מרחב n-קשיר

בטופולוגיה, n-קשירות (n-connectedness) היא תכונה טופולוגי של מרחב טופולוגי או של הומומורפיזם טופולוגי, המכלילה קשירות מסילתית ופשיטות קשר. תכונה זו מוגדרת על ידי התאפסות  חבורות ההומוטופיה הראשונות של המרחב, ובמקרה של הומומורפיזם – על ידי התאפסות חבורות ההומוטופיה של סיב ההומוטופיה המתאים להעתקה.

מרחב קשיר מסילתית הוא מרחב 0-קשיר, בעוד שמרחב פשוט קשר הוא מרחב 1-קשיר. על כן, מונח זה מהווה הכללה למונחים המדוברים. שימוש נפוץ במיוחד ב-n-קשירות הוא במשפט הורוויץ, המייצר איזומורפיזם בין חבורות ההומוטופיה לחבורות ההומולוגיה מסוימות של מרחבים n-קשירים.

מרחב n-קשיר
מרחב טופולוגי  נקרא n-קשיר (עבור ), אם הוא לא ריק, קשיר מסילתית וכל חבורות ההומוטופיה שלו עד  מתאפסות:

יש לשים לב כי במקרה הכללי של חבורות ההומוטופיה עבור , יש משמעות לבחירת נקודת הבסיס. עם זאת, למרחב פשוט קשר (עבורו ) בחירת נקודת הבסיס אינה משנה – שתי חבורות עם נקודות בסיסי שונות שוות (ולא רק איזומורפיות). על כן, להגדרה לעיל אכן יש משמעות.

היות שהקבוצה  נמצאת בהתאמה לרכיב הקשירות המסילתית של המרחב, הדרישה שהמרחב יהיה קשיר מסילתית שקולה לכך ש- טריוויאלי. על כן, מרחב לא ריק  הוא n-קשיר אם ורק אם  לכל .

העתקה n-קשירה
העתקה רציפה בין מרחבים טופולוגיים  נקראת n-קשירה, אם סיב ההומוטופיה המתאים להעתקה  הוא מרחב טופולוגי (n-1)-קשיר. באופן שקול, הפונקציה היא n-קשירה אם ורק אם הפונקציה המושרית  מהווה איזומורפיזם עבור , ומהווה העתקה על עבור .

השקילות בין ההגדרות נובעת מסדרה מדויקת הקושרת בין חבורות ההומוטופיה של סיב ההומטופיה ושל המרחבים:

ראו גם
 סיב ההומוטופיה

קטגוריה:תורת ההומוטופיה
קטגוריה:קשירות