קוואזי-חבורה

באלגברה מופשטת, קוואזי-חבורה (מאנגלית: Quasigroup)  או כמו-חבורה היא מבנה אלגברי בעל פעולה בינארית אחת, שבו פעולות הכפל באיבר מימין ומשמאל הן הפיכות. לוח הכפל של קוואזי-חבורה הוא ריבוע לטיני, וכל ריבוע לטיני הוא לוח הכפל של קוואזי-חבורה. קוואזי-חבורה עם יחידה נקראת לולאה. כל קוואזי-חבורה אסוציאטיבית היא חבורה.

כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללולאה. אם לולאה איזוטופית לחבורה אז היא איזומורפית אליה.

הגדרה
קבוצה  עם פעולה בינארית  נקראת קוואזי-חבורה אם לכל  קיימים פתרונות יחידים למשוואות . פתרונות אלו מסומנים כ-.

בכל קוואזי-חבורה מתקיימות אם כן הזהויות הבאות: . מנגד, זהויות אלו מאפשרות להגדיר קוואזי-חבורה: קבוצה  עם שלוש פעולות בינאריות  אשר איבריה מקיימים את הזהויות לעיל היא קוואזי-חבורה.

דרך נוספת להגדיר קוואזי-חבורה היא בעזרת ריבועים לטיניים: זהו ריבוע בגודל  בו מסודרים  איברים בשורות ובעמודות, כך שכל איבר מופיע פעם אחת בדיוק בכל שורה ועמודה. קל לראות שכל ריבוע כזה מהווה לוח כפל של קוואזי-חבורה, ושלוח הכפל של כל קוואזי-חבורה הוא ריבוע לטיני (כאשר משמיטים את עמודות האיברים המוכפלים).

קוואזי-חבורה עם איבר יחידה, היינו איבר  המקיים , נקראת לולאה.

איזוטופיה
שתי קוואזי-חבורות  הן איזוטופיות זו לזו אם קיימות שלוש העתקות הפיכות  כך ש- (הכפל בקוואזי-חבורות  ו- בהתאמה). ברמת הריבועים הלטיניים, איזוטופיה פירושה התמרת שורות ועמודות הריבוע. במקרה , ההעתקות כלעיל נקראות אוטוטופיה; קבוצת האוטוטופיות של קוואזי-חבורה נתונה היא חבורה ביחס לפעולת ההרכבה.

כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללולאה: מתקיים , כאשר  היא הלולאה הנבנית מבחירת שני איברים  והגדרת הפעולה  על אותה הקבוצה , כך שמתקיים . האיזוטופיה נתונה אם כן על ידי .

מונח האיזוטופיה מאבד משמעות כאשר מדובר בחבורה - שתי חבורות איזוטופיות הן גם איזומורפיות, לפי משפט שהוכיח אלברט. ביתר כלליות, אם לולאה איזוטופית לחבורה, היא גם איזומורפית אליה.

דוגמאות
 קבוצת המספרים השלמים עם פעולת החיסור היא קוואזי-חבורה.
 קבוצת הרציונליים וקבוצת הממשיים השונים מאפס עם פעולת החילוק הן קוואזי-חבורות.
 קבוצת האוקטוניונים השונים מאפס יחד עם פעולת הכפל היא לולאה. האוקטוניונים מהווים לולאת מופן.
 קבוצת האיברים ההפיכים בכל אלגברה לא אסוציאטיבית מהווים קוואזי-חבורה. אם לאלגברה יש יחידה, קוואזי-חבורה זו הנה גם לולאה.

ראו גם
 מאגמה
 חבורה למחצה
 חבורה

לקריאה נוספת
 Bruck, R.H. (1971). A Survey of Binary Systems.

קישורים חיצוניים


הערות שוליים

קטגוריה:אלגברה לא אסוציאטיבית
קטגוריה:קוואזי-חבורות ולולאות