גומבוץ (מתמטיקה)

ממוזער|הגומבוץ המונו-מונוסטטי בתנוחת שיווי המשקל היציב.
גומבוץ (בהונגרית: Gömböc) הוא גוף תלת-ממדי וקמור בעל צפיפות הומוגנית שכאשר מניחים אותו על משטח שטוח יש לו רק שתי נקודות שיווי משקל: אחת יציבה והשנייה רופפת. בכך לגוף כזה יש תכונה ייחודית - יכולת יציבה אבסולוטית - כלומר, במילים אחרות, ישנו מנח יחיד בו הוא יכול להימצא באמת במצב סטטי. קיומו שוער לראשונה ב-1995 על ידי המתמטיקאי הרוסי ולדימיר ארנולד, והוכח ב-2006 על ידי המדענים ההונגרים גאבור דומוקוש ופטר ורקוני, שתיארו משפחה של גופים בעלי התכונה הזאת. השם גומבוץ הוא כינוי מקטין למילה "גומב" (gömb) - "כדור" בהונגרית.

מאז שנתגלה, צורתו עזרה להסביר את מבנה הגוף של צבים יבשתיים, בהקשר של יכולתם הטבעית לחזור לתנוחת שיווי משקל לאחר שהופכים אותם על גבם.

 היסטוריה 
ממוזער|ימין| כאשר צעצוע הנחום תקום מוטה הצידה, מרכז המסה "מטפס" מהמפלס הירוק למפלס הכתום הגבוה יותר, וכמו כן אינו נמצא יותר בדיוק מעל נקודת המגע עם הקרקע.
בגאומטריה, גוף עם תנוחה יציבה יחידה נקרא מונוסטטי, בעוד המונח מונו-מונוסטטי נטבע כדי לתאר גוף אשר בנוסף לכך יש לו נקודת שיווי משקל רופף יחידה. כדור שמשקלו מפולג ככה שמרכז המסה שלו מוסט ביחס למרכז הגאומטרי שלו הוא גוף מונו-מונוסטטי. דוגמה נפוצה יותר היא זו של נחום תקום (ראו איור מימין). בשיווי משקל, מרכז המסה שלו ונקודת המגע נמצאים על ישר שניצב לקרקע. כאשר הצעצוע מוטה במקצת, גובה מרכז המסה שלו עולה ובנוסף מתרחק אופקית מהישר הזה. הדבר מפיק מומנט התיישרות אשר משיב את הצעצוע למנח היציב שלו.

הדוגמאות שהוזכרו מקודם של גופים מונו-מונוסטטיים הן בהכרח לא הומוגניות, כלומר, בדוגמאות אלו צפיפות החומר ממנו עשוי הגוף אינה אחידה. השאלה האם ניתן לבנות גוף תלת-ממדי שהוא לא רק מונו-מונוסטטי אלא גם הומוגני וקמור הועלתה על ידי המתמטיקאי הרוסי ולדימיר ארנולד ב-1995. דרישת הקמירות היא מהותית לבעיה שכן בנייה של גוף מונו-מוסטטי לא קמור היא טריוויאלית (ניתן לקחת לדוגמה כדור הומוגני עם חלל כדורי בעל מרכז שונה בתוכו; במקרה זה מרכז המסה של הגוף יוסח ממרכז הכדור למרחק מה בכיוון הפוך מכיוון מרכז החלל הכדורי). הקמירות פירושה שכל קו ישר שמחבר שתי נקודות על הגוף נמצא כולו בתוך הגוף, או, במילים אחרות, שבמשטח אין שקעים אלא רק בליטות כלפי חוץ (או שהוא לכל הפחות שטוח) בכל נקודה.

בשנה בה העלה ארנולד את השערתו כבר היה ידוע, מההכללה הטופולוגית והגאומטרית של משפט ארבעת הקודקודים הקלאסי, שלעקומה מישורית יש לפחות ארבע נקודות קיצון של העקמומיות, ובאופן ספציפי יותר, לפחות שתי נקודות מקסימום מקומי ושתי נקודות מינימום מקומי. כיוון שהתנאים ליציבות של גוף דו־ממדי עבור נקודת מגע נתונה הם שמרכז המסה יהיה בדיוק מעל נקודת המגע, ושמרכז המסה יימצא מתחת למרכז העקמומיות (שגובהו הוא רדיוס העקמומיות), נובע איפה שיציבות מקומית של הגוף נקבעת על פי מיקום מרכז המסה ביחס לאוולוט של העקומה. למעשה, נקודת שיווי משקל יציב תיתכן רק כאשר מרכז המסה יימצא מעל נקודת מינימום מקומי של העקמומיות. כיוון שחייבות להיות לפחות שתי נקודות מינימום כאלו, כל עקומה מישורית תהיה בעלת לפחות שתי תנוחות יציבה; פירוש הדבר שלא קיימים גופים קמורים מונו-מונוסטטיים בשני ממדים.

המצב בשלושה ממדים סבוך בהרבה, שכן ישנה עקמומיות נורמלית שונה (של חתכים נורמליים שונים) עבור כל כיוון הטיה של הגוף (ולפיכך גם היסט אנכי שונה של מרכז המסה), אולם בתקופתו של ארנולד מקובל היה לחשוב שגם בשלושה ממדים לגוף בהכרח יהיו לפחות ארבע נקודות קיצון. בניגוד לסברה הקיימת, ארנולד שיער שניתן להקטין את המספר הזה.

 הפתרון 
הבעיה נפתרה בשנת 2006 על ידי גאבור דומוקוש ופטר ורקוני. דומוקוש פגש את ארנולד ב-1995 בכנס מתמטי גדול בהמבורג, שם הציג ארנולד הרצאה במליאה שהמחישה שלרוב הבעיות הגאומטריות יש ארבעה פתרונות או נקודות קיצון. אולם כששוחחו השניים, תהה ארנולד אם  זו אכן דרישה לגופים מונוסטטיים תלת־ממדיים, ועודד את דומוקוס לחפש דוגמאות עם פחות נקודות שיווי משקל.

את ההוכחה של הפתרון ניתן למצוא בהפניה לעבודותיהם. התוצאה היא שגוף קמור (מונו-מונוסטטי) הומוגני תלת־ממדי, שיש לו נקודת שיווי-משקל אחת יציבה ונקודת שיווי משקל אחת רופפת, קיים ואינו ייחודי. צורתו של גוף כזה רגישה לשינויים קלים, ומעבר להם הוא כבר אינו מונוסטטי. לדוגמה, הפתרון הראשון של דומוקוש וורקוני דומה מאוד לכדור, עם סטיית צורה של  בלבד. הפתרון הזה לא יושם בשל הרגישות הרבה של הפתרון.  הדוגמה הראשונה שנוצרה פיזית פחות רגישה; ובכל זאת יש לה סובלנות לשינוי צורה של כ- , כלומר 0.1 מ"מ לגודל של 10 ס"מ.

דומוקוש פיתח מערכת סיווג לצורות המבוססת על נקודות שיווי המשקל שלהן על ידי אנליזה של חלוקי נחל וציון נקודות שיווי המשקל שלהם. דומוקוש ואשתו בדקו כ-2000 חלוקי נחל שנאספו בחופי האי היווני רודוס ולא מצאו ביניהם אף גוף מונוסטטי, מה שממחיש את הקושי למצוא או לבנות גוף כזה.

נקודת שיווי המשקל הרופפת של הגומבוץ מתקבלת על ידי הצבת הגומבוץ במנח היציב שלו ואז סיבוב שלו ב-180 מעלות סביב ציר אופקי. מעשית, גם אם מניחים את הגומבוץ בדיוק על נקודה זו, ההפרעה הקטנה ביותר תחזיר אותו למצב שיווי המשקל היציב. לכל הגומבוצים מאפיינים דמויי כדור. דומוקוש ופטר ורקוני מעוניינים למצוא פתרון פוליהדרלי עם משטח המורכב ממספר מינימלי של מישורים שטוחים. קיים  פרס לכל מי שמוצא את המספרים המינימליים של F, E ו-V פאות, מקצועות וקודקודים עבור פוליהדרון כזה, שמסתכם ב-$10,000 מחולק בסכום C = F + E + V - 2.

קישורים חיצוניים



 הערות שוליים 

קטגוריה:גאומטריה אוקלידית