פונקציונל מינקובסקי

במתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית, פונקציונל מינקובסקי הוא פונקציונל המוגדר על תת-קבוצה של מרחב וקטורי מעל שדה הממשיים.

לפונקציונל מינקובסקי יש קשר הדוק למושג הנורמה-למחצה והנורמה, ולמעשה ניתן להוכיח כי כל נורמה-למחצה (ובפרט כל נורמה) היא פונקציונל מינקובסקי על קבוצה כלשהי. מעבר לכך, פונקציונל מינקובסקי משמש למספר הוכחות, בהן הוכחת גרסה מוכללת של משפט האן-בנך למרחב קמור מקומית.

הפונקציונל נקרא על שמו של המתמטיקאי הרמן מינקובסקי.

 הגדרה מתמטית 
בהינתן מרחב וקטורי  מעל שדה הממשיים,  ו-, מסמנים:

. זוהי המתיחה של קבוצה  בסקלר .

מגדירים את פונקציונל מינקובסקי לפי  להיות הפונקציונל  כך שלכל :

זאת כאשר  היא פונקציית האינפימום. כאשר לא קיים  כזה (כלומר, הקבוצה ריקה ולכן אין לה אינפימום), מגדירים .

 תכונות 
  אם ורק אם , אחרת .
 כל פונקציונל מינקובסקי הוא הומוגני חיובי. כלומר, לכל  ולכל  מתקיים .
 אם הקבוצה  היא קבוצה סימטרית () אז פונקציונל מינקובסקי  הומוגני בהחלט ()
 אם הקבוצה  היא קבוצה קמורה אז פונקציונל מינקובסקי  הוא פונקציונל תת-ליניארי
 אם הקבוצה  היא קבוצה קמורה לחלוטין (כלומר, קבוצה קמורה ומאוזנת) אז פונקציונל מינקובסקי  הוא נורמה למחצה.

 קשר לנורמה למחצה 
נורמה למחצה היא פונקציונל על מרחב וקטורי המקיים תת-ליניאריות והומוגניות בהחלט. ניתן להוכיח כי כל נורמה למחצה (ובפרט כל נורמה) היא פונקציונל מינקובסקי ביחס לכדור היחידה שלה. 

 הוכחה 
נתון מרחב וקטורי  מעל שדה הממשיים ועליו נורמה למחצה . מגדירים את . יש להוכיח כי .

בוחרים  כלשהו. ייתכנו שני מקרים:

מקרה ראשון: במקרה שבו . בגלל הומוגניות בהחלט, לכל  מתקיים כי:

לכן . הדבר נכון לכל , לכן בהכרח 

מקרה שני: במקרה שבו  מסמנים . מתקיים כי:

משמע  ובהכרח . מצד שני, לכל  מתקיים כי:

כלומר  ולכן . מכל זה יוצא כי .

שני מקרים אלו מכסים את כל האפשרויות של , על כן .

מש"ל.

 ראו גם 
 נורמה-למחצה
 נורמה (אנליזה)
 משפט האן-בנך

 הערות שוליים 

קטגוריה:אנליזה פונקציונלית
קטגוריה:נורמות (מתמטיקה)