יחס הופכי

במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, היחס ההופכי ליחס בינארי  על קבוצה , הוא היחס המסומן  ומוגדר על ידי . לדוגמה, היחס ההופכי ליחס  על  הוא היחס .

תכונות של יחסים המשתמרות ביחס ההופכי
רפלקסיביות.
הוכחה: .
אי-רפלקסיביות.
הוכחה: מההגדרה  נובע כי , ולכן .
סימטריה. בפרט אם  סימטרי, אז .
הוכחה: .
אנטי-סימטריה וכן א-סימטריה.
 הוכחה:  ולכן יש שימור של אנטי-סימטריה. עבור א-סימטריה:  ולכן אם  א-סימטרי אז  א-סימטרי.
טרנזיטיביות.
הוכחה: .

תכונות נוספות של היחס ההופכי
ההופכי של ההופכי הוא היחס עצמו: . תכונה זו מאפשרת להפוך את כל התכונות לעיל מ"אם ב- אז ב-" ל"ב- אם ורק אם ב-".
הוכחה: לכל  מתקיים 
הפונקציה המתאימה לכל יחס את ההופכי שלו היא פונקציה שומרת הכלה: .
הוכחה: לכל  מתקיים  ולכן .
ההופכי מתפלג מעל החיתוך: .
הוכחה: לכל  מתקיים .
ההופכי מתפלג מעל האיחוד: .
הוכחה: לכל  מתקיים .
ההופכי להרכבת יחסים הוא הרכבת ההופכיים בסדר הפוך: .
הוכחה: לכל  מתקיים .
מכל התכונות בסעיף הקודם נובע כי היחס ההופכי ליחס שקילות הוא יחס שקילות, והיחס ההופכי ליחס סדר הוא יחס סדר.

דוגמאות
לכל קבוצה , היחס ההופכי ליחס  על  הוא .
לכל פונקציה חד-חד-ערכית ועל, היחס ההופכי הוא הפונקציה ההופכית.
היחס ההופכי ליחס "קיימת פונקציה חד-חד-ערכית" בין קבוצות הוא היחס "קיימת פונקציה על".

ראו גם
יחס (תורת הקבוצות)
פונקציה הופכית

קישורים חיצוניים
תורת הקבוצות על פי הרצאות של פרופ' ענר שלו, עמוד 11.

קטגוריה:תורת הקבוצות
קטגוריה:יחסים מתמטיים