גידול של חבורה

גידול של חבורה הוא האופן שבו חבורה, בדרך כלל אינסופית, מכוסה על ידי מילים הולכות ומתארכות בקבוצת יוצרים נתונה.

 פונקציית הגידול והקצב 
תהי G חבורה הנוצרת על ידי קבוצת יוצרים סופית, X. בדרך כלל מניחים שהקבוצה סימטרית להיפוך. מסמנים ב- את קבוצת האיברים שאפשר להציג כמכפלה של לכל היותר  איברים של X. פונקציית הגידול המתאימה ל-X היא הפונקציה . כאשר G אינסופית, זוהי פונקציה עולה ממש. מגדירים יחס שקילות על הפונקציות העולות, לפיו  אם יש קבוע c כך ש-, וגם להפך. כל פונקציות הגידול של אותה חבורה שקולות זו לזו.

לחבורה נוצרת סופית יש פונקציית גידול פולינומי אם ורק אם היא נילפוטנטית-למעשה (virtually nilpotent). מכאן נובע שבמקרה כזה המעלה של פונקציית הגידול היא מספר שלם. המספר  הוא קצב הגידול המעריכי (ביחס ל-X). הקצב הוא 1 כאשר פונקציית הגידול היא תת-מעריכית. יש חבורות שקצב הגידול שלהן ביחס לכל קבוצת יוצרים X גדול מ-1, אבל האינפימום שווה ל-1. אם האינפימום של הקצבים האלה גדול מ-1, החבורה היא בעלת גידול מעריכי. לדוגמה, לחבורה חופשית (לא אבלית) יש גידול מעריכי. בחבורה לא אמנבילית קצב הגידול ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית גדול מ-1.

יש מחלקות גדולות של חבורות שבהן גידול יכול להיות או פולינומי או מעריכי (למשל חבורות פתירות; ליניאריות; או אמנביליות-אלמנטרית). ב-1984 בנה גריגורצ'וק חבורה בעלת גידול ביניים.

 טור הילברט 
תהי f פונקציית הגידול של החבורה ביחס לקבוצת יוצרים סופית X. טור הילברט של החבורה (ביחס ל-X) הוא טור החזקות . הטור מעניין במיוחד כאשר הוא מייצג פונקציה רציונלית במשתנה x. חבורה נקראת 'פאן-רציונלית' אם טור הילברט שלה רציונלי ביחס לכל קבוצת יוצרים. החבורות הבאות ידועות כפאן-רציונליות:

 חבורות אבליות-למעשה (virtually-abelian)
 חבורות היפרבוליות
 חבורת הייזנברג

לחבורת באומסלג-סוליטר יש גידול רציונלי ביחס לקבוצת היוצרים הסטנדרטית. עם זאת, לחבורת הייזנברג מסדר 5 טור הילברט טרנסצנדנטי ביחס לקבוצת היוצרים הסטנדרטית.

בכל חבורה עם גידול רציונלי, בעיית המילה פתירה. מאידך, יש חבורות פתירות (עם ) שבהן בעיית המילה אינה פתירה (Kharlampovich 1981), וממילא עם פונקציית גידול שאינה רציונלית.

טור הילברט מוגדר גם עבור חבורה למחצה; עבור חבורה למחצה עם יחס אחד, הוא רציונלי (Backelin).

 ראו גם 
 ממד גלפנד-קירילוב

הערות שוליים

קטגוריה:תורת החבורות
en:growth of group