פונקציית הניקוד

בסטטיסטיקה, פונקציית הניקוד () של פרמטר  היא הגרדיאנט של לוג פונקציית הנראות  בכיוון של הפרמטר. הפונקציה מציינת עד כמה רגישה פונקציית הנראות לשינויים ב-.

פונקציית הנראות ממלאת תפקיד חשוב במספר היבטים של הסקה סטטיסטית, כגון:
 מציאת סטטיסטי מבחן  בעל עוצמה מקסימלית מקומית
 הערכת גודל השגיאה של אומד נראות מקסימלית
 מציאת רווחי סמך
 הוכחה של חסם קרמר–ראו

פונקציית הניקוד ממלאת גם תפקיד חשוב בסטטיסטיקה חישובית , שכן היא יכולה לקחת חלק בחישוב של אומדי נראות מקסימלית.

 הגדרה 
הערך של פונקציית הניקוד (או בקיצור: "הניקוד") הוא הגרדיאנט (וקטור של נגזרות חלקיות), בהתייחס לפרמטר מסוים , של הלוגריתם (בדרך כלל הלוגריתם הטבעי) של פונקציית הנראות. אם התצפית היא  והנראות שלה היא , אז הניקוד  ניתן לחישוב לפי כלל השרשרת באופן הבא:

לכן הניקוד  מציין את הרגישות של  (הנגזרת כשהיא מנורמלת על ידי ערך הפונקציה).  היא פונקציה גם של התצפית  אך גם של הפרמטר , לכן זהו לא סטטיסטי. אף על פי כן ניתן להשתמש בו ביישומים מסוימים, על ידי חישוב ערך הפונקציה עבור ערך  ספציפי (כמו ערך ה- של השערת האפס, או אומד הנראות המקסימלית של ), והתוצאות של חישובים אלו הן סטטיסטים.

 תכונות 
 תוחלת 
תחת תנאי רגולריות מסוימים, התוחלת של פונקציית הניקוד  בהתייחס לתצפית , בהינתן הפרמטר האמיתי , כלומר , שווה ל-0. על מנת לראות זאת נכתוב מחדש את פונקציית הנראות  כפונקציית צפיפות: , ואז:

אם תנאי גזירות מסוימים מתקיימים, אינטגרל זה שווה:

מכיוון שהתוחלת של פונקציית הניקוד היא 0 כאמור לעיל, אם נדגום פעם אחר פעם מהתפלגות מסוימת, ובכל פעם נחשב את הניקוד, אז ממוצע ערכי הניקוד ישאף ל-0 כשמספר הדגימות ישאף לאינסוף.

 שונות 

השונות של פונקציית הניקוד ידועה בשם האינפורמציה של פישר, ומסומנת . מכיוון שהתוחלת של פונקציית הניקוד היא 0, ניתן לנסח את השונות בצורה הבאה:

האינפורמציה של פישר כפי שהוגדרה לעיל, איננה פונקציה של תצפית מסוימת, אלא רק של הפרמטר , שכן המשתנה המקרי  מתקזז בנוסחה. מושג זה של אינפורמציה שימושי כשמבצעים השוואה בין שתי שיטות תצפית מתהליך סטוכסטי כלשהו.

קישורים חיצוניים


קטגוריה:סטטיסטיקה