התורה הארגודית

התורה הארגודית (אנגלית: Ergodic Theory) היא תאוריה מתמטית בתחום של אנליזה ובפרט בתחום של אנליזה מודרנית ושל סטטיסטיקה ותורת הכאוס אשר מנסה לתת כלים ומדדים עבור "התנהגויות ארוכות טווח" של מערכת ידועה (דטרמיניסטית ) תחת אילוצים מתמטים שונים. בפרט בתורה הארגודית נחקרים תחומים כמו אנטרופיה, תוחלת, מרחבים משמרי מידה  וכו'. כיום משתמשים בתורה ארגודית לחקר סטוכסטי של תהליכים מתמטים ומדעיים.

 הגדרה 
נאמר כי  מרחב משמר מידה הוא ארגודי אם לכל  אינווריאנטית (כלומר שנשמרת) תחת T () מתקיים 

במילים אחרות מרחב משמר מידה הוא ארגודי אם כל קבוצה שלא משתנה תחת T היא זניחה (בניסוח לא פורמלי: אינה מהותית) או ממידה 1 (כלומר היא בגודל המרחב או לעיתים היא אף כל המרחב).

 אפיונים שקולים לארגודיות 
ישנו מכלול של אפיונים לכך שמרחב משמר מידה הוא ארגודי, בפרט נציג כאן חמישה אפיונים חשובים אשר מהם ניתן להסיק את השאר ומסקנות חשובות מהם

טענה יהי  מרחב משמר מידה אזי התנאים הבאים שקולים:

  הוא ארגודי
 לכל  אם  אזי  כאשר הסימון  מסמן הפרש סימטרי בין A ל-B
 לכל  אם  אזי  כאשר  מסמן את פעולת ההרכבה k פעמים
 לכל  אם ,  אז קיים  כך ש- 
 לכל  מדידה שהיא T-אינווריאנטית (כלומר נשמרת תחת T) μ-כמעט תמיד (כלומר  μ-כ"ת) היא בהכרח קבועה μ-כ"ת

ישנם אפיונים נוספים להיותו של מרחב משמר מידה ארגודי אך אלה דורשים טענות ומסקנות נוספות.

 קישורים חיצוניים 
 סיכום, האוניברסיטה העברית


קטגוריה:מערכות דינמיות
קטגוריה:תהליכים סטוכסטיים