משפט קריין-סמוליאן

באנליזה פונקציונלית, משפט קריין-סמוליאן הוא משפט הנותן תנאי הכרחי ומספיק לקבוצה קמורה במרחב הדואלי להיות סגורה בטופולוגיה החלשה. במובן מסוים ניתן לחשוב על המשפט בתור המשפט ההפוך למשפט בנך-אלאוגלו. המשפט קרוי על שם המתמטיקאים מארק קריין וויטולד סמוליאן.

 ניסוח המשפט 
תהי קבוצה קמורה בטופולוגיה החלשה-* ונגדיר  כאשר  הוא הכדור ברדיוס r סביב 0 במרחב הדואלי. התנאים הבאים שקולים:

1) A סגורה w*.

2)  סגורה w* לכל .

2') קיימת סדרה  כך שלכל n,  סגורה w*.

 הוכחה 
סימונים: נסמן ב- את הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב הדואלי וב- הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב המקורי. כמו כן נסמן ב- את שדה הבסיס.

ראשית נשים לב שממשפט בנך אלאוגלו  הוא w* קומפקטי ולכן w* סגורה. כמו כן אם  אז . מכאן נקבל שקילות בין 2 ל-2'. באותו אופן ברור ש-(1) גורר את (2). הכיוון הקשה הוא .

טענה 1: תכונה (2) אינוורינטית להזזה ולניפוח: אם A מקיימת את (2) אז גם  מקיימות את (2).

הוכחה:

ניפוח: לכל  מתקיים ש-. הואיל וכפל בסקלר הוא הומיאמורפיזם בטפולוגיה החלשה נקבל את הדרוש.

הזזה: נקבע . תהי  רשת המתכנסת w* לאיבר . נראה ש-. מכיוון ש- w* סגורה, מספיק להוכיח ש-. מצד שני מאי שוויון המשולש מתקיים ש- לכן  רשת המתכנסת ל-. מההנחה נקבל ש- וסיימנו.

טענה 2: אם A מקיימת את תכונה (2) אז A סגורה בטופולוגיה הנורמית.

הוכחה:

תהי . בפרט יש  כך ש-. מההנחה  ולכן  ומההנחה .

המשך הוכחת המשפט:

יהי  רוצים למצוא סביבה חלשה  של  כך ש-. על ידי טענה 1 ניתן להניח ש-. נשתמש בלמה הבאה:

למה: נניח ש- אז יש סדרה  המקיימת:

1) 

2) לכל  יש n כך ש-.

הוכחת הלמה:

בהינתן קבוצה  נגדיר את הקבוצה הפולרית המוחלטת . כיוון ש-A סגורה בנורמה, יש  כך שלכל x ב-A, . על ידי ניפוח ניתן להניח ש- ולכן . נקבע  ונגדיר ברקורסיה סדרה של קבוצות סופיות לא ריקות  המקיימות לכל :

א. .

ב. .

כיוון ש-, רואים ש- מקיימת את הדרוש. נניח שמצאנו  נמצא את . נניח בשלילה שאין כזאת. כיוון שהקבוצות הפולריות המוחלטות סגורות בטופולוגיה החלשה*, נקבל שהקבוצה  היא קומפקטית בטופולוגיה החלשה* (היא תת-קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית לפי משפט בנך אלאוגלו). מההנחה בשלילה נובע שלכל קבוצה סופית  מתקיים . מקומפקטיות נקבל ש-. יהי  בחיתוך הנ"ל. אז . כמו כן לכל  מתקיים ש-. מכך נקבל ש- ואז  בסתירה להנחה שבחרנו על . לכן אפשר להמשיך את הבנייה.

כיוון ש- סופיות אז  בן מנייה ויהי  מנייה של הקבוצה. מתנאי א נקבל בבירור שנקבל את (1). כעת יהי . נקבע  כך . מתנאי ב נקבל שיש  כך ש- ולכן יש  כך ש- וקיבלנו את (2).

הוכחת המשפט: נקבע סדרה  כמו בלמה. מ-(1) יש  כך שמתקיים . נתבונן באופרטור . ברור ש-T ליניארי ומ-(1) נקבל כי . כמו כן ברור ש-T רציף כיוון ש-. מקמירות A נקבל ש- קמורה. תהי . אז B סגורה ומ-(2) נקבל ש-. ממשפט האן בנך נקבל שיש פונקציונל  וכן  כך ש-. אם נציב b=0 נקבל ש-. כיוון ש- נקבל שיש סדרה  כך ש-. מתקיים  וכיוון ש-X מרחב בנך מקבלים שיש . לכל  מתקיים: . לכן נקבל עבור ש . לכן אם נבחר את הסביבה  אז היא תהייה הסביבה המבוקשת.

 שימושים 
מסקנה שימושית מהמשפט הוא שתת-מרחב סגור בטופולוגיה החלשה* אם ורק אם כדור היחידה שלו סגור במרחב בטופולוגיה החלשה*.

מסקנה נוספת היא שהקמור הסגור של קבוצה קומפקטית בטופולוגיה החלשה* הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה*.

 ראו גם 
משפט בנך אלאוגלו

טופולוגיה חלשה

 לקריאה נוספת 
 בונסל פ., הרצאות על כמה משפטי נ"ש של אנליזה פונקציונלית, מכון טטה, 1962.
 .
 .
 .

 קישורים חיצוניים 
 הוכחת המשפט
 הרחבות של המשפט

קטגוריה:משפטים באנליזה פונקציונלית
קטגוריה:מרחבים נורמיים