בלבול (קומבינטוריקה)

בקומבינטוריקה, בלבול או תמורה ללא נקודות שבת (באנגלית: Derangement) הוא תמורה של איברי קבוצה, כך שאף איבר אינו מופיע במיקומו המקורי. במילים אחרות, בלבול הוא תמורה שאינה מכילה נקודות קבועות.

מספר הבלבולים של קבוצה בגודל , בדרך כלל נכתב בתור , ,  או n¡.

הראשון שהתייחס לבעיה של ספירת הבלבולים היה פייר ריימונד דה מונמור , בשנת 1708; הוא פתר אותה בשנת 1713, בערך באותו זמן שעשה זאת ניקולאס ברנולי .

השאלה האם חבורת תמורות (הנתונה על ידי קבוצת יוצרים) מכילה בלבולים כלשהם היא בעיית NP שלמה.

דוגמה
ממוזער|מתוך כל התמורות של הקבוצה {A,B,C,D} יש רק 9 בלבולים (מסומנים בכתב כחול נטוי). בשאר התמורות של הקבוצה בת 4 האיברים, לפחות תלמיד אחד מקבל את המבחן שלו בחזרה (מסומנות בכתב אדום מודגש).
נניח שמורה בוחן 4 תלמידים  ורוצה שכל תלמיד יבדוק מבחן של אחד מעמיתיו, כאשר אף תלמיד לא יבדוק את המבחן של עצמו. בכמה דרכים יכול המורה לחלק את המבחנים לתלמידיו כדי שאלה יבדקו אותם? מתוך 24 = !4 תמורות אפשריות לחלוקת המבחנים:

יש רק 9 בלבולים (מסומנים בכתב כחול נטוי). בשאר התמורות של הקבוצה בת 4 האיברים, לפחות תלמיד אחד מקבל את המבחן שלו בחזרה (מסומנות בכתב אדום מודגש).

גרסאות נוספות של הבעיה הן שליחת  מכתבים ממוענים כך שאף מכתב לא יגיע לכתובתו הנכונה, או בעיית האנשים והכובעים להלן.

ספירת בלבולים
ממוזער|300x300 פיקסלים|הגרף הכחול הוא מספר התמורות, והגרף האדום הוא מספר הבלבולים האפשריים ל- איברים. כלומר, שאף איבר לא נמצא במקומו המקורי.
 טבלת ערכים  תמורות () בלבולים ()  0 1 1 1 1 1 0 0 2 2 1 0.5 3 6 2 1/3 4 24 9 0.375 5 120 44 11/30 6 720 265 ≈ 0.3680555 7 5,040 1854 ≈ 0.367857142 8 40,320 14833 ≈ 0.367881944 9 362880 133496 ≈ 0.3678791887 10 3628800 1334961 ≈ 0.3678794643 11 39916800 14684570 ≈ 0.3678794392 12 479001600 176214841 ≈ 0.3678794413 13 6227020800 2290792932 ≈ 0.3678794412 14 87178291200 32071101049 ≈ 0.3678794412 15 1307674368000 481066515734 ≈ 0.3678794412 16 20922789888000 7697064251745 ≈ 0.3678794412 17 355687428096000 130850092279664 ≈ 0.3678794412

נתונים  אנשים ממוספרים  בעלי כובעים ממוספרים  בהתאמה. עלינו למצוא את מספר הדרכים בהן איש לא יקבל את כובעו שלו.

נניח כי  מתוך  אפשרויות. כעת יש שתי אפשרויות:
אם  אזי הבעיה מצטמצמת ל- אנשים ו- כובעים.
אם  אזי הבעיה מצטמצמת ל- אנשים ו- כובעים.
מכאן ניתן להגיע לנוסחה הבאה:

אותה נוסחת נסיגה פועלת גם עבור עצרת, עם תנאי התחלה שונים:

וזה עוזר להוכיח את הגבול עם e בהמשך.

כמו כן, הנוסחאות להלן ידועות גם כן:

כאשר  היא פונקציית הקיטום (מעגלת למספר השלם הקרוב) ו- היא פונקציית הרצפה (מעגלת למספר השלם הנמוך).

להלן נוסחה נוספת:

ראו טבלה משמאל עבור ערכי הסדרה A000166 ב־OEIS.

שיטה ידועה לספירת בלבולים משתמשת בעקרון ההכלה וההפרדה: ראשית לספור את כל התמורות, לחסר את אלה שמיקום אחד האיברים נשאר בהן קבוע ולבצע תמורות של שאר האיברים, להוסיף בחזרה את התמורות בהן שני איברים שומרים על מיקומם המקורי וכדומה.

לכן ההסתברות שתמורה אקראית תהיה בלבול היא , וזהו טור טיילור של הפונקציה  בנקודה  וערכו בגבול הוא .

תמורות עם נקודות שבת
מספר התמורות האפשריות בגודל  עם לפחות  נקודות שבת ניתן בנוסחה:

מספר התמורות האפשריות בגודל  עם  נקודות שבת ניתן בנוסחה:

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:קומבינטוריקה
קטגוריה:סדרות של שלמים