פוטנציאל מעוכב

באלקטרודינמיקה, פוטנציאלים מעוכבים (retarded potentials) הם פוטנציאלים אלקטרומגנטיים בשדה אלקטרומגנטי שנוצר על ידי זרם חשמלי משתנה בזמן או צפיפות מטען משתנה בזמן - בעבר. 

השדות מתפשטים במהירות האור c, ולכן ההשהיה של השדות המחברים סיבה ותוצאה בזמנים מוקדמים ומאוחרים הוא גורם חשוב: לאות לוקח זמן סופי להתפשט מנקודה בתוך התפלגות המטען או הזרם (נקודת ה"סיבה") לנקודה אחרת במרחב (שם ההשפעה נמדדת), ראו איור למטה. 

 בכיול לורנץ 
שמאל|ממוזער|307x307 פיקסלים| מיקום הווקטורים r ו- r ′ המשמשים בחישוב.
נקודת המוצא היא משוואות מקסוול בגישת שדה הפוטנציאל שלהן, בעזרת כיול לורנץ:



כאשר φ( r, t ) הוא הפוטנציאל החשמלי ו- A ( r, t ) הוא הפוטנציאל הווקטורי המגנטי, עבור מקור שרירותי של צפיפות המטען ρ( r, t ) וצפיפות הזרם J ( r, t ), וכן  הוא הד'אלמבריאן. Garg, A., Classical Electromagnetism in a Nutshell, 2012, p. 129 פתרון משוואות אלו נותן את הפוטנציאלים המעוכבים למטה (כולם ביחידות SI).

 עבור שדות תלויי זמן 
עבור שדות תלויי זמן, הפוטנציאלים המעוכבים הם: Electromagnetism (2nd Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, 





כאשר r הוא נקודה במרחב, t הוא הזמן, ו-



הוא הזמן המעוכב, ו- הוא גורם האינטגרציה לפי  .

מ-φ( r, t) ו- A ( r, t ), ניתן לחשב את השדות E ( r, t ) ו- B ( r, t ) באמצעות הגדרת הפוטנציאלים:



 השוואה לפוטנציאלים סטטיים עבור שדות בלתי-תלויים בזמן 
במקרה שהשדות אינם תלויי זמן (שדות אלקטרוסטטיים ומגנטוסטטיים), נגזרות הזמן של האופרטור  מתאפסות, והמשוואות של מקסוול מצטמצמות ל:



כאשר  הוא הלפלסיאן.

המשוואות מקבלות צורה של משוואות פואסון בארבעה רכיבים (אחד עבור φ ושלושה עבור A), והפתרונות שלהן הם:





אלה גם נובעים ישירות מהפוטנציאלים המעוכבים.

 פוטנציאל ליאנארד-ויקרט 
במקרה הפרטי שבו השדה החשמלי נגרם עקב מטען נקודתי בודד שמסלולו , הפוטנציאלים המעוכבים המתקבלים בכיול לורנץ הם פוטנציאלי ליאנארד-ויקרט, על שמם של אלפרד-מארי לינארד ואמיל ויקרט. פוטנציאלים אלו הם:

זאת כאשר:
  היא מהירות המטען המנורמלת למהירות האור
  הוא המרחק בין נקודת המדידה של הפוטנציאל לבין מיקום המקור
  הוא וקטור היחידה המקשר מהמקור אל נקודת המדידה
 הסימן  משמעותו חישוב הערך שבתוך הסוגריים בזמן המעוכב 

נשים לב שכדי למצוא את הזמן המעוכב עלינו לפתור את המשוואה:

 בכיול קולון 
בכיול קולון, משוואות מקסוול הן





הפתרונות המתקבלים בכיול זה שונים מהפתרונות המתקבלים בכיול לורנץ מכיוון ש-A הוא פוטנציאל מעוכב אך φ משתנה באופן מיידי, לפי:





התוצאה מציגה יתרון וחיסרון של כיול קולון: φ ניתן לחישוב בקלות מהתפלגות המטען ρ אך לא ניתן לחשב את A מההתפלגות הנוכחית j. עם זאת, בתנאי שאנו דורשים שהפוטנציאלים יתאפסו באינסוף, הם יכולים לבוא לידי ביטוי בצורה מסודרת במונחים של השדות:





 בכבידה ליניארית 
הפוטנציאל המעוכב בגרסה הליניארית של תורת היחסות הכללית דומה מאוד למקרה האלקטרומגנטי. הטנזור בעל העקבה ההפוכה  ממלא את התפקיד של פוטנציאל ארבעת הווקטורים, הכיול ההרמוני  מחליף את כיול לורנץ האלקטרומגנטי, משוואות השדה הן , ופתרון הגל המעוכב הוא:

.Sean M. Carroll, "Lecture Notes on General Relativity" (arXiv:gr-qc/9712019), equations 6.20, 6.21, 6.22, 6.74

 ראו גם 
 משוואות מקסוול
 זמן מאוחר
 חוק לנץ

 הערות שוליים 

קטגוריה:פיזיקה
קטגוריה:חשמל