תורת ההצגות המודולרית

תורת ההצגות המודולרית היא תחום באלגברה מופשטת, בו נחקרות הצגות של חבורות סופיות מעל שדות בעלי מאפיין חיובי. זהו תת-תחום של תורת ההצגות, בה נחקרות הצגות כלליות של חבורות סופיות. מקרה מעניין במיוחד בתורה זו הוא המקרה בו מאפיין השדה מחלק את גודל החבורה, בו משפט משקה לא תקף ולאלגברת החבורה יש רדיקל לא טריוויאלי.

בעוד שמדובר בנושא שעומד בפני עצמו, תחום זה גם קשור למספר תחומים בולטים נוספים במתמטיקה, בהם קומבינטוריקה, תורת המספרים וגאומטריה אלגברית. יתרה מכך, למידת תורת ההצגות המודולרית תורמת בתורה לתחומים הנ"ל. למחקר התחום עצמו תרמו מספר מתמטיקאים לאורך המאה ה-20, הבולטים בהם הם לאונרד יוג'ין דיקסון וריכרד בראואר. עבודתו של בראוור בתחום תרמה רבות לפיתוח הכלים שהובילו למשפט המיון לחבורות פשוטות סופיות.

כאמור לעיל, המקרה המעניין בתורה זו הוא המקרה בו מאפיין השדה לא זר לגודל החבורה. במקרה זה משפט משקה לא תקף; במקומו, חוקרים את המבנה של אלגברת החבורה בעזרת חלוקתה לבלוקים, שהם אוסף מקסימלי של אידיאלים דו-צדדיים שסכומם הישר שווה לאלגברה. חישוב הבלוקים נעשה בעזרת פירוק איבר היחידה לסכום של אידמפוטנטים של מרכז האלגברה. בלוקים אלו קשורים גם למודולים האי-פריקים של אלגברת החבורה, אשר בדרך כלל לא יהיו פרויקטיביים.

"השערת גובה אפס" של בראוור, שלפיה בחבורה לא אבלית תמיד יש הצגה אי-פריקה עם גורמי-p שאינם מוסברים על ידי חבורות הדפקט, הוכחה ב-2024 .

ראו גם
 תורת ההצגות
 החבורה הסימטרית#תורת ההצגות

לקריאה נוספת
 Jean-Pierre Serre, Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag (1977).

*