משפט פרובניוס (תורת החבורות)

משפט פרובניוס בתורת החבורות, אומר שלכל מחלק  של הסדר של חבורה , מספר האיברים בחבורה הפותרים את המשוואה  מתחלק ב-. המשפט נקרא ע"ש פרדיננד גאורג פרובניוס שהוכיח אותו בשנת 1895.

 ניסוח המשפט 
תהי G חבורה ויהי  מחלק של הסדר . נסמן ב  את אוסף האיברים מסדר המחלק את . אזי .

 הוכחה 
נעזר בעובדה הבאה מתורת החבורות:

כל איבר מסדר , כאשר  זרים, אפשר לפרק בצורה  כאשר  (למעשה אפשר לבחור את  להיות חזקות של ).

נעזר גם בלמה הבאה:

למה: לכל n אם  לא ריקה אז  כאשר  היא פונקציית אוילר. בנוסף אם  מהצורה  כאשר  ואם  אז  ריקה או ש .

הוכחה: נתבונן ביחס השקילות הבא: , כלומר הם יוצרים אותה תת-חבורה. מתקיים . לכן מס' האיברים במחלקת השקילות של x הוא . מקבלים ש  איחוד של מחלקות שקילות של איברים מסדר n ונקבל ש . נרשום את A בצורה הבאה: . אם A אינה ריקה נקבל ש כאשר  מסמן את המחלקה של . כל אחת מהחלקות המשתתפות באיחוד מתחלקת ב . ונקבל את הדרוש.

הוכחת המשפט:

יהו . ההוכחה באינדוקציה כפולה על . מקרה הבסיס  או  טריוויאליים. נניח שהוכחנו לכל חבורה קטנה יותר ולכל מחלק גדול יותר של החבורה נראה נכונות עבור d,n: יהי . תהי . מתקיים .

מאינדוקציה נקבל כי  ולכן מספיק להראות ש . אם A ריקה זה ברור. נניח ש-A אינה ריקה. מהלמה  ולכן מספיק להראות ש . נרשום ומהעובדה שצוטטה לעיל נקבל שלכל x ב-A ישנם y,z כך ש . נסמן ב  את המרכז של a וב  את מחלקת הצמידות של . עבור  ב  נגדיר . מקבלים ש . נראה שזהו איחוד זר. אכן יהיו . נקבל ש . כיוון ש וכן נקבל ש  והראנו שהאיחוד זר. לכן מספיק להראות ש  לכל a מסדר . נשים לב שהעתקה  היא התאמה חח"ע ועל ולכן . יהי . ההתאמה  היא התאמה חח"ע ועל מ  ל . כיוון ש-k<n נקבל מהנחת האינדוקציה ש  ולכן . ממשפט מסלול מייצב נקבל ש  ולכן . כיוון שגם  וגם  מחלקים את  נקבל שגם הכפולה המשותפת המינימלית שלהם  מחלקת את . לכן  מחלק את . מכיוון ש  נקבל ש  וסיימנו.

 שימושים 
1) משפט פרובניוס מאפשר להראות שחבורות רבות אינן פשוטות ואפילו לתאר את המבנה שלהם.

מסקנה 1: תהי G חבורה כך ש  ו  סדרה עולה. נניח שכל תת חבורה p סילו היא ציקלית. במקרה כזה תת-חבורת  סילו היא נורמלית ב  ובנוסף  חבורה פתירה. בפרט אם חופשית מריבועיים אז היא פתירה ותת חבורת  סילו שלה היא נורמלית.

הוכחה: נוכיח באינדוקציה על  ש  עבור  כך ש . המקרה של  ברור. נניח שהראנו לכל מחלק  מהצורה לעיל הגדול מ , ונוכיח כעת עבור . יהי  המחלק הראשוני הגדול ביותר של . תהי. כיוון שחבורות  סילו ציקליות,  לא ריקה. מהנחת האינדוקציה . ממשפט פרובניוס קיים  כך ש . מהלמה בהוכחת משפט פרובניוס נקבל ש  מהצורה של  כל מחלק של  הוא לפחות  ולכן  לכן  ולכן . קיבלנו לכן ש  עבור d מהצורה הנ"ל. בפרט עבור נקבל ש  ונקבל שתת-חבורת ה  סילו  יחידה ולכן נורמלית. מאינדוקציה , פתירות ונקבל את הדרוש. ה"בפרט" נובע מכך שכל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית.

באופן דומה מוכיחים את המסקנה הנוספת הבאה:

מסקנה 2: לכל n קיימת חבורה בגודל n שאינה ציקלית אמ"מ .

2) על ידי חישוב  בחבורות ספציפיות ניתן לקבל זהויות בתורת המספרים. למשל לכל ראשוני p ולכל  על ידי חישוב  בחבורה הסימטרית  ניתן להראות כי מתקיים:.

 תוצאות נוספות 
 גרסה כללית יותר (הול 1959 משפט 9.1.1) היא שאם  היא מחלקת צמידות עם  איברים אזי מספר האיברים  כך ש  נמצא ב  מתחלק ב .
 פרובניוס שיער שאם  ו  אז , תת-חבורה נורמלית של . ההשערה הוכחה בשנת 1991 תוך שימוש במשפט המיון לחבורות סופיות פשוטות לאחר עבודה רבה.

 ראו גם 
 משפטי סילו

 קישורים חיצוניים 
 הוכחת המשפט ושימושים

 הערות שוליים 

2019 06
קטגוריה:תורת החבורות
קטגוריה:משפטים בתורת החבורות