הנפה (סטטיסטיקה)

בסטטיסטיקה ובפרט בניתוח רגרסיה, הנפה או מינוף (באנגלית: Leverage) הוא מדד לחריגות של תצפיות, המבוסס על המשתנים המנבאים ברגרסיה. במילים אחרות, מדד זה בוחן כמה רחוקים ערכי המשתנים המנבאים השייכים לתצפית מסוימת, מערכים אלו בתצפיות האחרות.

מינוף יכול לבטא מרחק אוקלידי ממשתנים מנבאים אחרים, אך גם שוני הנוגע לדפוסי קורלציה.לדוגמה במדגם שבו יש מתאם חיובי גבוה בין   לבין , תצפית שבה  מקבל ערך גבוה ו מקבל ערך נמוך תהיה בעלת הנפה גבוהה. שערוכים של פרמטרי המודל האופטימלי נוטים להימשך לתצפיות בעלות הנפה גבוהה, ומכאן נגזרת המילה הנפה - תצפיות אלו נוטות למנף את המודל אליהן. תצפיות אלו הן בעלות פוטנציאל רב להיות נקודות בעלות השפעה (influential points). אף על פי שנקודה משפיעה תהיה בדרך כלל בעלת מינוף גבוה, נקודת מינוף גבוה היא לא בהכרח נקודה משפיעה. זאת משום שמידת ההשפעה תלויה גם בחריגות ערך המשתנה אותו מנבאים, ערך ה-y של התצפית, חריגות שלא נכללת בחישוב ההנפה. בהתאם לתכונה זו, למינוף יש חשיבות גדולה בחישוב מדדי השפעה של תצפיות על תוצאות אמידת הפרמטרים של המודל, כמו למשל מדד ההשפעה על שם ראלף קוק - מרחק קוק (Cook's distance).

 הגדרה מתמטית 
הנפה מוגדרת באמצעות הרכיבים האלכסוניים של מטריצת הכובע (hat matrix, ידועה גם בשם 'מטריצת ההטלה'). מטריצה זו מתארת את ההשפעה של כל תצפית, על הערכים המשוערכים של כלל התצפיות. האלכסון של מטריצה זו מתאר את ההשפעה של כל תצפית על ה-y המשוערך של אותה התצפית. מטריצה זו מוגדרת כמטריצה אשר הכפלתה בווקטור המשתנה אותו המודל מנבא (y) תוביל לווקטור המשנה התלוי המשוערך על פי המודל.

בכתיב מטריצות: , כאשר מסמנים .

ניתן לתאר את הבניה של  באמצעות ממוצע משוקלל של ערכי המשתנה אותו מנבאים  בכל התצפיות מ-1 עד N, המוכפלים במשקלות השייכים ל-.

זאת משום ש- .

מכאן שהערך  מהווה את המשקל של התצפית על השערוך שלה . 

ערך זה חסום בין 0 ל-1.

 הסבר אינטואיטיבי למטריצת ההטלה 
ניתן להסתכל על רגרסיה ליניארית כפתרון נדרש לסט משוואות ליניאריות כאשר כל תצפית מהווה משוואה, ונדרש למצוא פתרון בדמות מקדמים , שכאשר הם יוכפלו עבור כל תצפית  בערכי המשתנים המנבאים שלה  הם יובילו לערכי ה-y המתאימים לאותה תצפית. עם זאת, ניתן להראות כי לא ניתן לפתור את מערכת המשוואות ללא שגיאה כלשהי , אשר מנסים לצמצם עבור כל המשוואות יחדיו. שגיאה זו מוגדרת כהפרש בין ה- שהוא תוצאה של הכפלת המקדמים בערכי ה- לבין הערך  של התצפית.

ניתן לייצג את הערכים של משתנה מסוים בכל התצפיות כווקטור עמודה .

בהתייחסות זו כל המשתנים יחדיו  מהווים סט של וקטורים הפורסים מרחב, או מישור רב ממדי.

מאחר שאין פתרון ללא שגיאה , הווקטור אשר מכיל את כל ערכי המשתנה התלוי  בתצפיות אינו מוכל במישור הנפרש על ידי ,.

המטריצה  מבצעת הטלה של וקטור ערכי המשתנה התלוי של כלל התצפיות  אל עבר מישור נפרס זה. נהוג לסמן את הווקטור לאחר ההטלה כ-, מילולית  עם כובע.

 הערות שוליים 

קטגוריה:רגרסיה
קטגוריה:סטטיסטיקה