זרימת פאנו

זרימת פאנו היא זרימה אדיאבטית (ראו תהליך אדיאבטי) דרך תעלה בעלת שטח קבוע עם התייחסות להשפעת החיכוך וללא התייחסות להשפעת הצמיגות. לעיתים קרובות השפעת הדחיסות תילקח בחשבון, אף על פי שמודל זרימת הפאנו בהחלט תקף גם לזרימה בלתי דחיסה. לצורך מודל זה מניחים כי שטח התעלה נשאר קבוע, הזרימה תמידית וחד־ממדית, ואין מסה שמתווספת לאורך התעלה. מודל זרימת הפאנו נחשב לתהליך בלתי הפיך עקב אפקט הוויסקוזיות (צמיגות). החיכוך הוויסקוזי (צמיגי) גורם לתכונות הזרימה להשתנות לאורך התעלה. השפעת החיכוך ממודלת ככוח גזירה אחיד על דפנות התעלה, על מנת להגדיר את מקדם החיכוך כיחס בין מאמץ הגזירה ללחץ הדינמי של הזרימה. עבור זרימה עם מספר מאך גדול מ-1 בתעלה ארוכה דיה, מתרחשת האטה והזרימה עלולה להיחנק (עלולה להתבצע תופעת החניקה). מאידך, עבור זרימה עם מספר מאך קטן מ-1, תתרחש ההאצה והזרימה עלולה להיחנק בתעלה ארוכה דיה. ניתן להראות שעבור זרימה של גז מושלם קלורית, האנטרופיה המקסימלית מתקבלת כאשר מספר מאך שווה ל-1. זרימת פאנו קרויה על שם ג'ינו ג'ירולאמו פאנו .

תיאוריה
ממוזער|367x367px|איור 1: שרטוט עקומת פאנו במישור חסר ממד, צירים H-ΔS .

את מודל זרימת פאנו מתארים באמצעות משוואה דיפרנציאלית המקשרת בין השינוי במספר מאך לשינוי באורך התעלה . מקדמים נוספים במשוואה הדיפרנציאלית הם יחס קיבולי החום γ, מקדם החיכוך של פאנינג f , והקוטר ההידראולי Dh:

בהנחה שמקדם החיכוך של פאנינג קבוע לאורך כל קירות התעלה, ניתן לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית ביתר קלות. עם זאת, חשוב לזכור שהערך של מקדם חיכוך פאנינג עלול להיות קשה לקביעה במהירויות זרימה על-קוליות והיפר-קוליות. את תוצאת היחס ניתן לראות מטה כאשר *L מסמל את אורך התעלה הדרוש לחניקת הזרימה בהנחה שמאך הזרם היפר-קולי. צידה השמאלי של המשוואה נקרא קבוע פאנו:

היחס חסר הממדים של השינוי באנטרופיה ביחס לקיבול החום בלחץ קבוע CP ניתן על ידי:

משוואה זו יכולה להירשם גם על ידי תנאים סטטיים באמצעות יחס טמפרטורת העצירה (סטגנציה ), שעבור גז מושלם קלורית שווה ליחס אנתלפיה חסר מימד H:

במשוואה זו ניתן להשתמש כדי לשרטט את קו פאנו, המייצג אוסף מצבים לתנאי זרימת פאנו על דיאגרמת H-ΔS. בדיאגרמה, קו פאנו מגיעה לאנטרופיה מרבית כאשר H = 0.833 והזרימה נחנקת.

בהתאם לחוק השני של התרמודינמיקה, אנטרופיה לעולם תתגבר עבור זרימת פאנו. משמעות עובדה זו היא שעבור זרימה תת-קולית הנכנסת לתעלה עם חיכוך מספר מאך יעלה עד לחנק הזרימה. מנגד, מספר המאך של זרימה על-קולית יקטן עד שהזרימה תיחנק. כל נקודה על קו פאנו מתאימה למספר מאך אחר, והתנועה לחניקת הזרימה מוצגת בדיאגרמה. קו פאנו מגדיר את המצבים האפשריים עבור גז כאשר קצב זרימת המסה וסכום האנתלפיה נחשבים לקבועים, אך המומנטום משתנה. לכל נקודה על קו פאנו ערך מומנטום שונה, ואת השינוי במומנטום ניתן לייחס להשפעת החיכוך.

כפי שצוין קודם לכן, השטח ויחס זרימת המסה בתעלה נחשבים לקבועים בזרימת פאנו. נוסף על כן, טמפרטורת הסטגנציה  נותרת קבועה. את יחסים אלו ניתן לראות מטה כאשר הסימן * מייצג את נקודת צוואר הבקבוק, היכן שיכולה להיווצר חניקה. תכונת הסטגנציה מיוצגת על ידי האינדקס 0:

ניתן לפתח ולפתור משוואות דיפרנציאליות כדי לתאר את יחסי תכונת זרימת פאנו בהתחשב בערכים בנקודות החניקה. היחסים עבור לחץ, צפיפות, טמפרטורה, מהירות ולחץ הסטגנציה מוצגים מטה בהתאמה. לעיתים משתמשים בטבלאות זרימת פאנו מוכנות, בהן כל הערכים מטה מחושבים עבור מספרי מאך מסוימים.
ממוזער|437x437px|איור 2: יחסי תכונות תרמו דינמיות נפוצות משורטטות כפונקציה של מספר המאך באמצעות מודל זרימת פאנו עבור אוויר (1.4=γ).|מרכז

יישומים
ממוזער|400x400px|איור 3: נחיר על קולי המוביל לתעלה בעלת שטח קבוע. התנאים ההתחלתיים מתקיימים בנקודה 1. נקודה 2 נמצאת בצוואר הנחיר, היכן ש-M=1 . נקודה 3 מציינת את המעבר מזרימה איזנטרופית לזרימת פאנו. נקודות 4 ו-5 מציגות את התנאים טרם ולאחר גל ההלם, ונקודה E היא היציאה מהתעלה.
ממוזער|397x397px|איור 4: דיאגרמת H-S מוצגת עבור התנאים המוצגים באיור 3. האנטרופיה קבועה עבור זרימה איזנטרופית, ולכן התנאים בנקודה 1 נעים בצורה אנכית מטה לנקודה 3. לאחר מכן הזרימה מתקדמת על קו פאנו עד שגל ההלם משנה את הזרימה מעל קולית לתת קולית. לאחר מכן הזרימה ממשיכה להתקדם עם קו פאנו ומגיעה כמעט לנקודת החנק טרם יציאה מהתעלה.
במודל זרימת הפאנו נעשה שימוש לעיתים קרובות בתיכון וניתוח נחירים. בנחיר מתכנס-מתבדר יש זרימה איזנטרופית עד החלק בו השטח קבוע ששם מתחילה זרימת פאנו. 

עבור תנאי זרם נתונים בנקודה 1 כפי שמוצג באיורים 3 ו-4 ניתן לבצע חישובים לקביעת מספר המאך בעת יציאה מהנחיר ואת מיקום גל הלם ניצב באזור השטח הקבוע בתעלה. נקודה 2 מתארת את צוואר הבקבוק של הנחיר, היכן שמתקיים M=1 במידה והזרימה חניקה. נקודה 3 מציינת את סוף הנחיר היכן שהזרימה הופכת מזרימה איזנטרופית לזרימת פאנו. אם הלחץ התחלתי גבוה דיו, ניתן לשמר זרימה על קולית בקטע התעלה בעל השטח הקבוע, בדומה לביצוע הנדרש ממנהרת רוח על קולית מסוג BLOWDOWN. עם זאת, איורים אלו מציגים את גל ההלם טרם עבר לאורך התעלה בשלמותו. אם גל ההלם קיים, תיאור הזרימה על קו הפאנו ישתנה מהחלק העל-קולי לחלק התת-קולי לפני שהזרימה תמשיך לעבר M=1. 

התנועה באיור 4 לעולם תהיה משמאל לימין על מנת לספק את החוק השני של התרמודינמיקה.

מודל זרימת פאנו בא לידי שימוש בצורה נרחבת גם עם מודל זרימת ריילי. שני מודלים אלו נחתכים בנקודות על עקומות האנתלפיה-אנטרופיה (H-S) ומספר מאך-אנטרופיה (M-H), עובדה משמעותית ביותר ביישומים רבים. עם זאת, ערכי האנטרופיה עבור כל מודל אינם שווים במצב הקולי. השינוי באנטרופיה הוא אפס כאשר M=1 עבור כל אחד מהמודלים, אך משמעות ההצהרה הקודמת היא שהשינוי באנטרופיה מנקודה שרירותית אל נקודה קולית שונה עבור מודלי זרימת פאנו וריילי. אם הערכים ההתחלתיים Si ו-Mi מוגדרים, ניתן להגדיר עבור כל אחד מהמודלים משוואה חדשה עבור אנטרופיה חסרת ממד לפי מספר מאך. משוואות אלו מוצגות מטה עבור זרימות פאנו וריילי בהתאמה:

נקודות החיתוך בין עקומות הזרימה מחושבות על ידי השוואה בין משוואות האנטרופיה חסרות המימד החדשות:

ניתן לראות שנקודות החיתוך מתרחשות במספר המאך ההתחלתי ובערך ההלם הפוסט-נורמלי שלו. ניתן למצוא את ערכים אלו גם בטבלאות גלי הלם נורמלים בזרימה דחיסה. זרם נתון עם שטח תעלה קבוע יכול לעבור בין מודל פאנו למודל ריילי בנקודות אלו.
ממוזער|441x441px|איור 5: גרף חיתוך עקומות פאנו וריילי עבור תנאי ההתחלה Si = 0    ו-Mi = 3.|מרכז

 ראו גם 
זרימת ריילי
זרימה דחיסה
אנתלפיה
אנטרופיה

 קישורים חיצוניים 

 Purdue University Adiabatic and Isothermal Fanno flow calculators
 University of Kentucky Fanno flow Webcalculator
 Maurice W. Downey, Gino Fanno

 הערות שוליים

קטגוריה:אווירודינמיקה
קטגוריה:הידרודינמיקה