מונויד בראוור

מונויד בראוור הוא מונויד סופי המכיל את החבורה הסימטרית. מונויד בראוור קרוי על שם ריכרד בראוור, אבי חבורת בראוור, אף כי המבנים אינם קשורים זה לזה.

עבור n קבוע, אברי המונויד  הם חלוקות של הקבוצה  ל-n זוגות. אפשר לצייר כל חלוקה כזו כמלבן בן שתי עמודות, מ- עד  בעמודה השמאלית ומ- עד  בימנית, עם שרוכים המחברים נקודות בזוגות (כל נקודה יכולה להיות מחוברת לכל נקודה אחרת). המכפלה של שני איברים במונויד נעשית על ידי הצבת האיבר הראשון משמאל לשני, זיהוי העמודה השמאלית באיבר השני עם העמודה הימנית באיבר הראשון, והרכבה של הפונקציות החלקיות שהאברים מגדירים. נקודות שהיו מחוברות בעמודה השמאלית של האיבר הראשון נשארות מחוברות, כמו גם נקודות שהיו מחוברות בעמודה הימנית של האיבר השני. עשויות להתקבל לולאות, הנספרות בנפרד. השמטת הלולאות מגדירה מונויד מנה, . חלוקות המגדירות התאמה בין העמודה השמאלית לימנית מהוות תמורות, והכפל שהגדרנו לעיל הוא במקרה כזה הרכבת התמורות. לכן החבורה הסימטרית  מוכלת במונויד  (וגם במנה ).

 הכללה טופולוגית 

אלגברת החבורה של מונויד בראוור נקראת אלגברת בראוור. אלגברת בראוור שייכת למשפחה של אלגברות דיאגרמה, שהן מבנים אלגבריים שהפעולות שלהם מוגדרות באמצעות דיאגרמות וציורים. אם במקום חלוקות נראה כל מלבן כאיחוד של שרוכים, כדוגמת קשר או שזר, נקבל מונויד של סבכים (tangles). שני סבכים הם שווים אם אפשר לעבור ביניהם בצעדי ריידמייסטר השני (הרחקת שרוכים המונחים זה על גבי זה, זה מזה) והשלישי (העברת שרוך מעל או מתחת להצטלבות של שני שרוכים אחרים), אבל לא הראשון (התרת לולאה בשרוך נתון). מונויד הסבכים אינו נוצר סופית (אפילו כאשר n=2). תת-המונויד הנוצר על ידי הצמות שבהן נעשית פעולת הצלבה אחת, והסבך שבו מחוברות זו לזו שתי נקודות סמוכות וכך גם הנגדיות להן בשורה האחרת, הוא מונויד בירמן-מורקמי-ונזל, שמסמנים . יש הטלה מן המונויד הזה למונויד בראוור (שכח את המבנה הטופולוגי).

 מונוידים של חלוקות 

החבורה למחצה של טמפרלי-לייב (נקראת גם החבורה למחצה של ג'ונס, ומסומנת ) היא תת-המונויד של מונויד בראוור הכולל את האיברים שבהם השרוכים אינם חוצים זה את זה. האלגברה הנוצרת על ידי החבורה למחצה הזו נקראת אלגברת טמפרלי-לייב. ביניהן נמצאת החבורה למחצה הטבעתית , של כל האיברים שבהם השרוכים אינם חוצים זה את זה אחרי סידור 2n הנקודות בטבעת במקום במלבן. כך .

מונויד בראוור מוכל בחבורה למחצה של החלוקות, , שאבריה הם כל החלוקות של הקבוצה , עם פעולת הרכבה בדומה להרכבה של יחסים (הבלוקים המוכלים בקבוצת הביניים נמחקים). החלוקה הטריוויאלית היא איבר אפס. בין השאר, החבורה למחצה הזו מכילה את החבורה למחצה של כל הפונקציות  (עם הפעולה המתקבלת מזיהוי עם מונויד הפונקציות ). מונויד בראוור הוא תת-המונויד של  שאבריו הם החלוקות בגודל 2. כהכללה, אפשר להגדיר את המונוידים  של הפעולות החלקיות, שאבריהם הם כל החלוקות בגודל 1 או 2; כל החלוקות בגודל 1 או 2 שהדיאגרמה הטבעתית מציגה אותן ללא חציה; וכל החלוקות בגודל 1 או 2 שהדיאגרמה המלבנית מציגה אותן ללא חציה, בהתאמה. ממילא ,
,
ו-. החבורה הסימטרית מוכלת ב-. לעומת זאת  ולכן גם  היא א-מחזורית (כל תת-חבורה היא של איבר אחד). 

קטגוריה:תורת הקשרים
קטגוריה:אלגברות דיאגרמה