משפטי התכנסות מרטינגלים

בתורת ההסתברות, משפטי התכנסות מרטינגלים של ג'וזף דוּבּ הם אוסף תוצאות אודות התנהגות אסימפטוטית של סופר-מרטינגלים, ובפרט מרטינגלים.

נוסח פורמלי

יהי  מרחב הסתברות, ותהי  פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של .

יהי , כאשר
, סופר-מרטינגל ימני רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל  מתקיים .

משפט התכנסות סופר-מרטינגלים הראשון

לכל , נגדיר .

אם מתקיים כי , אז בהסתברות 1 קיים הגבול  במובן של התכנסות נקודתית.

משפט התכנסות סופר-מרטינגלים השני

הדברים הבאים שקולים:
  אינטגרבילית במידה שווה.
 קיים משתנה מקרי  בעל אינטגרל סופי, כך שמתקיים  גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.

מסקנה: משפט התכנסות מרטינגלים רציפים

יהי , כאשר , מרטינגל רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל  מתקיים .

אם קיים  שעבורו , אזי קיים משתנה מקרי  עם , כך שמתקיים  גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.

הערה: אותה התוצאה נכונה גם עבור מרטינגל בזמן בדיד.

משפט התכנסות התוחלת המותנית: חוק האפס-אחד של לוי

יהי  מרחב הסתברות, ויהי  משתנה מקרי בעל תוחלת סופית.

תהי  פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של . נגדיר .

אזי מתקיים  גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.

הסיבה לכך שתוצאה זו קרויה "חוק אפס-אחד", היא כי אם  מאורע כלשהו, אז מהמשפט נובע כי בהסתברות 1, .

תוצאה זו קובעת במילים פשוטות את העובדה הבאה: אם אנחנו אוגרים מידע אודות מאורע כלשהו שלב אחר שלב, ועוברים על כל השלבים שכולם יחד קובעים את המאורע באופן דטרמיניסטי, אזי בהסתברות 1 ניתן לדעת האם המאורע התרחש או לא.

למרות שתוצאה זו נדמית אינטואיטיבית למדי, יש לה תוצאות חשובות ולא טריוויאליות. כך למשל מתוצאה זו ניתן להסיק את חוק האפס-אחד של קולמוגורוב, שכן נובע ממנה שעבור מאורע זנב מתקיים  בהסתברות 1, ובמילים אחרות .

קטגוריה:משפטים בתורת ההסתברות
קטגוריה:תהליכים סטוכסטיים
קטגוריה:חוקי אפס-אחד