קומפקטיפיקציה חד-נקודתית

קומפקטיפיקציה חד נקודתית היא דרך לבנות מרחב טופולוגי קומפקטי ממרחב טופולוגי כלשהו על ידי הוספת נקודה בודדת למרחב.

 הבנייה 
יהא  מרחב טופולוגי. ניקח איזושהי נקודה שרירותית  ונגדיר . נגדיר טופולוגיה  על  - קבוצה  תחשב פתוחה אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:
  הייתה במקור קבוצה פתוחה ב-, כלומר .
  וגם  היא קבוצה קומפקטית.

 הוכחת נכונות הבנייה 
נראה ש- הוא מרחב קומפקטי. יהא  כיסוי פתוח של . קיימת  כך ש-, ומשום ש- אזי  היא קבוצה קומפקטית. אבל אז ל- יש תת-כיסוי סופי , לכן  הוא כיסוי סופי של  ונקבל ש- קומפקטית כנדרש.
 תכונה נוספת של Y 

אם נניח ש- הוא מרחב קומפקטי מקומית האוסדורף, אזי גם  הוא מרחב האוסדורף. ואכן, ניקח שתי נקודות שונות . אם  אזי משום ש- הוא מרחב האוסדורף, קיימות שתי קבוצות פתוחות ב- וזרות  ו- כך ש- ו- ונסיים כי כל קבוצה פתוחה ב- היא קבוצה פתוחה ב-. אחרת,  או  ונניח בלי הגבלת הכלליות כי . משום ש- הוא מרחב קומפקטי מקומית, אזי קיימת  (ובפרט, ) כך ש- וש- היא קבוצה קומפקטית. אבל אז הקבוצה  היא קבוצה פתוחה ב-. בנוסף, נשים לב כי  ובכך מצאנו זוג קבוצות פתוחות ב- וזרות כך ש- ו- ולכן נקבל ש- הוא מרחב האוסדורף כנדרש.

ראו גם
 הטלה סטריאוגרפית
 קומפקטיפיקציה
 קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך

קישורים חיצוניים


קטגוריה:קומפקטיות