סכמה (מתמטיקה)

במתמטיקה, סְכֶמָה היא מבנה מתמטי שמכלילה בכמה דרכים את המושג של יריעה אלגברית מהגאומטריה האלגברית הקלאסית. לדוגמה, המשוואות  ו- מגדירות את אותן היריעות אך סכמות שונות. הסכמה מאפשרת להגדיר אנלוג של מושג היריעה מעל כל חוג קומוטטיבי (לדוגמה, עקום פרמה מוגדר מעל חוג השלמים ).

סכמות הוצגו לראשונה על ידי אלכסנדר גרותנדיק, בשנת 1960, בספרו "יסודות הגאומטריה האלגברית". בכך גרותנדיק ניסח מחדש את הגאומטריה האלגברית. ניסוח זה הוביל בין היתר לפתרון של בעיות עמוקות וחשובות בתחום ובתחומים הקשורים, כגון השערות וויל  (שהאחרונה מביניהן נפתרה על ידי פייר דלין ). מושג הסכמה מבוסס על אלגברה קומוטטיבית, ותורת הסכמות מביאה את האפשרות להשתמש בכלים של טופולוגיה ואלגברה הומולוגית. בנוסף, סכמות מקשרות קשר הדוק בין גאומטריה אלגברית לבין תורת המספרים מה שהוביל להתקדמות גדולה בתורת המספרים (למשל, ההוכחה של אנדרו ויילס של ה"המשפט האחרון של פרמה" משתמשת רבות במושג הסכמה).

 רקע להגדרה 
מושג הסכמה פותח כגרסה כללית וגמישה יותר של מושג היריעה האלגברית.
הצורך במושג הסכמה עולה מכך, שאף על פי שמושג היריעה האלגברית כללי למדי, יש למושג זה מספר מגבלות:
 נדרש לקבוע את השדה , לכן לא ניתן לטפל בו זמנית ביריעות מעל שדות שונים. מגבלה זו מקשה על שימושים בתורת המספרים כאשר רוצים לקשר בין פתרונות של מערכת משוואות מעל שדה סופי ובין הגאומטריה של היריעה המוגדרת על ידי מערכת זו מעל . כמו כן הגדלת השדה מאפשרת הוספה של מספרים טרנסצנדנטים מה שמאפשר יצירה של נקודות גנריות, זאת אומרת נקודות שימצאו בכל קבוצה פתוחה זריצקי המוגדרת מעל השדה המקורי.
 יריעות אינן מאפשרות טיפול בפתרונות של מערכות משוואות מעל חוגים שאינם שדות. גם מגבלה זו מקשה על שימושים בתורת המספרים שאחת הבעיות המרכזיות בה היא ניתוח של משוואות דיופנטיות.
 יריעות אינן מאפשרות טיפול בשורשים מרובים. לדוגמה היריעה המוגדרת על ידי המשוואה  זהה ליריעה המוגדרת על ידי המשוואה . אולם כאשר מנתחים שורשים של פולינום נהוג לקחת בחשבון את ריבוי השורשים ולכן להתייחס לקבוצת השורשים של  באופן שונה מאשר לקבוצת השורשים של . התייחסות לריבוי השורשים משפרת את הניסוח והשימושיות של מספר משפטים. למשל את המשפט היסודי של האלגברה.

כדי להתמודד עם מגבלות אלה פיתח גרותנדיק את מושג הסכמה. כדי להבין את ההבדל בין סכמות ויריעות אפשר להסתכל תחילה על המקרה האפיני. סכמות אפיניות, כמו יריעות אפיניות מוגדרות על ידי חוג הפונקציות עליהם, אלא שבמקרה של סכמה מסירם את רוב ההגבלות מחוג זה. ראשית לא דורשים שהוא יהיה נוצר סופית מעל שדה, זה מאפשר להתמודד עם מגבלות 1,2 למעלה. שנית מאפשרים לו להכיל נילפוטנטים, זה מאפשר להתמודד עם מגבלה 3. הסרת מגבלת הנילפוטנטים גורמת לכך שהחוג כבר לא חוג פונקציות. לכן כאשר מגדירים סכמה כללית לא מגדירים אותה בתור מרחב טופולוגי עם אלומת פונקציות אלא בתור מרחב טופולוגי עם אלומה של אלגבראות אבסטרקטיות. מבנה כזה נקרא מרחב מחויג.

לוויתור על הנוצרות סופית של חוג הפונקציות הרגולריות ישנן השלכות. כאשר מתאימים לאלגברה יריעה אפינית, משתמשים בספקטרום המקסימלי שלה, זאת אומרת אוסף האידיאלים המקסימליים שלה, בעוד שכשמתאימים לחוג סכמה אפינית, משתמשים בספקטרום הראשוני שלו, זאת אומרת אוסף האידיאלים הראשוניים שלו. הצורך להשתמש בספקטרום ראשוני נובע מכך שבהינתן העתקה בין חוגים כלליים (לאו דווקא נוצרים סופית מעל שדה) אין זה נכון שתמונה הפוכה של אידיאל מקסימלי היא אידיאל מקסימלי, אבל נכון שתמונה הפוכה של אידיאל ראשוני היא אידיאל ראשוני.

הבדל נוסף בין סכמות ליריעות הוא הוויתור על הדרישה שהכיסוי של סכמה על ידי סכמות אפיניות יהיה סופי. הדרישה היא רק קיום של כיסוי פתוח על ידי סכמות אפיניות. ויתור זה אינו פועל יוצא של אחת המגבלות שתוארו מעלה, אלא בא לאור העובדה שסכמות הן מושג כללי מאוד ולכן ישנו ויתור על כל ההגבלות שאינן הכרחיות.
סכמות בעלות כיסוי סופי כזה נקראות סכמות קוואזי-קומפקטיות. במקרים רבים כשחוקרים סכמות מצמצמים את הדיון לסכמות קוואזי-קומפקטיות, מכיוון שמשפטים רבים אינם תקפים לסכמות שאינן קוואזי-קומפקטיות.

 הגדרה 
 סכמות אפיניות 

סכמה אפינית היא מרחב מחויג מקומית  שאיזומורפי (כמרחב מחויג מקומית) לספקטרום של חוג קומוטטיבי.

 סכמות כלליות 
סכמה היא מרחב מחויג מקומית  כך שלכל נקודה  יש סביבה פתוחה , כך שהמרחב המחויג  הוא סכמה אפינית.

מטעמי נוחות, הסכמה  נקראת לעיתים , ואת המרחב הטופולוגי של  נסמן .  נקראת אלומת המבנה של .

 סכמות וקדם סכמות 
בעבר, סכמה נקראה "קדם-סכמה" והמונח סכמה התייחס לקדם-סכמה מופרדת. הטרמינולוגיה הזו כבר אינה בשימוש אך עדיין קיימת בספרים, כמו "יסודות הגאומטריה האלגברית" של גרותנדיק ו-"הספר האדום" של מאמפורד.

מורפיזמים של סכמות
מורפיזם של סכמות הוא מורפיזם של מרחבים מחויגים מקומית. כלומר, אם  סכמות, מורפיזם  הוא הזוג , כאשר:

 העתקה רציפה בין שני מרחבים טופולוגיים.
 מורפיזם של אלומות כך שההומומורפיזם המושרה מ- על הנבטים הוא הומומורפיזם מקומי של חוגים מקומיים, כלומר לכל , ההומומורפיזם המושרה  מקיים .
 היא הדחיפה של האלומה  על , כלומר האלומה שמתאימה לכל קבוצה פתוחה  את החוג  .

 הוא הנבט של האלומה  בנקודה .

 הוא האידיאל המקסימלי היחיד בחוג המקומי .

 תכונות של סכמות 
 סכמה נקראת קשירה אם המרחב הטופולוגי שלה קשיר.
 סכמה נקראת אי-פריקה אם המרחב הטופולוגי שלה אי-פריק.



 הממד של סכמה , מסומן , הוא ממד קרול שלה כמרחב טופולוגי (סופרימום אורך שרשאות ההכלה של תת-קבוצות סגורות אי פריקות שונות). אם  תת-קבוצה אי-פריקה סגורה של , אז הקו-ממד של  ב-, המסומן  הוא סופרימום אורכי השרשראות  של תת-קבוצות שונות סגורות אי-פריקות של , שמתחילות ב-. אם  תת-קבוצה סגורה כלשהי של , מגדירים .
המימד של סכמה נתרית תמיד סופי.

 היבט קטגורי 

 הקטגוריה של סכמות אפיניות 
לכל סכמה  יש מורפיזם טבעי  שהוא איזומורפיזם אם ורק אם  סכמה אפינית. באופן שקול, אם  חוג קומוטטיבי עם יחידה ו- סכמה, אז יש התאמה חח"ע ועל:

הוכחה: ההעתקה  מצד ימין לצד שמאל היא האיזומורפיזם הדרוש.

יתרה מזאת, הטענה דלעיל יכולה לתת אפיון של סכמות אפיניות כך: סכמה  היא אפינית אם ורק אם לכל סכמה  ההעתקה  היא חח"ע ועל.

הוכחה: אם ההעתקה חח"ע ועל אז  ולכן  איזומורפי ל- מהלמה של יונדה. הכיוון השני ברור.

אם נסמן את קטגוריית הסכמות האפיניות ב- נקבל תוצאה חשובה: , כלומר קטגוריית הסכמות האפיניות שקולה לקטגוריה ההפוכה לקטגוריית החוגים.

 אובייקט סופי ואובייקט תחילי 
 הוא האובייקט ההתחלתי בקטגוריה של החוגים (הקומוטטיביים עם יחידה, ) ולכן מכך ש- נקבל כי  הוא האובייקט הסופי בקטגוריית הסכמות ().

כלומר, מכל סכמה  יש מורפיזם יחיד .

האובייקט התחילי בקטגוריית הסכמות הוא הסכמה הריקה (השווה ל-)

 מכפלה מסוייבת של סכמות 
תהי  סכמה, ויהיו  סכמות מעל , כלומר סכמות עם מורפיזם ל-.

נגדיר את המכפלה המסוייבת של  ו- מעל , מסומנת , להיות סכמה, יחד עם מורפיזמים , , שיוצרים דיאגרמה קומוטטיבית יחד עם המורפיזמים הנתונים , , כך שלכל סכמה  מעל  ומורפיזמים ,  שיוצרים דיאגרמה קומוטטיבית עם המורפיזמים , , קיים מורפיזם יחיד  עבורו  ו-.

טקסט=|לא ממוסגר|306x306 פיקסלים

המורפיזמים  ו- נקראים הטלות (projection morphisms) של המכפלה המסוייבת על גורמי המכפלה.

אם  נתונות ללא סכמת בסיס , לוקחים .

משפט: לכל זוג סכמות  מעל סכמה , המכפלה המסוייבת  קיימת.

בקטגוריית הסכמות האפיניות  שאיזומורפית לקטגוריה ההפוכה לקטגוריית החוגים, המכפלה המסוייבת מקבילה למכפלה הטנזורית בקטגוריית החוגים. כלומר, אם  סכמות אפיניות,  חוגים, ויש מורפיזמים , אזי .

 דחיפה (pushout) 
דחיפה היא מושג דואלי למכפלה מסוייבת. כלומר דחיפה בקטגוריה  היא מכפלה מסוייבת בקטגוריה ההפוכה .

יהיו  סכמות עם מורפיזמים  ו-.

נגדיר את הדחיפה  להיות סכמה, יחד עם מורפיזמים , , שיוצרים דיאגרמה קומוטטיבית יחד עם המורפיזמים הנתונים  ו-, כך שלכל סכמה  ומורפיזמים ,  שיוצרים דיאגרמה קומוטטיבית עם המורפיזמים  ו- קיים מורפיזם יחיד  עבורו  ו-.

לא ממוסגר

אם  ו- הם שיכונים סגורים הדחיפה קיימת, והיא שווה להדבקה של  ו- לאורך.

בקטגוריית הסכמות הדחיפה לא תמיד קיימת. לעומת זאת, בקטגוריית הסכמות האפיניות הדחיפה קיימת תמיד: אם  סכמות אפיניות עם מורפיזמים שנובעים מההומומורפיזמים  ו- , אז הדחיפה  קיימת, והיא תהיה  כאשר .

הדחיפה בסכמות אפיניות לא בהכרח שווה לדחיפה בסכמות. דוגמה לכך היא דחיפה של שני ישרים לאורך ישר בלי הראשית, כאשר הוא משוכן בראשון על ידי הזהות, ובשני על ידי . אז הדחיפה בקטגוריית הסכמות תהיה הישר הפרויקטיבי (מעגל), ובקטגוריית הסכמות האפיניות הדחיפה קורסת לסכמה אפינית - נקודה אחת.

הדבקה
מקרה חשוב של דחיפה הוא המקרה בו ההעתקות מ- הן שיכונים פתוחים. במקרה זה הדחיפה תמיד קיימת בקטגוריית הסכמות. מקרה זה נקראה לעיתים הדבקה.

 סיב של מורפיזם 
יהי  מורפיזם של סכמות (במקרה כזה נהוג להגיד ש- היא סכמה מעל ), ותהי  נקודה. יהי  שדה השאריות של , ויהי  המורפיזם הטבעי. אז נגדיר את הסיב של המורפיזם  מעל הנקודה  להיות הסכמה .

מושג הסיב של מורפיזם מאפשר להתייחס למורפיזם כמשפחה של סכמות (שנקראות הסיבים שלו), שמתוארות לפי פרמטרים של נקודות בסכמת התמונה. מהצד השני, המובן הזה של משפחה של סכמות הוא דרך טובה להבין משפחות של סכמות שמשתנות אלגברית. למשל, לכל סכמה  יש העתקה ל-, כלומר כל סכמה היא סכמה מעל . במקרה הזה, הסיב מעל הנקודה הגנרית נותן סכמה  מעל , והסיב מעל נקודה סגורה, שמתאימה למספר ראשוני , יהיה סכמה  מעל השדה הסופי . נאמר כי  נוצרת על ידי צמצום מודולו  של הסכמה .

 הרחבת בסיס 
תוצאה חשובה של הגדרת המכפלה המסוייבת היא הרעיון של הרחבת בסיס.

תהי  סכמת בסיס. אם  סכמת בסיס נוספת, ו- מורפיזם, אז לכל סכמה  מעל  נגדיר , שהיא סכמה מעל . נאמר כי  מתקבלת מ- על ידי הרחבת בסיס .

 תכונות של מורפיזמים של סכמות 





 יהי  מורפיזם של סכמות. מורפיזם האלכסון הוא המורפיזם היחיד  שהרכבתו עם כל אחת מההטלות  היא העתקת הזהות .
 מורפיזם  נקרא מופרד אם מורפיזם האלכסון  הוא שיכון סגור. במקרה זה אנו אומרים שהסכמה  מופרדת מעל . סכמה  היא מופרדת אם היא מופרדת מעל .
 מורפיזם של סכמות נקרא סגור אם ההעתקה של המרחבים הטופולוגיים היא העתקה סגורה (שולחת תת-קבוצה סגורה לתת קבוצה סגורה).
 מורפיזם  נקרא סגור אוניברסלית אם הוא מורפיזם סגור ועבור כל מורפיזם אחר  המורפיזם  המתקבל מהרחבת בסיס של  גם הוא מורפיזם סגור.
 מורפיזם  נקרא נאות אם הוא מופרד, מטיפוס סופי וסגור אוניברסלית. במצב הזה אומרים ש- נאותה מעל . סכמה נקראת נאותה אם היא נאותה מעל .
למורפיזמים יש חשיבות רבה בתיאוריה הזאת וגרותנדיק אף אמר כי "לא צריך ללמוד סכמות, צריך ללמוד מורפיזמים".

דוגמאות
  היא דוגמה חשובה ובסיסית של סכמה. ניתן לראות ב תורת המספרים האלגברית מחקר של סכמה זאת וסכמות סופיות מעליה (זאת אמרת סכמות יחד עם העתקה סופית לסכמה זאת).
 יהי  שדה. פולינום  מגדיר תת-סכמה סגורה במרחב האפיני  על ידי . סכמה כזאת נקראת היפר משטח. לדוגמה, הפולינום  מגדיר עקומה סינגולרית ב-.
 לכל חוג  אפשר לבנות את המרחב הפרויקטיבי ה-n ממדי מעל  על ידי "הדבקת" n+1 עותקים של המרחב  לאורך הקבוצות הפתוחות.
 ממוזער|220x220 פיקסלים|יריעה לא פרידה המתקבלת מהדבקה של שני ישרים לאורך המשלים לראשית. יש להדביק לפי החצים הכחולים אך לא להדביק את הראשית (המסומנת בצלב אדום)הישר עם "שני" אפסים, ניקח שני עותקים של הישר האפיני (מעל שדה  כלשהו) ונזהה את הנקודות בקבוצה הפתוחה  עם עצמן על ידי הזהות, פורמלית:  כאשר היחס שקילות הוא זה שתיארנו. זוהי דוגמה לסכמה לא פרידה, ובפרט לא אפינית.
 פולינום הומוגני  ממעלה חיובית מגדיר תת-סכמה סגורה במרחב הפרויקטיבי  על ידי , שנקראת היפר-משטח פרויקטיבי. פורמלית, תת-הסכמה היא . לדוגמה, תת-הסכמה המוגדרת על ידי  ב- זה עקום אליפטי מעל הרציונלים.
 תת-קבוצה פתוחה של סכמה אפינית נקראת קוואזי-אפינית, והיא אינה בהכרח אפינית. לדוגמה,  מעל המרוכבים; במקרה זה,  המרחב  לא אפיני עבור  (עבור  נקבל את הציר בלי הראשית וזה איזומורפי ל- ובפרט אפיני). כדי להראות שהמרחב לא אפיני עבור , צריך להראות שכל פונקציה רגולרית על המרחב ניתנת להרחבה באופן יחיד לכל המרחב האפיני (הטענה דומה ללמה של הארטוגס מאנליזה מרוכבת אך קלה יותר להוכחה). ההכלה  משרה הומומורפיזם של חוגים . מכיוון שכל פונקציה רגולרית על  ניתנת להרחבה על כל המרחב האפיני אז  הוא איזומורפיזם. אם  הייתה סכמה אפינית אז  היה איזומורפיזם של סכמות אך הוא לא על ולכן לא איזומורפיזם.
סכמה פרויקטיבית אינה אפינית (אלא אם כן היא סופית).

 ראו גם 
 גאומטריה אלגברית
 יריעה אלגברית
 מורפיזמים מופרדים ונאותים

 לקריאה נוספת 


קישורים חיצוניים


 טקסט של דוד ממפורד שמסביר את מושג הסכמה לקהל רחב.

 הערות שוליים 

קטגוריה:גאומטריה אלגברית