מודל אוטו-רגרסיבי

מודל אוטו-רגרסיבי (באנגלית: autoregressive model) או בקיצור AR, הוא משפחת מודלים המשמשים לייצוג סדרה עתית של תהליך סטוכסטי, בו ערך המשתנה המנובא בעל נקודה בזמן, , תלוי ליניארית בערכי אותו המשתנה בזמנים קודמים, וברכיב רעש. המודל משמש לייצוג, לחיזוי, ולניתוח תהליכים אקראיים בעלי תלות עתית.

 הגדרה ותכונות 
הסימון  מייצג מודל אוטו-רגרסיבי מסדר , המוגדר באמצעות הביטוי:

כאשר  מייצג את ערך המשתנה  בזמן ,  מייצג את מספר הנקודות בזמן לפני  המשמשות לניבוי,  הוא פרמטר חופשי המשוערך עבור ערכי  בנקודות בזמנים שלפני ,  הקובע את משקלם בניבוי  ו- מייצג רכיב של רעש לבן בנקודה בזמן .
ממוזער|alt="Figure has 5 plots of AR processes. AR(0) and AR(0.3) are white noise or look like white noise. AR(0.9) has some large scale oscillating structure."|באיור זה מוצגים 5 סדרות עתיות. העליונה מציגה סדרה המורכבת מרעש בלבד (AR0), לאחריה שתי סדרות של מודל AR מסדר 1 ושתי סדרות מסדר 2. הסדרות בתוך כל סדר נבדלות זו מזו בערכי ה-.|381x381 פיקסליםמשוואה זו ניתנת לכתיבה באמצעות אופרטור ה-LAG   באופן הבא:
.
עבור המקרה הפשוט  עבורו , ניתן לכתוב את המודל כך:

במקרה זה,  תלוי באופן ישיר רק בערכו בנקודת הזמן הקודמת לו , וברעש.
עם זאת מאחר שתלות זו קיימת לכל הנקודות בזמן, אז גם נקודות שלפני , יהיו בעלות כושר ניבוי של-, כלומר הקורלציה ביניהן תהא גדולה מאפס בערכה המוחלט. לדוגמה . תכונה זו נכונה גם לסדרים גדולים מאחד. לכן עבור ניתוח סדרה עתית באמצעות מודל , שימוש בתרשים פונקציית אוטו-קורלציה חלקית  (או בקיצור PACF) יעיל לקביעת הסדר במקרים רבים. גרף זה, מציג את המתאם חלקי של  כל פעם עם נקודה אחרת הקודמת בזמן , בניכוי המתאמים עם שאר הנקודות שבין זמן  לזמן .

 הרחבות 
למודל AR הוצעו עם השנים מספר הרחבות. מהחשובות שבהן ניתן למנות את מודל ARMA , המשלב יחד עם AR גם תלות בין רכיבי הרעש של המשתנה  בזמנים שונים, באופן דומה לתלות המוצגת במודל Moving-average , כמו גם את מודל ARIMA , מודל המרחיב את מודל ARMA גם למקרים לא סטיונריים, כלומר כאלו עם שונות ותוחלת המשתנים בזמן.

 ראו גם 
 מבחן גריינג'ר
 נראות מקסימלית
 התמרת פורייה

 לקריאה נוספת 
Hyndman, R.J., & Athanasopoulos, G. (2021) Forecasting: principles and practice, 3rd edition, OTexts: Melbourne, Australia. OTexts.com/fpp3.

קטגוריה:סטטיסטיקה