פונקציית בוכשטאב

פונקציית בוכשטאב היא הפונקציה הרציפה היחידה , שמוגדרת על ידי משוואת שיהוי דיפרנציאלית:

 . יש להשתמש בנגזרת שבנקודה u = 2, כאשר u שואפת ל-2 מימין.
הפונקציה נקראת על שמו של המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר בוכשטאב (Александр Адольфович Бухштаб, 1905–1990), שכתב עליה בשנת 1937.

אסימפטוטיות
אם  מסמן את קבוע אוילר-מסקרוני, אז מתברר כי פונקציית בוכשטאב מתקרבת במהירות אל  כאשר  . למעשה, , כאשר ρ היא פונקציית דיקמן (Dickman). כמו כן, הערך  מתנודד באופן רגיל, לסירוגין - בין נקודות הקיצון - לבין האפסים; נקודות הקיצון מתחלפות בין נקודות מקסימום חיוביות לבין נקודות מינימום שליליות. המרווח שבין נקודות קיצון עוקבות שואף ל-1 כאשר u שואף לאינסוף, וכך גם המרווח בין אפסים עוקבים.

יישומים
פונקציית בוכשטאב משמשת למניית מספרים מחוספסים: אם Φ(x, y) הוא מספר המספרים השלמים החיוביים שקטנים או ששווים ל-x ללא גורם ראשוני שקטן מ-y, אז לכל u > 1 קבוע, מתקיים: 

קישורים חיצוניים


הערות שוליים

קטגוריה:תורת המספרים האנליטית
קטגוריה:אנליזה מרוכבת