משפט ההערכה

באנליזה מרוכבת, למת האומדן, הידועה גם בשם אי-שוויון , היא לֶמה הנותנת חסם עליון לאינטגרל מסילתי. החסם מאפשר לחסום אינטגרלים, למשל לצורך החישובים הנדרשים במשפט השארית.

אם  היא פונקציה מרוכבת רציפה על המסילה  ואם המודול שלה  חסום על ידי הקבוע  עבור כל  על , אז:

כאשר  הוא אורך המסילה . בפרט, ניתן לקחת את המקסימום  כחסם עליון.

טענת הלמה אינה מפתיעה. אם מקרבים את המסילה כאיחוד סופי של קטעים קטנים, אז המקסימום של הערכים בקטעים אלה אינו רחוק מהחסם  על המסילה. לפיכך, אם מבצעים אינטגרל של המקסימום על פני כל המסילה, אז האינטגרל של  על המסילה חייב להיות קטן ממנו או שווה לו.

ניתן להוכיח את האי-שוויון באמצעות הגדרת האינטגרל הקווי, אי-שוויון המשולש האינטגרלי והנוסחה עבור אורך עקומה כדלקמן:

 דוגמה 
ממוזער|200x200 פיקסלים| המסילה 
בעיה – חשבו את האינטגרל .

פתרון – במקום לחשב את האינטגרל בגבולות המבוקשים, נקרב את  ונשאיף את  לאינסוף. לשם כך נשלים את קטע האינטגרציה למסילה סגורה, על ידי הוספת חצי המעגל  מ- לכיוון  (נגד כיוון השעון). את חצי המעגל הזה נסמן ב-.

לפי משפט השארית, האינטגרל הזה שווה ל- כפול סכום השאריות בכל נקודות הסינגולריוּת. הסינגולריות היחידה של הפונקציה בתוך המסילה היא בנקודה . אפשר לפתח לטור לורן
; ומכאן שהשארית, שהיא המקדם של
, שווה ל-. מכאן נובע שהאינטגרל על פני כל המסילה הוא .

אורכו של מסלול האינטגרציה הוא חצי היקף מעגל שרדיוסו , ומכאן .
מאי-שוויון המשולש ניתן לראות כי:

ולכן:
 כאשר .
מכאן:

כלומר , והחסם הוא:
. הערך הזה שואף לאפס כאשר  שואף לאינסוף, ומכאן ש-.

ראו גם
 הלמה של ז'ורדן
 משפט השאריות

 לקריאה נוספת 
.
.

קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת
קטגוריה:אי-שוויונות
אומדן