זהות קאסיני

במתמטיקה, זהות קאסיני היא הזהות:

כאשר  הוא האיבר ה-k בסדרת פיבונאצ'י.

לדוגמה 5, 8, 13 הם איברים סמוכים בסדרת פיבונאצ'י, ואכן:

הזהות נקראת על שם ג'ובאני דומניקו קאסיני שגילה אותה ב-1680.

הוכחה
ההוכחה הקצרה ביותר לנוסחה נעזרת בחוקי דטרמיננטות:

קל להוכיח באינדוקציה שמתקיים:

ולכן:

הכללות
אז'ן שרל קטלן הוכיח ב-1879 את זהות קטלן:

זהות קאסיני מתקבלת ממנה על ידי ההצבה .

סטפן ויידה (Steven Vajda) הוכיח שמתקיים:

כאשר מוסכם שלכל n טבעי:  (הגדרה זו משמרת את נוסחת הנסיגה של מספרי פיבונאצ'י).

זהות קטלן מתקבלת מזהות זו על ידי ההצבה .

קישורים חיצוניים
 הוכחה של זהות קאסיני באתר proofwiki
 הוכחה של זהות קטלן באתר proofwiki
 הוכחה של זהות ויידה באתר proofwiki

קטגוריה:משפטים בתורת המספרים
קטגוריה:סדרת פיבונאצ'י
קטגוריה:זהויות במתמטיקה