תרבוע גאוסיאני

באנליזה נומרית, כלל תרבוע הוא שיטת קירוב של האינטגרל המסוים של פונקציה, שבדרך כלל מנוסח כסכום משוקלל של ערכים של הפונקציה בנקודות מסוימות בתוך תחום האינטגרציה. כלל תרבוע גאוסיאני בעל n נקודות הוא כלל תרבוע שנבנה במיוחד לצורך חישוב תוצאה מדויקת לאינטגרל של פולינומים ממעלה  או פחות באמצעות בחירה מתאימה של הצמתים xi והמשקלים wi בעבור i= 1, ..., n. תחום האינטגרציה השכיח ביותר של פונקציות הוא הקטע [1,1-], כך שהכלל מנוסח למקרים אלו כך:

והוא מדויק רק לפולינומים ממעלה  ומטה. כלל זה ידוע בשם תרבוע גאוס–לז'נדר. תרבוע גאוסיאני היא שיטה טובה יותר לעומת שיטת האינטרפולציה של ניוטון-קוטס, משום היא מדויקת לפולינומים ממעלה גבוהה יותר עבור אותו מספר נקודות, וגם מפני שהיא נמנעת מתופעת רונגה. היא הוצגה לראשונה על ידי קרל פרידריך גאוס במאמר מ־1814.

ניתן להראות שצמתי התרבוע xi הם שורשים של פולינום המשתייך לסדרה של פולינומים אורתוגונליים (אורתוגונליים ביחס למכפלה פנימית מסוימת). זו אבחנה קריטית לחישוב נקודות הצומת והמשקלים של תרבוע גאוסיאני של פונקציה. 

המקרה הכללי מנוסח באופן הבא: יהי אינטגרל מהצורה  ( פונקציית משקל), אזי קיימות נקודות  ומשקלים  שעבורם כלל הסכימה  מקיים , כאשר הקירוב הוא מסדר דיוק אלגברי של  (כלומר  לכל  פולינום המקיים ). גאוס הוכיח גם שלא קיים כלל סכימה (תרבוע) בעל דיוק אלגברי גדול יותר, ושקיים רק כלל תרבוע יחיד בעל דיוק אלגברי של .

קישורים חיצוניים


קטגוריה:אנליזה נומרית
קטגוריה:קרל פרידריך גאוס