השערת קטלן

השערת קטלן או משפט מיהילסקו הייתה השערה בתורת המספרים, שנקראת על שם המתמטיקאי אז'ן שרל קטלן (על אף שהועלתה שנים רבות לפני לידתו) ונותרה כבעיה פתוחה עד שהוכחה על ידי פרדה מיהילסקו בשנת 2002.  

ההשערה טוענת שאין זוג מספרים עוקבים (חוץ מ-8 ו-9) ששניהם חזקות בהן המעריך גדול או שווה 2. 

ההשערה הוכחה חלקית בשלבים במשך מאות שנים, כשאת השלב הראשון הוכיח המתמטיקאי היהודי הרלב"ג. הוא הוכיח שזהו זוג החזקות היחידות העוקבות שבבסיסן 2 ו-3. ההשערה הייתה בעיה פתוחה בתורת המספרים במשך שנים רבות, עד שהוכחה סופית על ידי המתמטיקאי הרומני פרדה מיהילסקו  בשנת 2002.

הכללה
משערים שלכל מספר טבעי N, יש רק מספר סופי של זוג חזקות שלמות שהרווח ביניהם הוא N.
ל N=1, יש רק פתרון 1 (החזקה הקטנה יותר היא 8) וזוהי השערת קטלן.
דוגמאות לN-ים גדולים יותר: ל: N=2 יש רק פתרון אחד: 25. (כי 5 בריבוע + 2 = 3 בשלישית). ל: N=3  יש 2 פתרונות: 1, 125. ל: N=4  יש 3 פתרונות 4,32,121. מוכרים N-ים שלא מוכר עבורם שום פתרון או הוכח שלא קיים (כמו N=6, N=42).

לקריאה נוספת
 "תורת המספרים האלמנטרית", הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 2003

קישורים חיצוניים


קטגוריה:תורת המספרים