית תורשתית (כל תת-מגוון נוצר סופית)

מגוון המכיל מספר סופי של תת-מגוונים הוא קטן. לדוגמה, המגוון הנוצר על ידי חבורה סופית הוא קטן. מאידך, יש חבורה למחצה בגודל 6 היוצרת מגוון שיש לו רצף של תת-מגוונים. יש שני מגוונים קטנים ונוצרים סופית של חבורות למחצה שהצירוף (join) שלהם מכיל רצף של תת-מגוונים.

מגוון הנוצר על ידי מספר סופי של זהויות הוא בעל בסיס סופי. יש מבנים אלגבריים (חבורות, חוגים אסוציאטיביים, סריגים, חבורות-למחצה קומוטטיביות) שעבורם כל מגוון נוצר סופית הוא בעל בסיס סופי. בעיית טארסקי שאלה האם יש אלגוריתם המכריע עבור מבנה סופי האם המגוון שהוא יוצר הוא בעל בסיס סופי; McKenzie הוכיח (ב-1996) שהתשובה - אפילו עבור מגמות - שלילית. הבעיה פתוחה עבור חבורות למחצה. 

מגוון שהוא בעל בסיס סופי תורשתית (כל תת-מגוון הוא בעל בסיס סופי) יכול להכיל רק מספר בן מניה של תת-מגוונים. מגוון שהוא קטן, בעל בסיס סופי ונוצר סופית נקרא מגוון Cross.

מאידך, מגוון שסריג תת-המגוונים שלו מכיל עותק של כל סריג סופי, נקרא מגוון אוניברסלי סופית. לדוגמה, המגוון של חבורות למחצה המוגדר על ידי הזהות xx=yxy הוא אוניברסלי סופית (Volkov, 1989).

אומרים שמגוון V מקיים את תכונת הכיסוי אם לכל תת-מגוון U יש תת-מגוון W המכיל את U כך שאין אף מגוון X המקיים U<X<W. המגוון של כל החבורות למחצה מקיים את תכונת הכיסוי.

עבור תכונה P של מבנים אלגבריים, המגוון V הוא P-מקומית אם כל מבנה נוצר סופית ב-V מקיים את התכונה P. עבור חבורה למחצה S, השאלה האם לאף מגוון סופי מקומית המכיל את S אין בסיס סופי היא decidable (בת-חישוב), (Sapir, 1991).

 ראו גם 
 מגוון (תורת החבורות)

קישורים חיצוניים


 מקורות 
 A survey on varieties generated by small semigroups, Journal of Algebra, December 2023.

 הערות שוליים 

קטגוריה:אלגברה
en:Variety (universal algebra)