פריסה (גאומטריה)

בגאומטריה, פריסה (או פרישׂה) של משטח תלת־ממדי, היא צורה גאומטרית דו-ממדית שעל ידי קיפולה, או עיקומה, ניתן ליצור את המשטח. משטח שיש לו פריסה, נקרא משטח פריס (developable). באופן גס, ניתן לסווג משטחים פריסים לשלושה סוגים: משטחי פאות, הבנויים מפאות מישוריות המחוברות זו לזו במקצועות, משטחים שפני השטח שלהם עקומים, ומשטחים שהם שילוב של משטחים עקומים ומשטחים מישוריים. אפשר להבדיל גם בין משטחים סגורים, הכולאים בתוכם גוף תלת-ממדי, ובין משטחים פתוחים. השימוש העיקרי בפריסות הוא ביצירת דגמים או מוצרים תלת-ממדיים, מחומרי גלם שטוחים. פריסה יכולה לשמש כעזר או הדגמה לחישוב שטח הפנים של גופים.

פריסה של משטח פאות
250px|ממוזער|שמאל|פריסה של משטח פתוח, דמוי קערה בעלת פתח משושה.
בגאומטריה, ההתייחסות לפריסה של משטחי פאות, היא, בדרך כלל, בהקשר של פאונים, שהם משטחי פאות סגורים. בשימושים טכנולוגיים, נפוצים מקרים של משטחי פאות, שהם לאו דווקא סגורים. 
צורת הפריסה של משטח פאות היא של מצולע הבנוי מחיבור כלל מצולעי פאות המשטח. על גבי הפריסה מוצגים קווי הקיפול, שהם הצלעות המשותפות לכל שתי פאות סמוכות. בפריסה כזו מתקיימים הדברים הבאים:
1. כל שתי פאות שהן שכנות זו לזו בפריסה, הן גם שכנות במשטח עצמו. 2. לכל שתי פאות שכנות יש צלע משותפת. 3. בכל קודקוד של הפריסה, סכום כל זוויות הפאות הנוגעות בו, קטן משלוש מאות וששים מעלות. 
פריסה של פאון מתקבלת, בדרך כלל, על ידי חיתוך מספר מקצועות, באופן שמאפשר הפרדה בין פאות סמוכות, פתיחת המעטפת והשטחתה על פני משטח מישורי. באופן הזה, פאות הפאון נשמרות, ומקצועות הפאון מוצגים על פני הפריסה כקווי קיפול. מספר המקצועות, שלאורכן יש לבצע חיתוך, תלוי במספר פאות הפאון. במקרה של קובייה, למשל, יש לבצע חיתוך לאורך שבעה, מתוך שנים עשר המקצועות שלה. במקרה של ארבעון, לעומת זאת, די בשלושה חיתוכים בלבד. בחירת המקצועות שלאורכם יתבצע החיתוך, קובעת את צורת הפריסה. הפאון שלו מספר הפריסות הקטן ביותר הוא הארבעון, שלו שתי פריסות בלבד. הארבעון הוא גם הפאון היחיד שפריסותיו הן קמורות. קיימים מקרים בהם ניתן ליצור מפריסה אחת יותר מפאון אחד.

בעיה מתמטית בלתי פתורה: האם לכל פאון קמור קיימת פריסה אחת לפחות?

פריסות של פאונים מוכרים
250px|ממוזער|שמאל|שתי הפריסות של ארבעון משוכלל.
250px|ממוזער|ימין|אחת עשרה הפריסות של קובייה.
250px|ממוזער|מרכז|שש הפריסות של תמניון משוכלל.

פריסה של משטח עקום
לא לכל משטח עקום קיימת פריסה. רק למשטחים שהם חלק ממשטח ישרים קיימת פריסה. דוגמאות למשטחים כאלה הם הגליל הפתוח (ללא הבסיסים), והחרוט הפתוח (ללא הבסיס). עם זאת, לא לכל משטח ישרים קיימת פריסה (למשל, ההיפרבולואיד וההליקואיד). משטחים שעקמומיות גאוס שלהם שונה מאפס, כמו הכדור, או הטורוס, הם משטחים שאין להם פריסה. 
קיימים מספר הבדלים בין פריסה של משטח פאות לבין פריסה של משטח עקום: 1. בעוד שיצירת משטח-פאות מפריסתו נעשית על ידי קיפול הפריסה לאורך קווי הקיפול בלבד, במשטח עקום, יצירת המשטח נעשית על ידי עוות הפריסה בכל נקודה ונקודה על פניה. מסיבה זו, פריסה של משטח עקום אינה כוללת סימון של קווי קיפול. 2. צורת הפריסה של משטח עקום אינה בהכרח מצולע, והחיבור בין חלקים סמוכים של הפריסה יכול להיות נקודתי. 3. בעוד שיצירת פריסה של משטח פאות היא פשוטה וישירה, כיון שצורת הפאות אינה משתנה, במקרה של משטח עקום, יצירת הפריסה מבוססת בדרך כלל על חישוב מתמטי.

גופים שפני השטח שלהם כוללים משטחים עקומים
ניתן לסווג את הגופים שאינם פאונים, ושפני השטח שלהם פריסים, לשלוש קבוצות: 1. פני השטח בנויים משילוב של משטח, או משטחים, עקומים, ומשטח, או משטחים, מישוריים. דוגמאות: הגליל והחרוט 2. גופים שפני השטח שלהם בנויים ממספר משטחים עקומים. לדוגמה: דו-חרוט (Bi-cone) 3. גופים שפני השטח שלהם בנויים ממשטח חלק יחיד. לדוגמה: הספריקון (sphericon) והאולואיד (oloid).

גליל ישר וגליל נטוי - 
פריסה של גליל מעגלי ישר בנויה ממלבן, ושני עיגולים חופפים הצמודים לשניים מהניצבים הנגדיים שלו. המלבן הוא צורת מעטפת הגליל, לאחר ששוטחה, והעיגולים הם למעשה בסיסי הגליל השומרים על צורתם. אורך כל אחד מהניצבים הצמודים לעיגולים שווה באורכו להיקף העיגול הצמוד אליו, ואורך שני הניצבים הנותרים שווה לגובה הגליל. בגליל מעגלי נטוי, צורת הבסיסים היא של אליפסה, שצירה הקצר שווה באורכו לקוטר הגליל, וצירה הארוך נמצא ביחס הפוך לקוסינוס זווית הנטייה שלו. 
250px|ממוזער|ימין|פריסה של גליל מעגלי ישר בעל רדיוס r וגובה h.
250px|ממוזער|מרכז| פריסה של גליל מעגלי נטוי.

חרוט ודו-חרוט - פריסה של חרוט בנויה מגזרת מעגל ומעיגול הצמוד אליה. גזרת המעגל היא מעטפת החרוט לאחר ששוטחה, והעיגול הוא בסיס החרוט המשמר את צורתו. רדיוס גזרת המעגל שווה לאורך הקו היוצר של החרוט, ואורך הקשת שלה שווה להיקף עיגול הבסיס. זווית הגזרה, ברדיאנים, שווה ליחס בין היקף מעגל הבסיס, לאורך הקו היוצר. 
פריסה של דו-חרוט בנויה משתי גזרות מעגל צמודות זו לזו. כל אחת מגזרות המעגל היא צורת מעטפת אחד החרוטים לאחר ששוטחה. 
250px|ממוזער|ימין|פריסה של חרוט מעגלי ישר בעל רדיוס r וגובה h.
250px|ממוזער|מרכז| פריסה של דו-חרוט.

ספריקון - פריסה של ספריקון בנויה ממשטח יחיד. זוהי למעשה צורה זהה לצורת העיקבה שהספריקון מותיר בשעה שהוא מתגלגל על משטח ישר.

250px|ממוזער|מרכז| פריסה של ספריקון.

פריסה של פוליטופ
פוליטופ (polytope) הוא הכללה של פאון בממד מסדר כלשהו. בממד הרביעי פאונים מתפקדים כמו שצלעות מתפקדות בממד השלישי. מכאן שהפריסה של פוליטופ בממד הרביעי היא, למעשה, גוף הבנוי מפאונים, דהיינו, גוף תלת-ממדי.

150px|ממוזער|ימין|פריסה של טסרקט.
150px|ממוזער|מרכז|פריסה של טסרקט קטום.

שימושים טכנולוגיים
השימוש בפריסות רווח מאוד בתחום האריזות למיניהן. חומרי הגלם המקובלים בטכנולוגיה זו הם גיליונות נייר או קרטון, ויריעות מחומרים פלסטיים. צורת הפריסה נחתכת על ידי מבלט, אשר גם מדגיש את קווי הקיפול. המוצר הסופי מתקבל על ידי קיפול הפריסה בדרך מסוימת. יתרונות טכנולוגיה זו הם: פשטות, עלויות נמוכות, וחסכון בנפח אחסון. תחום נוסף בו רווח שימוש בפריסות הוא תחום הזווד האלקטרוני. חומרי הגלם המקובלים בטכנולוגיה זו הם לוחות אלומיניום או פלדה. צורת הפריסה נוצרת בדרך כלל על ידי חיתוך לייזר או בעיבוד שבבי, וכיפוף הפריסה למארז הסופי נעשה על ידי מכונות כיפוף מיוחדות. טכנולוגיה זו חוסכת את השימוש ב וריתוכים, וכן שימוש בברגים או במסמרות. גם בתחום הביגוד והאופנה נעשה שימוש נרחב בגזרות, שהן למעשה פריסות שעשויות מבד.

קישורים חיצוניים


קטגוריה:גאומטריה
קטגוריה:טכנולוגיה