מונה על-קומפקטי

בתורת הקבוצות, מונה על-קומפקטי הוא סוג מסוים של מונה גדול. 

 הגדרה ותכונות מרכזיות 
מונה  נקרא -על-קומפקטי, אם קיים שיכון אלמנטרי , כש- מחלקה טרנזיטיבית של , כך ש- ,    ו-. מונה על-קומפקטי הוא מונה   שהוא  -על-קומפקטי לכל  .

קיימת הגדרה שקולה, שניתנת להבעה בלוגיקה מסדר ראשון. עבור ,   הוא  -על-קומפקטי אם ורק אם קיימת מידה עדינה ונורמלית על הקבוצה . מידה כזו היא על-מסנן  על  המקיים:

  הוא -שלם: כלומר,  סגור לחיתוך של פחות מ- קבוצות.
  עדין: כלומר, לכל , הקבוצה  שייכת ל-.
  נורמלי: כלומר  עדין, ומקיים בנוסף את התכונה הבאה: לכל פונקציה , אם  אז קיימת קבוצה   עליה  קבועה.

שתי ההגדרות שקולות. אם יש שיכון אלמנטרי   המעיד על כך ש- הוא -על-קומפקטי, אז ניתן להגדיר מידה עדינה ונורמלית על   באופן הבא: . מנגד, אם  מידה עדינה ונורמלית על   , אז שיכון העל חזקה המתאים מעיד על כך ש- הוא -על-קומפקטי.

אם  מונה על-קומפקטי, אז קיימים עליו  על-מסננים נורמליים (זו הכמות המרבית).

למונים על-קומפקטיים יש תכונות השתקפות חזקות. למשל, אם השערת הרצף המוכללת (GCH) נכונה עד למונה על-קומפקטי , אז היא נכונה בכל מקום. כמו כן, כל מונה על-קומפקטי   הוא גבול של מונים מדידים (יתרה מכך, קבוצת המונים המדידים מתחתיו היא קבוצה שבת).

 הקשר למונים קומפקטיים-חזקים 
כל מונה על-קומפקטי הוא קומפקטי-חזק. רוברט סולוביי שיער שההפך גם נכון, כלומר כל מונה קומפקטי-חזק הוא על-קומפקטי. אף על פי שטענה זו עקבית מתוך קיום מונה על-קומפקטי, מתברר שאינה בהכרח נכונה: Menas הוכיח שגבול מדיד של מונים קומפקטיים חזקים הוא קומפקטי חזק. מכאן נובע שהמונה הראשון שהוא גבול מדיד של קומפקטיים חזקים, (אם קיים), הוא מונה קומפקטי חזק שאינו על-קומפקטי. 

השיטה של Menas לא מאפשרת לשלול את היותו של המונה הקומפקטי-חזק הראשון על-קומפקטי. מנחם מגידור הוכיח כי עקבי שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא המונה המדיד הראשון (ולכן אינו על-קומפקטי). כמו כן, מגידור הוכיח כי עקבי שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא העל-קומפקטי הראשון. 

אקסיומת העל-חזקה גוררת שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא על-קומפקטי; יחד עם זאת, לא ידוע עדיין האם אקסיומת העל-חזקה עקבית עם קיומם של מונים קומפקטים-חזקים. 

כיום עדיין לא ידוע אם חוזק ההתיישבות של מונים קומפקטיים-חזקים ומונים על-קומפקטיים זהה.

קטגוריה:תורת הקבוצות
קטגוריה:מונים גדולים