משפט מנטל

משפט מנטל בתורת הגרפים הוא משפט הקובע כי בהינתן גרף פשוט לא מכוון עם n צמתים וחסר משולשים (חסר מעגלים באורך 3), אז מספר הקשתות שלו הוא לכל היותר . החסם אותו נותן משפט מנטל הוא הדוק שכן הגרף הדו-צדדי המלא () הוא חסר משולשים וכן מספר הקשתות שלו הוא .

לפי השקילות הלוגית  נוכל לקבל ניסוח שקול למשפט הטוען כי אם בגרף G פשוט ולא מכוון יש יותר מ קשתות אז יש ב-G משולש.

משפט מנטל הוא מקרה פרטי של משפט טורן.

 הגדרה פורמלית 
יהי  גרף, נסמן , נניח כי לכל 3 צמתים  שונים בגרף, מתקיים , אז 

 הוכחות 
 הוכחה 1 
יהי  גרף חסר משולשים. נבנה ממנו גרף דו-צדדי  כך ש, מה שיוכיח את המשפט, שכן גרף הוא דו צדדי אמ“ם אין בו מעגלים מאורך אי-זוגי, ובפרט באורך 3.

נסמן  הצומת בעל הדרגה המקסימלית. כמו כן, נסמן ב את  (קבוצת השכנים). כעת נביט בגרף הדו-צדדי המלא  על S ועל , נוכיח כעת כי , ומנוסחת לחיצות היידים, נוכל להסיק כי , וזה יסיים את ההוכחה.

יהי , נחלק למקרים:

אם , אז  שכן  היא הדרגה המקסימלית בגרף G, לפי הגדרת S.

אם , אז  מפני שגם בגרף G לא היו קשתות בין קודקודים S כיוון ש-G חסר משולשים (אם הייתה קשת בין  אז משולש ב-G). כמו כן  מפני שהמקרה גרוע ביותר הוא כאשר  (שטח ריבוע הוא מקסימלי)

 הוכחה 2 (weight shifting) 
יהי  גרף חסר משולשים. נגדיר פונקציית מטרה  כאשר 

אפשר לחשוב על זה כמו מתן משקלים לכל צומת, והמשקל של כל קשת הוא 

נבחין כי אם השמת משקולות כלשהי מקבלת ערך מקסימלי, אז קיימת השמת משקולות אחרת בה מתקיים שאם  אז יש קשת בין .

אכן, תהא השמה כזאת, ונניח שאין קשת בין . נסמן ב את סכום המשקלים של השכנים של . בה"כ מתקיים ש , ולכן השמת המשקולות שתיתן לכל צומת את אותו המשקל כמו ההשמה המקורית, פרט ל ול היא השמה חוקית שמקבלת ערך לפחות כמו ההשמה הקודמת.

נוכל להמשיך כך באידנקוציה עד שנקבל את הטענה הרצויה.

לכן, מתקיים כי  שכן אין ב משולשים ולכן הקליקה הגדולה ביותר בו היא מגודל 2, ובפרט השמת משקולות חוקית כך שאם  אז יש קשת בין נותנת משקל חיובי לשני צמתים לכל היותר, והמקסימום של מכפלת שני ערכים חיוביים שסכומם 1 הוא .

מצד שני, אם ניתן את ההשמה  לכל הצמתים, נקבל כי ועל ידי העברת אגפים נקבל את אי השוויון הרצוי.

 הערות שוליים 

קטגוריה:משפטים בתורת הגרפים