טבלת קיילי

בתורת החבורות, טבלת קיילי, הנקראת על שם המתמטיקאי הבריטי בן המאה ה-19 ארתור קיילי, מתארת את המבנה של חבורה סופית באמצעות הצגת כל המכפלות האפשריות של שניים מאיברי החבורה בטבלה ריבועית המזכירה את לוח הכפל. מסיבה זו היא לעיתים מכונה גם "לוח הכפל של החבורה". מאקסיומת האסוציאטיביות של חבורה נובע שטבלת קיילי מגדירה כל תוצאה אפשרית של כפל סדרת איברים מתוך החבורה. תכונות רבות של החבורה - כמו למשל האם היא אבלית או לא, אילו איברים הם ההופכיים של אילו איברים, והגודל של מרכז החבורה - ניתנות להסקה מטבלת קיילי שלה.

דוגמה פשוטה לטבלת קיילי היא זו של החבורה {1,1-} תחת כפל רגיל:

×1−11 1  −1−1 −1  1

 תכונות 
 לטבלת קיילי של חבורה יש מבנה של ריבוע לטיני - בכל שורה או טור מופיע כל איבר בחבורה בדיוק פעם אחת. כהוכחה לכך נניח בשלילה ששורה או עמודה בטבלה מכילות את אותו האיבר פעמיים, כלומר:  (כאן y הוא האיבר שמופיע פעמיים בשורה או בעמודה של x). אם נכפול משמאל בהופכי של x נקבל , בסתירה לכך ש-g ו-h שני איברים שונים.
 יותר מכך, אם סדר החבורה  G אי זוגי, ניתן להוכיח - בעזרת משפט לגראנז' - שגם על האלכסון הראשי של הטבלה מופיע כל איבר בחבורה בדיוק פעם אחת. הווה אומר, לכל x בחבורה קיים y כך ש-. הסבר: אם  איבר בחבורה שאינו איבר היחידה e, אז לפי משפט לגראנז' הסדר שלו בחבורה מחלק את  (איבר זה יוצר תת-חבורה ציקלית H שמספר איבריה הוא סדרו של x) ולכן הוא בעצמו גם אי זוגי. כעת, כדי למצוא את "השורש הריבועי" y של x, מספיק להסתכל בתת-חבורה הציקלית הנוצרת על ידי x: אם נסמן ב-m את הסדר האי זוגי של x, אז .
 עבור חבורות אבליות, טבלת קיילי היא סימטרית ביחס לאלכסון הראשי, שכן .
 המופעים של איבר היחידה e סימטריים ביחס לאלכסון הראשי, שכן כל איבר מתחלף עם ההופכי שלו.
 אם השורה המתאימה לאיבר a זהה לעמודה המתאימה לו, אז האיבר שייך למרכז החבורה.

קישורים חיצוניים



קטגוריה:תורת החבורות