אקוטוטיאנט

במתמטיקה, אקוטוטיאנט הוא מספר טבעי n שלא ניתן לבטא אותו כהפרש בין מספר טבעי m לבין כמות המספרים הקטנים מ-m שזרים ל-m.

 הגדרה 
בניסוח פורמלי יותר: מספר טבעי כלשהו  הוא מספר אקוטוטאינטי אם ורק אם למשוואה , כאשר  מייצג את פונקציית אוילר, אין פתרון מעל המספרים הטבעיים.

 הקוטוטיאנט של m מוגדר כהפרש , כלומר, כמות המספרים הקטנים מ-m שאינם זרים לו.

ולכן הגדרה נוספת היא: מספר טבעי כלשהו  הוא מספר אקוטוטאינטי אם ורק אם הוא אינו קוטוטיאנט של אף מספר טבעי.

תחילתה של סדרת המספרים האקוטוטיאנטים היא:

10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490,...
 זוגיות המספרים האקוטוטיאנטים 
משוער כי כל המספרים האקוטוטיאנטים הם זוגיים. ההשערה מתבססת על השערת גולדבך: אם ניתן לייצג את המספר הזוגי n כסכום של שני ראשוניים שונים p ו-q, אזי


 כלומר, המספר האי זוגי  הוא הקוטוטיאנט של , ולכן אינו אקוטונטיאנט.

לפי השערת גולדבך, כל מספר זוגי גדול מ-6 הוא סכום של שני מספרים ראשוניים נפרדים, כך שככל הנראה, אף מספר אי-זוגי שגדול מ-5 אינו אקוטוטיאנט. שאר המספרים האי-זוגיים אינם אקוטוטיאנטים כי:  ו  .

עבור מספרים זוגיים, ניתן להראות כי



לפיכך, כל המספרים הזוגיים n שעבורם מתקיים:  (כש  מספרים ראשוניים כלשהם) הם קוטוטיאנטים.

 סדרות קשורות 
26252423222120191817161514131211109876543210nסדרת הקוטוטיאנט של n1451611291211218781816341412110 -cototient(n)סדרת המספרים k כך ש k המספר הכי קטן שהקוטוטיאנט שלו הוא n (0 אם לא קיים k כזה - כלומר אם n אקוטוטיאנט):06936953045385134652439263318350211215102569421kסדרת המספרים l כך ש l המספר הכי גדול שהקוטוטיאנט שלו הוא n (0 אם לא קיים l כזה - כלומר אם n אקוטוטיאנט):013346529308538361342893255261692212102716491025894∞1lסדרת המספרים s כך ש-s הוא כמות המספרים שהם הקוטוטיאנט של n:0344131313321232023211211∞1s

 שכיחות האקוטיאנטים 
ארדש (1913-1996) ו-שרפינסקי (1882-1969) חקרו האם קיימים אינסוף מספרים אקוטוטיאנטים. לבסוף הוכח על ידי Browkin and Schinzel (1995) כי אכן קיימים אינסוף מספרים אקוטוטיאנטים, השניים הראו כי כל אחד מהאיברים בסדרה האינסופית  הוא מספר אקוטוטיאנטי. מאז התגלו סדרות אינסופיות נוספות, מצורה דומה, שגם עבורן כל איבריהן הם מספרים אקוטוטיאנטים.

 לקריאה נוספת 

 קישורים חיצוניים 
 הגדרת אקוטוטיאנטיות לפי MathWorld


הערות שוליים

קטגוריה:סדרות של שלמים