בעיית סוסלין

במתמטיקה, בעיית סוסלין היא שאלה לגבי קבוצות סדורות קווית שהועלתה על ידי מיכאיל יעקובלביץ סוסלין (1920) ופורסמה לאחר מותו, עקב מותו המפתיע בגיל 25. הבעיה התגלתה כבלתי תלויה במערכת האקסיומות של צרמלו - פרנקל, שהיא מערכת האקסיומות הסטנדרטית עבור תורת הקבוצות האקסיומטית.

 ניסוח הבעיה 
אם קבוצה סדורה קווית לא ריקה R מקיימת את ארבעת המאפיינים הבאים:
 R אינה מכילה איבר מקסימלי או איבר מינימלי;
 הסדר ב-R הוא צפוף (בין כל 2 איברים, יש איבר נוסף);
 הסדר על R הוא שלם: לכל קבוצה חסומה לא ריקה של איברים מ-R קיימים סופרמום ואינפימום;
 עוצמתה של קבוצה של קטעים פתוחים זרים ב-R היא לכל היותר אָלֶף אֶפֶס.
האם הסדר ב-R בהכרח איזומורפי לסדר בישר הממשי R?

אם הדרישה הרביעית מוחלפת בדרישה ש R מכילה קבוצה צפופה בת מנייה (כלומר, R היא ספרבילית) אז התשובה לשאלה היא אכן כן: הסדר בכל קבוצה R כזו בהכרח איזומורפי לסדר בישר הממשי (הוכח על ידי קנטור, שהראה גם שהרציונליים הם הקבוצה הסדורה היחידה שהיא בת-מניה, צפופה, ונטולת מינימום ומקסימום).

הדרישה הרביעית ברשימה למעלה ידועה כתכונת סוסלין.

 השלכות 
כל קבוצה סדורה קווית שאיננה איזומורפית לישר הממשי R אבל מקיימת את (1) – (4) ידועה כישר סוסלין. השערת סוסלין אומרת שאין ישרי סוסלין: כל סדר קווי צפוף, חסר נקודות קצה ושלם שמקיים את תכונת סוסלין הוא איזומורפי לסדר בR. טענה שקולה היא שלכל עץ מגובה ω1 קיים ענף מאורך ω1 או אנטי-שרשרת מעצמה אלף אפס.

בעיית סוסלין הוכחה כבלתי תלויה במערכת האקסיומות של צרמלו - פרנקל.

הערות שוליים

 קטגוריה:קבוצות סדורות