אריח (מתמטיקה)

בתיאוריה המתמטית של ריצוף המישור, אריח (או פרוטוטיל - prototile) הוא אחת מהצורות המהוות את אריחי היסוד ב"רצפה"..

 הגדרה 
ריצוף של מישור או של כל מרחב אחר הוא כיסוי של המרחב על ידי צורות סגורות, הנקראות אריחים, שיש להן פנים ייחודיים. חלק מהאריחים עשויים להיות תואמי חפיפה לאחד או יותר מהאריחים האחרים. אם  הוא מכלול האריחים ברצפה, קבוצת  של צורות נקראת קבוצת אריחים (פרוטוטילים) אם אין שתי צורות ב- תואמות זו לזו, וכל אריח ב- תואם את אחת הצורות ב- .

אפשר לבחור קבוצות רבות של פרוטוטילים לריצוף: הזזה או סיבוב כל אחד מהאריחים מייצר מערך אריחים תקף אחר. עם זאת, לכל מערך אריחים יש את אותה העוצמה (cardinality), כך שמספר האריחים מוגדר היטב. אומרים שרצפה היא מונוהדרלית אם יש לה בדיוק אריח אחד.

 אפריודיות 
קבוצה של אריחים אמורה להיות אפריודית אם כל ריצוף עם אריחים אלה הוא רצפה אפריודית (שאינה מחזורית במרחב). לא ידוע אם קיימת צורה דו-ממדית אחת (שאלה זו מכונה "בעיית איינשטיין"). היוצרת אריח של רצפה אפריודית, אך לא של כל רצפה אפריודית. כלומר, קיומה של קבוצה מונוהדרלית אפריודית הוא שאלה פתוחה בגאומטריה. אריח סוקולאר-טיילור יוצר אריח אפריודי דו-ממדי, אך מוגדר על ידי תנאי התאמה קומבינטוריים ולא רק על פי צורתו בלבד. בממדים גבוהים יותר הבעיה נפתרת: אריח דנזר-שמיט-קונוויי הוא אריח של אריח מונוהדרלי אפיריודי של המרחב האוקלידי התלת-ממדי, ואינו יכול לרצף מרחב באופן מחזורי.

קישורים חיצוניים

 הערות שוליים 

קטגוריה:גאומטריה
קטגוריה:טופולוגיה אלגברית