התמרת הילברט

במתמטיקה ובעיבוד אותות, התמרת הילברט היא אופרטור ליניארי, שלוקח פונקציה , ומייצר פונקציה , עם אותו התחום.

בשונה מהתמרות אחרות כמו התמרת Z והתמרת פורייה אשר מעבירות פונקציות בין מרחבים, התמרת הילברט לוקחת פונקציה במרחב הזמן, ומשאירה אותה במרחב הזמן, כאשר במרחב התדר הפונקציה החדשה היא הפונקציה המקורית בתוספת הסטת מופע של .

התמרת הילברט קרויה על שם המתמטיקאי הגרמני דויד הילברט, שהיה הראשון אשר הציג את האופרטור לפתרון המקרה המיוחד של בעיית רימן-הילברט עבור פונקציה הולומורפית.

 מבוא 
ממוזער|300x300px|באדום-התמרת הילברט של גל מרובע (בכחול)
התמרת הילברט של פונקציה  היא קונבולוציה של הפונקציה  עם הפונקציה .

ההתמרה מחושבת בצורה הבאה:

כאשר מבצעים התמרת הילברט פעמיים ברצף לפונקציה , התוצאה היא  שלילית:

מכאן שהתמרת הילברט ההפוכה היא:

במישור התדר, התמרת הילברט היא:

כאשר  היא פוקנציית הסימן.

מכאן ניתן לראות ש-, כלומר התמרת הילברט משנה רק את המופע של האות, היא מסובבת את המופע של רכיבי התדר החיוביים ב־ ואת המופע של רכיבי התדר השליליים ב-.

לכן האות במישור התדר לאחר התמרת הילברט הוא:

כאשר  ו- הן ההתמרות פורייה של  ו- בהתאמה.

 סימון 
בעיבוד אותות, התמרת הילברט של  מסומנת ב־. במתמטיקה, הסימון הנפוץ הוא .

 טבלת התמרות הילברט 
 פונקציה  התמרת הילברט  פירוש     סינוס     קוסינוס                 פונקציית דוסון      פונקציית Sinc    פונקציית המלבן     פונקציית דלתא של דיראק

 ראו גם 
 התמרת פורייה
 התמרת Z

קישורים חיצוניים



קטגוריה:עיבוד אותות
קטגוריה:תורת הפוטנציאל
קטגוריה:דויד הילברט
קטגוריה:פונקציות הרמוניות