ממוצע זהותי

במתמטיקה, ממוצע זהותי הוא גודל מתמטי המייצג את הממוצע של שני מספרים ממשיים חיוביים.

עבור שני מספרים ממשיים חיוביים ושונים  ו-, הממוצע הזהותי שלהם מוגדר להיות:

כאשר  מגדירים 

 מוטיבציה 
משפט הערך הממוצע של לגרנז' קובע כי בהינתן שני מספרים ממשיים  ופונקציה  רציפה בקטע הסגור  וגזירה בקטע הפתוח , אזי קיים  כך ש:

אם הנגזרת  היא פונקציה חד-חד-ערכית,  זה הוא יחיד וניתן להתייחס אליו כממוצע של  ו- לפי הפונקציה .

הממוצע הזהותי מתקבל מקביעת .

 תכונות 

 סימטריות 
הממוצע הזהותי הוא סימטרי:

 מונוטוניות 
ניתן להוכיח כי הממוצי הזהותי עולה מונוטונית בשני משתנים. כלומר, בהינתן  ו- ניתן להוכיח כי 

 הומוגניות 
הממוצע הזהותי הוא הומוגני. כלומר, לכל  ו- ולכל מקדם :

 רציפות 
הממוצע הזהותי  הוא רציף בשני משתנים. בנקודות שבהן  הרציפות נובעת מכך שהממוצע הזהותי הוא הרכבה של פעולות אלמנטריות רציפות כגון חיסור, כפל, חילוק, אקספוננט ולוגריתם. עבור הנקודות שבהן  ניתן להיעזר בגבול:

כדי לקבל ש:

 קשר לממוצע סטולרסקי 
עבור שני מספרים ממשיים חיוביים  ו- ומספר ממשי , ממוצע סטולרסקי מחזקה  מוגדר להיות:

ניתן להוכיח כי על אף שממוצע סטולרסקי אינו מוגדר עבור , מתקיים:

מסיבה זו ניתן להתייחס לממוצע הזהותי כמקרה פרטי של ממוצע סטולרסקי מחזקה 1.

קישורים חיצוניים


 הערות שוליים 

קטגוריה:ממוצעים