חבורת וייטהד המצומצמת

חבורת וייטהד המצומצמת של חוג A היא חבורה אבלית, שמסמנים , המודדת באיזו מידה מטריצות בעלות דטרמיננטה 1 מעל A הן מכפלה של קומוטטורים. אפשר להגדיר את החבורה כשיש דטרמיננטה מחבורות המטריצות מעל החוג; למשל כאשר A קומוטטיבי, או כאשר A אלגברה פשוטה מרכזית. זוהי תת-חבורה של חבורת וייטהד  המוגדרת עבור כל חוג A. החבורה קרויה על שמו של המתמטיקאי הבריטי ג'ון וייטהד.

 חוגים קומוטטיביים 

יהי A חוג קומוטטיבי. נסמן ב- את חבורת המטריצות ההפיכות מכל סדר מעל A (גבול ישר של חבורות המטריצות מממדים סופיים). הדטרמיננטה מגדירה סדרה קצרה מדויקת . חלוקה בחבורת הקומוטטורים  מגדירה את הסדרה , כאשר , ו- הוא הגרעין של הדטרמיננטה מהחבורה הזו לחבורת ההפיכים של A. הסדרה הזו מפוצלת: .

 אלגברות פשוטות מרכזיות 
תהי A אלגברה פשוטה מרכזית מממד סופי מעל שדה F כלשהו. אפשר לשכן אותה באלגברת מטריצות מעל שדה הפיצול של F, וכך להפעיל את ההגדרות של המקרה הקומוטטיבי. באופן יותר מפורש, יש פונקציה כפלית  (הנורמה המצומצמת), המתלכדת עם הנורמה על כל תת-שדה. את חבורת האיברים בעלי נורמה 1 מסמנים ב-. תת-חבורת הקומוטטורים  של  מוכלת ב-, וחבורת המנה  היא חבורת וייטהד המצומצמת של A; מסמנים אותה ב-.

השערת Tannaka-Artin (שהיא השערת Kneser-Tits לחבורות אלגבריות מטיפוס ) סברה ש- פרט לשני מקרים יוצאי דופן (מטריצות מממד 2 מעל שדה מסדר 2 או 3). השערה זו הופרכה על ידי פלטונוב (1975).

 תוצאות כלליות 
החבורה  טריוויאלית עבור מטריצות מעל השדה (פרט ליוצאי הדופן שהוזכרו לעיל). החבורה תלויה רק במחלקה של A בחבורת בראוור (בזכות דטרמיננטת דודונה). האקספוננט שלה מחלק את האינדקס של האלגברה. והיא כפלית ביחס לפירוק למכפלה טנזורית של אלגברות מדרגות זרות. מסיבות אלה מספיק להבין את  כאשר A אלגברת חילוק מדרגה שהיא חזקת ראשוני. החבורה טריוויאלית עבור אלגברות מדרגה ראשונית (Wang, 1950).

 תלות בתכונות של שדה הבסיס 

 טריוויאלית מעל שדות מקומיים ומעל שדות מספרים. יינצב'סקי הראה ש- אם שדה הבסיס הוא בעל התכונה  (העתקת הנורמה היא על לכל אלגברה פשוטה מרכזית מעל הרחבה סופית; כל שדה בעל התכונה  הוא גם , אבל לא להפך). מהתכונה  נובע ש- כאשר  הוא הממד הקוהומולוגי של F; ואם F שדה מושלם, גם להפך (מרקורייב-סוסלין, 1985).

תהי A אלגברה שהאינדקס שלה הוא חזקת-p. אם F שדה ממאפיין שונה מ-p וממד-p הקוהומולוגי של F הוא לכל היותר 2, אז .

אם  אז  לכל שתי אלגברות קווטרניונים Q ו-'Q. השערת סוסלין היא שזה נכון לכל אלגברה.

 מקורות 
 Nicolas Grenier-Boley, On the triviality of certain Whitehead groups, Mat Proc Roy Irish Acad 107(2):183--193, (2007).

קטגוריה:תורת החבורות