אלגברת ז'ורדן ריבועית

במתמטיקה, אלגברת ז'ורדן ריבועית היא מבנה אלגברי, המכליל את אלגברת ז'ורדן. יתרונו בכך שאפשר להגדיר אותו מעל חוג כלשהו, וכך לפתח את תורת המבנה גם כאשר 2 אינו הפיך בחוג הבסיס.

 הגדרה 
יהי k חוג קומוטטיבי. אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל k היא מודול J, עם העתקה  (שמסמנים ) ואיבר מיוחד , כך שמתקיימות האקסיומות הבאות מעל כל הרחבת סקלרים של J:
 ראשית, U היא העתקה ריבועית; כלומר, , ו- היא תבנית ביליניארית; 
 שנית, ; 
 ושלישית, מתקיימות הזהות היסודית , 
 והזהות  כאשר .

באלגברת ז'ורדן ריבועית מסמנים ; זו תבנית טריליניארית, סימטרית להחלפת המשתנים החיצוניים. מן הזהויות נובע שהפעולה  היא ביליניארית וקומוטטיבית. מנקודת המבט של התבנית הטריליניארית,  הן פעולות של האלגברה על עצמה, ובכך הן מכלילות את אלגברת האופרטורים המופיעה בכל סיטואציה לא אסוציאטיבית.

 הקשר לאלגברות ז'ורדן 
כאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, כל אלגברת ז'ורדן ריבועית מגדירה אלגברת ז'ורדן לפי הפעולה ; ולהפך, כל אלגברת ז'ורדן מגדירה אלגברת ז'ורדן ריבועית על ידי  (כאשר ), ואז  (בפרט, אם A אלגברה אסוציאטיבית, אז באלגברת ז'ורדן שהיא מגדירה מתקיים ). זהויות אלו הפוכות זו לזו, ומראות שכאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, התאוריה של אלגברות ז'ורדן ריבועיות מתלכדת עם זו של אלגברות ז'ורדן.

 דוגמאות 
אם A אלגברה אלטרנטיבית מעל k, ההגדרה  הופכת את A לאלגברת ז'ורדן ריבועית, שאותה מסמנים ב-. תת-אלגברה של אלגברה כזו (כאשר A אסוציאטיבי) היא מיוחדת; כל אלגברת ז'ורדן ריבועית שאינה מיוחדת היא יוצאת דופן.

 איברים, אידיאלים ומנות 
איבר x הוא הפיך אם הפונקציה  המתאימה לו הפיכה. האיבר המקיים  הוא ההפכי של x, ומתקיים . אלגברה שבה כל האיברים (פרט ל-0) הפיכים היא אלגברת ז'ורדן ריבועית עם חילוק. באלגברה  איבר הוא הפיך במובן של אלגברות ז'ורדן אם ורק אם הוא הפיך כאיבר של A; בפרט  אלגברת ז'ורדן ריבועית עם חילוק אם ורק אם A אלגברה עם חילוק.

תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל חוג קומוטיבי k. תת-מודול I מעל k הוא אידיאל אם . אם I אידיאל אז אפשר להגדיר את אלגברת המנה J/I. האלגברה פשוטה אם אין לה אידיאלים, ופשוטה לחלוטין אם היא נותרת פשוטה אחרי כל הרחבת סקלרים. המרכז של אלגברה פשוטה הוא שדה. (בממד סופי ומעל שדה ממאפיין שונה מ-2, אלגברה היא פשוטה לחלוטין אם ורק אם היא פשוטה מרכזית). 

 האיזוטופים וחבורת המבנה 

תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית, ויהי p איבר הפיך. אז J עם איבר היחידה  והפעולות , גם היא אלגברת ז'ורדן ריבועית, איזוטופית לאלגברה המקורית, המסומנת ב-. (אלגברות איזוטופיות אינן בהכרח איזומורפיות, אבל יש להן אותם איברים הפיכים). לפי סימון זה, אם p,q הפיכים אז . 

אוסף האיזומורפיזמים מ-J לאיזוטופים שלו נקרא חבורת המבנה של J. לכל האיזוטופים של J יש אותה חבורת מבנה, וחבורה זו פועלת על האיזוטופים לפי  כאשר  (כאן ההפכי מחושב ב-). אוסף ההעתקות ההפיכות  יוצר תת-חבורה הנקראת חבורת המבנה הפנימית, וגם חבורה זו היא אותה חבורה לכל האיזוטופים. חבורת המבנה, וחבורת המבנה הפנימית, הן אינווריאנטים של מחלקת האיזוטופיה. חבורת המבנה הפנימית היא תת-חבורה נורמלית של חבורת המבנה. 

קטגוריה:אלגברה לא אסוציאטיבית