קטע אמצעים

קטע אמצעים (midsegment) במשולש הוא קו המחבר את נקודות האמצע של שתי צלעות. קטע האמצעים מקביל בהכרח לצלע השלישית ושווה למחציתה. אותה הגדרה חלה גם בטרפז, בו קטע האמצעים מחבר את אמצעי השוקיים, והוא מקביל לשני הבסיסים, אך כאן שווה למחצית סכום בסיסי הטרפז.

 קטע האמצעים במשולש 
250px|שמאל|קטע אמצעים במשולש
יהי ABC△ משולש. קטע המחבר נקודות על הצלעות AB ו-AC הוא קטע אמצעים אם הוא מקיים שתיים מבין שלוש התכונות הבאות, הגוררות יחד את השלישית:
 הקטע עובר באמצע הצלע AB,
 הקטע עובר באמצע הצלע AC,
 הקטע מקביל לצלע השלישית BC.

העובדה שקטע המחבר את אמצעי שתי צלעות הוא מקביל לצלע השלישית נובעת מדמיון משולשים (בשרטוט משמאל, המשולשים ABC ו-ADE דומים משום שהזווית BAC משותפת, והיחסים AD:AB ו-AE:AC שווים ל-2 לפי ההנחה ולכן זה לזה; מכאן שהזוויות ABC ו-ADE שוות, ולכן הישרים BC ו-DE מקבילים). גם להפך, קטע העובר באמצעה של הצלע AB ומקביל ל-BC מוכרח לפגוש את AC באמצעה, משום שהקטע המחבר את אמצעה של AB לאמצעה של AC מקביל ל-BC, ואם כך מתלכד עם הקטע הנתון.

 קטע האמצעים בטרפז 
270px|שמאל|קטע אמצעים בטרפז
קטע האמצעים בטרפז ABCD, שבסיסיו AB ו-CD, מוגדר באותו אופן. הוא מקיים שתיים מהתכונות הבאות, הגוררות יחד את השלישית:
 הקטע עובר באמצע השוק BC,
 הקטע עובר באמצע השוק AD, 
 הקטע מקביל לבסיסים AB ו-CD.

במקרה של הטרפז המנוון, שבו C=D, מתקבל קטע האמצעים במשולש. הוכחת התכונות של קטע האמצעים בטרפז דומה, ונעשית על ידי השלמת הטרפז למשולש ABE, כאשר E הוא מפגש השוקיים BC ו-AD.

 הערות שוליים 

קטגוריה:משפטים בגאומטריה