פונקציית סכום הריבועים

בתורת המספרים, פונקציית סכום הריבועים היא פונקציה אריתמטית, שסופרת את מספר ההצגות של מספר טבעי נתון n כסכום של k ריבועים, כאשר הצגות עם סדר מחוברים שונה או סימן הפוך של המספרים המועלים בריבוע נספרות כהצגות שונות, והיא מסומנת (rk(n.

הגדרה
הפונקציה מוגדרת באופן הבא:

כאשר  מסמל את הגודל של הקבוצה. במילים אחרות, (rk(n הוא מספר הדרכים שבהן n ניתן לכתיבה כסכום של k ריבועים.

לדוגמה,  מכיוון ש-, ו- מכיוון ש- (יש ארבעה צירופי סימנים). כדוגמה נוספת - , שכן אין דרך להציג את 3 כסכום של שני ריבועים.

 תוצאות ידועות 
 k = 2 

את מספר הדרכים לכתוב מספר טבעי כסכום של שני ריבועים סופרת הפונקציה (r2(n. יש לה נוסחה מפורשת:

כאשר (d1(n הוא מספר המחלקים של n המשאירים שארית 1 בחלוקה ב-4 ו- (d3(n הוא מספר המחלקים של n המשאירים שארית 3 בחלוקה ב-4. באמצעות סימן הסכימה, הביטוי הזה ניתן לכתיבה גם כ-:

פירוק לגורמים ראשוניים , כאשר  הם הגורמים הראשוניים מהצורה , ו- הם הגורמים הראשוניים מהצורה , מניב נוסחה שקולה נוספת:

התקפה אם כל המעריכים  הם זוגיים. אם אחד או יותר מהמעריכים הללו הוא אי-זוגי, אז .

 k = 3 
גאוס הוכיח שעבור מספר ללא גורמים ריבועיים n > 4:

כאשר (h(m מסמל את מספר המחלקות (class number) של תבניות ריבועיות בינאריות מדיסקרימיננטה m.

 k = 4 

מספר הדרכים להציג את n כסכום של ארבעה ריבועים תמיד חיובי (בהתאם למשפט ארבעת הריבועים של לגראנז'), והוא מחושב בהתאם לנוסחה המפורשת של קרל גוסטב יעקב יעקובי, לפיה הוא שווה לשמונה פעמים סכום כל המחלקים של n שאינם מתחלקים ב-4, כלומר:

אם מפרקים את m לגורם זוגי וגורם אי-זוגי, כלומר כותבים אותו בצורה n  2km, כאשר m מספר אי-זוגי, אז ניתן להציג את  במונחי פונקציית סכום המחלקים באופן הבא:

k = 8 
יעקובי מצא גם נוסחה מפורשת עבור המקרה k = 8:

 פונקציה יוצרת 
הפונקציה היוצרת של הסדרה  בעבור k קבוע ניתנת לביטוי במונחי פונקציית תטא של יעקובי:

כאשר

 ערכים מספריים 
30 הערכים הראשונים של  נתונים בטבלה למטה:

 n  =  r1(n) r2(n) r3(n) r4(n) r5(n) r6(n) r7(n) r8(n) 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 6 8 10 12 14 16 2 2 0 4 12 24 40 60 84 112 3 3 0 0 8 32 80 160 280 448 4 22 2 4 6 24 90 252 574 1136 5 5 0 8 24 48 112 312 840 2016 6 2×3 0 0 24 96 240 544 1288 3136 7 7 0 0 0 64 320 960 2368 5504 8 23 0 4 12 24 200 1020 3444 9328 9 32 2 4 30 104 250 876 3542 12112 10 2×5 0 8 24 144 560 1560 4424 14112 11 11 0 0 24 96 560 2400 7560 21312 12 22×3 0 0 8 96 400 2080 9240 31808 13 13 0 8 24 112 560 2040 8456 35168 14 2×7 0 0 48 192 800 3264 11088 38528 15 3×5 0 0 0 192 960 4160 16576 56448 16 24 2 4 6 24 730 4092 18494 74864 17 17 0 8 48 144 480 3480 17808 78624 18 2×32 0 4 36 312 1240 4380 19740 84784 19 19 0 0 24 160 1520 7200 27720 109760 20 22×5 0 8 24 144 752 6552 34440 143136 21 3×7 0 0 48 256 1120 4608 29456 154112 22 2×11 0 0 24 288 1840 8160 31304 149184 23 23 0 0 0 192 1600 10560 49728 194688 24 23×3 0 0 24 96 1200 8224 52808 261184 25 52 2 12 30 248 1210 7812 43414 252016 26 2×13 0 8 72 336 2000 10200 52248 246176 27 33 0 0 32 320 2240 13120 68320 327040 28 22×7 0 0 0 192 1600 12480 74048 390784 29 29 0 8 72 240 1680 10104 68376 390240 30 2×3×5 0 0 48 576 2720 14144 71120 395136

קישורים חיצוניים 

קטגוריה:תורת המספרים
קטגוריה:פונקציות אריתמטיות