עץ סוסלין

בתורת הקבוצות, עץ סוסלין הוא עץ מגובה ω1, כך שכל ענף וכל אנטי-שרשרת הם לכל היותר בני מנייה.

העניין העיקרי בעצי סוסלין הוא זיהוי מתי הם קיימים, וזאת כיוון שקיומו של עץ סוסלין אינו תלוי באקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות, אקסיומות צרמלו-פרנקל.

עצים אלו נקראים על שמו של המתמטיקאי הרוסי מיכאיל סוסלין  (1894–1919).

כל עץ סוסלין הוא עץ אהרונשיין.

הגדרות
עץ (במובן תורת הקבוצות) הוא קבוצה סדורה חלקית, כך שלכל איבר, קבוצת האיברים שקטנה ממנו סדורה בסדר מלא וטוב.

גובה של איבר הוא טיפוס הסדר של האיברים שקטנים ממנו. הגובה של העץ הוא הסופרמום של הגבהים של האיברים שלו.

ענף או שרשרת היא תת-קבוצה של העץ שסדורה בסדר מלא. אנטי שרשרת היא תת-קבוצה שכל שני איברים בה אינם ביחס.

אז עבור מונה k, עץ k-סוסלין הוא עץ מגובה k, שכל שרשרת בו וכל אנטי שרשרת בו הם מעוצמה קטנה ממש מ-k. עץ ω1-סוסלין נקרא "עץ סוסלין".

קיום עץ סוסלין
לכל k סינגולרי יש עץ k-סוסלין. זאת כיוון שיש סדרה עולה של פחות מ-k מונים שסכומם הוא k, ואפשר לקחת איחוד זר של המונים הללו; זהו עץ k-סוסלין.

לא קיים עץ ω-סוסלין.

עבור k=ω1, קיום עץ סוסלין שקול לקיום ישר סוסלין.

אקסיומת יהלום גוררת קיום של עץ סוסלין. לעומת זאת, אקסיומת מרטין גוררת אי-קיום של עץ סוסלין.

אקסיומת הבנייה גוררת קיום של עץ k-סוסלין לכל מונה עוקב k. קיום עץ סוסלין בלתי תלוי גם בהשערת הרצף המוכללת, אך לא ידוע אם היא גוררת את קיומו של עץ ω2-סוסלין (או של כל מונה רגולרי שאיננו קומפקטי-חלש).

קטגוריה:תורת הקבוצות