משפט מוררה

משפט מוררה הוא משפט באנליזה מרוכבת הנותן תנאי שימושי וחשוב להוכחת הולומורפיות של פונקציה.

המשפט נקרא על שם ג'אצ'ינטו מוררה , שהוכיח אותו בשנת 1886.

 ניסוח פורמלי 
תהי  פונקציה רציפה על תחום פשוט וקשיר .

אם לכל משולש  המוכל יחד עם פנימו ב- מתקיים , אזי  הולומורפית ב-.

הוכחה
ראשית נוכיח שלפונקציה  קיימת פונקציה קדומה ב-.

תהי  נקודה בתחום. מכיוון ש- קבוצה פתוחה, קיים עיגול .

לכל  נגדיר .

יהי  משולש המוכל בעיגול  (מתקיים בעבור  קטן מספיק כיוון שהעיגול הוא קבוצה פתוחה), מהנתון נובע .

נוכל לרשום את השוויון כך:

ולאחר העברת אגפים נקבל

ולאחר הצבת ההגדרה נקבל את השוויון .

כעת, נוכיח שהפונקציה  היא פונקציה קדומה של . כלומר מתקיים .

נשתמש בשוויון שהוכחנו קודם ונקבל:

מרציפות  נקבל שכאשר  שואף לאפס גם הביטוי  שואף לאפס, כלומר מתקיים , ולכן  פונקציה קדומה של .

ומכיוון ש- הולומורפית ב- נובע שגם נגזרתה  הולומורפית ב-.

שימושים
משפט מוררה ביחד עם משפט פוביני או מבחן M של ויירשטראס יכול לסייע בהוכחת אנליטיות של פונקציות שמוגדרות על ידי סכום או אינטגרל.

דוגמה: נוכיח את האנליטיות של פונקציית גמא  על ידי כך שנוכיח את השוויון  לכל מסילה סגורה .

מהגדרת פונקציית גמא מתקיים .

ולאחר שימוש במשפט פוביני כדי להחליף את סדר האינטגרציה נקבל:

הפונקציה  אנליטית, ולכן מתקיים  (נובע ממשפט קושי-גורסה). כלומר  לכל מסילה סגורה , ולכן פונקציית גמא אנליטית בכל המישור.

לקריאה נוספת
פונקציות מרוכבות (כרך ג' יחידות 5–6), האוניברסיטה הפתוחה, 2009

קישורים חיצוניים

קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת