מספר פיתגורס

באריתמטיקה של שדות, מספר פיתגורס של שדה שווה למספר הריבועים הנחוץ להצגת כל סכום של ריבועים בשדה. מקובל לסמן את מספר פיתגורס של השדה F ב-p(F). כתכונות אריתמטיות רבות אחרות, מספר פיתגורס של שדות עשוי להיות קשה לחישוב. הערך של מספר פיתגורס הוא 1 אם ורק אם כל סכום של ריבועים הוא ריבוע, כלומר השדה הוא שדה פיתגורי.

 מספר פיתגורס של שדות שאינם סדורים 

אפשר לסדר שדה אם ורק אם 1- אינו סכום של ריבועים. אם השדה F אינו ניתן לסידור, הגובה שלו הוא מספר הריבועים הנחוץ להצגת 1-. ידוע שהגובה, s(F), הוא תמיד חזקה של 2. עבור שדות שאינם ניתנים לסידור, . מספר פיתגורס של שדה טורי לורן  הוא 2.

 שדות מקומיים ושדות גלובליים 

מספר פיתגורס של שדה המספרים הרציונליים הוא 4 (זהו משפט ארבעת הריבועים של לגרנז', בצירוף העובדה ש-7 אינו ניתן להצגה כסכום של שלושה ריבועים). בכל שדה מקומי, ובכל שדה מספרים שאינו ניתן לסידור, מתקיים . בשדה מספרים K הניתן לסידור, מספר פיתגורס הוא 3 אם לכל ראשוני דיאדי הממד של  מעל שדה המספרים ה-2-אדיים  זוגי, ו-4 אחרת.

 הרחבות סופיות 

אם K/F הרחבה סופית של שדות ניתנים לסידור, אז .

 שדות פונקציות 
ההתנהגות של מספר פיתגורס עם המעבר לשדה פונקציות אינה ברורה. לא ידוע אפילו האם  סופי לכל שדה K שמספר פיתגורס שלו סופי. 

חישוב מספר פיתגורס של שדה הפונקציות  קשור בבעיה ה-17 של הילברט. ידוע שהמספר הזה אינו עולה על ; זה נכון לכל שדה שדרגת הטרנסצנדנטיות שלו מעל שדה סגור ממשית (כגון שדה הממשיים ) היא n. ידוע ש- (ואפילו , ראו להלן), ו-. עבור n>2 ידוע רק ש-.

בדומה לזה, ידוע ש-
 לכל n>=2 (Jansen). עבור n=1 ידוע ש- (Pourchet, 1971). באופן כללי יותר, לכל שדה מספרים ניתן לסידור K מתקיים ; ולכל שדה מספרים K שאינו ניתן לסידור, . עבור , הסגור הפיתגורי של שדה המספרים הרציונליים, . 

מסמנים ב- את הסופרימום של מספרי פיתגורס של ההרחבות הטרנסצנדנטיות מדרגה 1 של F. ידוע ש- אם F אינו ניתן לסידור;  (Pop, 1991); . 

קטגוריה:אריתמטיקה
קטגוריה:תבניות ריבועיות
קטגוריה:תורת השדות