אי-שוויון קנטורוביץ'

במתמטיקה, אי-שוויון קנטורוביץ' הוא מקרה פרטי של אי-שוויון קושי-שוורץ, שהוא בעצמו הכללה של אי-שוויון המשולש, ונקרא על שם הכלכלן, המתמטיקאי וזוכה פרס נובל הסובייטי, לאוניד קנטורוביץ', שהיה חלוץ בתחום התכנון הליניארי.

בצורתו הפשוטה, אי-שוויון המשולש, קובע כי בכל משולש, סכום אורכי כל שתי צלעות יהיה שווה לאורך הצלע השלישית או גדול ממנה. במילים פשוטות, אי-שוויון קנטורוביץ׳ מתרגם את הרעיון הבסיסי של אי-שוויון המשולש למונחים ולסימונים של תכנון ליניארי.ראו מרחב וקטורי, מכפלה פנימית ומרחב נורמי לדוגמאות אחרות כיצד ניתן להכליל את הרעיונות הבסיסיים הטמונים באי-שוויון המשולש – קטע, קו ישר ומרחק – להקשר רחב יותר.

 ניסוח פורמלי 
פורמלית, ניתן לבטא את אי-שוויון קנטורוביץ' כך:

 נסמן . אם לכל  ב-, קיימים , ו- המקיים , אזי

 ניסוח הסתברותי 
אם, בניסוח הקודם, מתקיים גם , ניתן לפרש את המקדמים כהסתברויות. לכן, אם נגדיר משתנה מקרי  המקבל את כל אחד מהערכים  בהסתברות , אזי

הביטוי שצריך למזער מקבל ערך מינימלי כאשר מחלקים את ההסתברויות בצורה הכי קרובה לקבוצות שוות הסתברות, כלומר, , ואז החסם יהיה הכי גדול. במילים אחרות, אם ניתן לחלק את  באופן זר ל- ול- כך שמתקיים , אז

והחסם הדוק.

 ניסוח מטריציוני 
מרשל ואולקין ניסחו גם גרסה מטריציונית לאי-שוויון קנטרוביץ':

תהי  מטריצה הרמיטית חיובית לחלוטין שכל אחד מערכיה העצמיים, , מקיים

עבור  ו- חיוביים כלשהם. כמו כן, תהי  מטריצה כלשהי המקיימת
,
כאשר  הוא הצמוד ההרמיטי של , ו- היא מטריצת היחידה מסדר מתאים.

בתנאים אלה,
.
הדמיון לאי-שוויון קנטורוביץ' שהוצג לעיל מתגלה אם מכפילים מימין ב- את הביטויים בקצוות האי-שוויון, ומתקבל

 הוכחה 

 שימושים 
אי-שוויון קנטורוביץ׳ משמש בראש ובראשונה באנליזת התכנסות, שם הוא מטיל חסם על קצב ההתכנסות של אלגוריתם הירידה התלולה ביותר (steepest descent) של קושי.

 קישורים חיצוניים 

 אי-שוויון קנטורוביץ', במילון תכנון מתמטי

 הערות שוליים 

קנטורוביץ'
קטגוריה:משפטים באנליזה