אלגוריתם QR

באנליזה נומרית, אלגוריתם QR הוא אלגוריתם למציאת ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצה. סיבוכיות האלגוריתם עבור מטריצה בגודל  היא . קיים אנלוג לאלגוריתם עבור פירוק לערכים סינגולאריים.

האלגוריתם פותח באופן עצמאי בסוף שנות החמישים על ידי מדען המחשב הבריטי ג'ון פרנסיס ועל ידי המתמטיקאית הרוסיה ורה קובלנובסקיה.J.G.F. Francis, "The QR Transformation, I", The Computer Journal, 4(3), pages 265–271 (1961, received October 1959). doi:10.1093/comjnl/4.3.265Vera N. Kublanovskaya, "On some algorithms for the solution of the complete eigenvalue problem," USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 1, no. 3, pages 637–657 (1963, received Feb 1961). Also published in: Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki, vol.1, no. 4, pages 555–570 (1961). doi:10.1016/0041-5553(63)90168-X

האלגוריתם
תהא מטריצה A שעבורה רוצים לחשב את הערכים העצמיים, ונגדיר A0:=A. בצעד ה-k (כאשר k מתחיל מ-0) מחשבים פירוק QR של Ak=QkRk כאשר Qk היא מטריצה אורתוגונלית (כלומר QT = Q−1) ו-Rk היא מטריצה משולשת עליונה. אחר כך מגדירים Ak+1 = RkQk. נשיב לב כי:

לכן כל המטריצות Ak הן מטריצות דומות ויש להן ערכים עצמיים דומים. אלגוריתם QR יציב נומרית הודות להתבססות על התמרות אורתוגונליות דומות.

היסטוריה
לאלגוריתם QR קדם אלגוריתם LR שהתבסס על פירוק LU ולא על פירוק QR. פירוק QR הוא יותר יציב ולכן אלגוריתם LR כמעט ואינו נמצא בשימוש כיום.

לקריאה נוספת
 Trefethen, Lloyd N., and David Bau III. Numerical linear algebra. Vol. 50. Siam, 1997.

הערות שוליים

קטגוריה:אלגברה ליניארית
קטגוריה:אלגוריתמים
קטגוריה:אנליזה נומרית