כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל

כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל (על שם המתמטיקאי גוטפריד וילהלם לייבניץ) הוא כלל שימושי בחשבון אינפיניטסימלי לגזירת ביטויים מהצורה . 

ניסוח הכלל
תהי  פונקציה רציפה במלבן , וגזירה ברציפות לפי  ( קיימת ורציפה). נניח בנוסף שהפונקציות  גזירות בקטע . אזי

מקרה פרטי ונפוץ של הכלל הוא כאשר הפונקציות  קבועות, כלומר . אז נקבל כי

הוכחת הכלל
שלב א – הוכחת המקרה הפרטי
תהי  רציפה. נגדיר

ונטען שהיא רציפה. יהי .

לפי משפט קנטור, כיוון ש- רציפה בתחום קומפקטי (מלבן) היא רציפה במידה שווה שם. מכאן שקיים  כך שאם  אז .

יהיו  המקיימים . אבל  ולכן

מכאן ש- אכן רציפה (ולמעשה אפילו במידה שווה).

בפרט אם נבחר  היא רציפה מההנחה כי  רציפה. נסמן . נבחר  כלשהו. על פי משפט פוביני ונוסחת ניוטון-לייבניץ מתקיים

מכיוון שהנוסחה נכונה לכל , נובע מהמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי שהפונקציה  גזירה ומתקיים  לכל , כנדרש.

שלב ב – הוכחת המקרה הכללי
אנו רוצים לחשב את נגזרת הפונקציה .

לשם כך נגדיר פונקציה חדשה  ונבחין כי .

מהמשפט היסודי הנגזרות החלקיות של  לפי  בהתאמה הן

ואלה רציפות מההנחה כי  רציפה. בנוסף, מהמקרה הפרטי של המשפט, הנגזרת החלקית של  לפי  היא

וזו פונקציה רציפה מההנחה כי  רציפה. מכיוון שכל הנגזרות החלקיות של  קיימות ורציפות, נסיק שהיא דיפרנציאבילית. לכן גם  דיפרנציאבילית, ומכלל השרשרת מתקיים

כנדרש.

דוגמאות
דוגמה 1 – גבולות התלויים במשתנה הגזירה
נחשב את הנגזרת הבאה ():

דוגמה 2 – שימוש בכלל לחישוב אינטגרלים 
נחשב את האינטגרל .

לשם כך נסמן  עבור  והאינטגרל בו אנו מתעניינים הוא . נגזור ונקבל

מכאן .

נבחין כי . אזי , כלומר  ולכן .

קישורים חיצוניים

על הכלל באתר Brilliant

קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי
קטגוריה:משפטים באנליזה
קטגוריה:אינטגרלים