מחלקת שקילות

הגדרה
נתונה קבוצה  ויחס שקילות  על . מחלקת שקילות של איבר  ב- היא קבוצת כל האיברים השקולים ל-, מסומנת  או  ומוגדרת כקבוצת כל האיברים המתייחסים ל- ביחס . כלומר: מחלקות השקילות יוצרות חלוקה של . חלוקה זו היא קבוצת מחלקות השקילות, הנקראת קבוצת המנה או מרחב המנה של  על ידי  ומסומנת . איחוד כל מחלקות השקילות הוא הקבוצה  עצמה, כלומר .

סימון
ממוזער|ייצוג בגרף של דוגמה של 7 מחלקות שקילות שונות.
הסימון  טוב כאשר נעשה שימוש רק ביחס שקילות אחד. אם יש יותר מיחס שקילות אחד, אז עלינו להבחין בין מחלקות השקילות לפי היחס. לעיתים קרובות נשתמש בסימונים:  או  עבור מחלקת השקילות של  שנקבעת על ידי היחס . בכל מקרה, תמיד כשעובדים עם יחס שקילות כלשהו על קבוצה , אם  אז מחלקת השקילות  היא תת-קבוצה של .

משפט המבנה
כל 2 מחלקות שקילות הן שוות או זרות. אם 2 איברים בקבוצה כלשהי מתייחסים זה לזה, אז הם שייכים לאותה מחלקת שקילות. אם מחלקות השקילות שונות, אז אין להם שום איבר משותף. באופן פורמלי:

ניתן להוכיח משפט זה באמצעות התכונות של יחס שקילות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות.

הוכחה
תהי  קבוצה לא-ריקה ונניח  יחס שקילות על .
יהי . מרפלקסיביות . אז מהגדרת מחלקת שקילות .
הוכחה דו-כיוונית:
: יהיו , נניח . נראה הכלה דו-כיוונית:
: יהי , לכן . מסימטריות , מטרנזיטיביות  ולכן . אז מהגדרת הכלה .
: יהי , לכן . מטרנזיטיביות  ולכן . אז מהגדרת הכלה .
מהכלה דו-כיוונית .
: יהיו  ונניח . מ-(1) נובע  ומכיוון ששתי הקבוצות שוות נקבל כי , כלומר  ומסימטריות .
הוכחה דו-כיוונית:
: יהיו  ונניח . מ-(1)  ולכן . מההנחה  ומכך ש- נובע . אז לפי הגדרת השוויון .
: יהיו  ונניח . נניח בשלילה . אזי מהגדרת חיתוך קיים  כך ש וגם . מכך, ומסעיף 2 למשפט המבנה, נובע  וגם . אז מטרניזטיביות השוויון , וזאת סתירה להנחה. אזי .

דוגמאות
יחס שקילות מודולו – ניתן לחלק את כל המספרים השלמים ל- מחלקות שקילות באמצעות השארית מודולו .

 לקריאה נוספת 


קישורים חיצוניים

הערות שוליים

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:יחסי שקילות
קטגוריה:תורת הקבוצות