משפט הפירוק של לבג

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, משפט הפירוק של לבג הוא משפט הקובע כי ניתן לפרק כל מידה סיגמא-סופית לחלק רציף בהחלט ולחלק סינגולרי ביחס למידה סיגמא-סופית אחרת. משפט זה הוא למעשה הרחבה של משפט רדון־ניקודים.

המשפט קרוי על שמו של אנרי לבג.

 ניסוח פורמלי 
בהינתן מרחב מדיד  ושתי מידות סיגמא-סופיות על המרחב , אזי קיימות זוג מידות על המרחב  כך ש:

 .
 . כלומר,  רציפה בהחלט ביחס ל .
  . כלומר,  סינגולרית ביחס ל .

יתר על כן, פירוק זה הוא פירוק יחיד.

 תקציר ההוכחה 
 עבור מידה סופית 
במקרה שבו  היא מידה סופית, מגדירים:

ניתן להוכיח באמצעות הלמה של צורן כי ל- קיים איבר מקסימלי ולסמנו ב-. בגלל סופיות המידה , בהכרח מתקיים כי  מקבלת את הערך  עבור קבוצה ממידה אפס (ביחס ל-). כמו כן, לכל  מתקיים כי 

כמעט בכל מקום (גם כן, ביחס ל-). לכל  מגדירים:

.
מובן כי:

 , (מתכונות אינטגרל לבג).
נותר רק להוכיח כי . לכל  מגדירים . זוהי מידה מסומנת, לכן לפי משפט הפירוק של האן קיימת קבוצה חיובית  כך ש- היא קבוצה שלילית. מגדירים . לכל  מתקיים  . לכן:

הדבר נכון לכל , לכן בהכרח . עבור כל  מגדירים:

בגלל החיובית של  ניתן להוכיח כי . מצד שני, בגלל המקסימליות של , מחויב כי . הדבר נכון לכל , לכן בהכרח . התקבל אפוא כי  ו-, לכן . מ.ש.ל.

 עבור מידה סיגמא-סופית 
במקרה שבו  היא מידה סיגמא-סופית ניתן לפרק את המרחב  לכמות בת מניה של קבוצות זרות עבורן המידה  היא סופיות . לכל  ולכל  מגדירים
  ו-
 .
ברור כי  מידה סופית, לכן לפי תוצאת המשפט למקרה הסופי עבור , לפרק אותה ל- כתוצאת המשפט. מגדירים:

ניתן להוכיח כי  הוא הפירוק הרצוי. מ.ש.ל.

 פירוק מידות לפי מידת לבג 
ממשפט הפירוק של לבג ניתן להסיק כי כל מידה  המוגדרת על המרחב  לפי סיגמא-אלגברת בורל ניתנת לפירוק

 כך ש:
  סינגולריות אחת ביחס לשנייה
  רציפה בהחלט (ביחס למידת לבג)
  סינגולרית רציפה (ביחס למידת לבג)
  מידה בדידה (כלומר, סכום בן-מניה של מידות דיראק ממושקלות)

 הכללות והרחבות 
 הכללה למידות מסומנות ומרוכבות 
משפט הפירוק של לבג ניתן להכללה עבור מידות סיגמא-סופיות מסומנות או מרוכבות. נוסח המשפט נותר זהה מלבד הסרת ההנחה לחיוביות.

על-מנת להוכיח את הרחבה זו יש להשתמש במשפט הפירוק של ז'ורדן כדי לפרק את המידות לחלק חיובי ושלילי ולהוכיח את המשפט לכל חלק בנפרד.

 משפט רדון-ניקודים 

בעוד משפט הפירוק של לבג מתייחס לשתי מידות סיגמא-סופיות כלליות, במקרה שבו אחת המידות רציפה בהחלט ביחס לשנייה ניתן להסיק את משפט רדון-ניקודים מההוכחה של ממשפט הפירוק שהוצגה למעלה:

במקרה שבו , לפי משפט הפירוק של לבג , אבל במקרה זה  היא הפרש של שתי מידות רציפות בהחלט ביחס ל-, לכן אף היא רציפה ביחס ל-. מקבלים אם כן כי  היא גם סינגולרית וגם רציפה, לכן היא בהכרח מידת האפס. כלומר . כזכור,  נוצרת על-ידי אינטגרציה של פונקציה  כלשהי, וזהו בדיוק משפט רדון-ניקודים.

באופן זהה ניתן להסיק בכיוון ההפוך את משפט הפירוק של לבג ממשפט רדון-ניקודים.

קישורים חיצוניים


 הערות שוליים 

קטגוריה:משפטים בתורת המידה