יופי מתמטי

יופי מתמטי הוא ההנאה האסתטית שמתמטיקאים עשויים לייחס לתוצאות מסוימות במתמטיקה. הם מבטאים הנאה זו על ידי התייחסות למתמטיקה (או לפחות לחלק מהיבטיה) כיפה. לאורך ההיסטוריה, מתמטיקאים רבים התייחסו למתמטיקה כאל אמנות או לפחות כאל פעילות יצירתית והרבו להשוות אותה למוזיקה ולשירה. נושא זה נדון על ידי הפילוסופיה של המתמטיקה.

 הוכחה "יפה" 
ניתן לראות יופי מתמטי על ידי דרך הוכחה אלגנטית באופן מיוחד. על פי ההקשר, הכוונה יכולה להיות:
 הוכחה שעושה שימוש במספר קטן ככל האפשר של הנחות או של תוצאות קודמות.
 הוכחה תמציתית באופן מיוחד.
 הוכחה המגיעה לפתרון בדרך מפתיעה (למשל על ידי שימוש במשפט מתחום שונה לחלוטין).
 הוכחה המבוססת על תובנות חדשות ומקוריות.
 שיטת הוכחה שניתן יהיה ליישם באופן פשוט על מנת להוכיח שורה של בעיות דומות.
במהלך החיפוש אחרי הוכחה אלגנטית, מתמטיקאים מנסים פעמים רבות למצוא פתרונות שונים לאותה בעיה, ההוכחה הראשונה לא תהיה בהכרח הטובה ביותר. סביר להניח כי המשפט שזכה למספר הגדול ביותר של הוכחות שונות הוא משפט פיתגורס, שפורסמו מאות הוכחות שונות שלו. משפט נוסף שהוכח באופנים רבים ושונים הוא משפט ההדדיות הריבועית, קרל פרידריך גאוס לבדו פרסם מספר הוכחות שונות למשפט זה.

לעומת דרכי ההוכחה ה"יפות", תוצאות נכונות הכרוכות בחישובים מייגעים, שיטות משוכללות יתר על המידה, גישות קונבנציונליות או הנדרשות למספר רב של אקסיומות חזקות או תוצאות קודמות, אינן נחשבות, בדרך כלל, לאלגנטיות ועשויות להיקרא "מכוערות" או "מגושמות".

 תוצאה "יפה" 
שמאל|ממוזער|אם מתחילים ב- e0 = 1 וממשיכים במהירות i במשך זמן π וביחס לנקודה מסוימת, הוספה של 1 תביא אל הנקודה 0 (התרשים מוצג במישור המרוכב).
את היופי המתמטי ניתן לראות גם כקישור מקורי בין שתי תוצאות מתחומים שונים. לעיתים מתמטיקאים מייחסים יופי לעבודות המקשרות שני תחומים במתמטיקה הנראים לא קשורים במבט ראשון. קישורים כאלה מתוארים פעמים רבות כעמוקים. ההפך מעומק הוא טריוויאליות. משפט טריוויאלי יכול להיות תוצאה שניתן לגזור בצורה ברורה וישירה מתוצאות ידועות אחרות, או אשר חלה רק על קבוצה ספציפית של אובייקטים מסוימים כמו הקבוצה הריקה .

קשה למצוא קישורים שיש הסכמה גורפת בין מתמטיקאים על כך שהם עמוקים, אולם ישנן מספר דוגמאות המובאות בדרך כלל, אחת מהן היא זהות אוילר:

נוסחה אלגנטית זו היא מקרה פרטי של נוסחת אוילר, אשר הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן כינה "הנוסחה המדהימה ביותר במתמטיקה". היופי בזהות אוילר טמון בכך שהיא מאחדת לכדי משוואה קצרה אחת חמישה קבועים מתמטיים מרכזיים:  - בסיס הלוגריתם הטבעי,  – היחידה המדומה,  – היחס בין היקף מעגל לקוטרו, וכן את שני המספרים הטבעיים הראשונים (0 ו-1).

דוגמאות נוספות לתוצאות עמוקות כוללות תובנות בלתי צפויות לגבי מבנים מתמטיים. לדוגמה, "המשפט המופלא" של גאוס (Theorema Egregium) הוא משפט עמוק המקשר בין תופעה מקומית (עקמומיות) לתופעה גלובלית (שטח) באופן מפתיע. בפרט, שטחו של משולש על משטח עקום פרופורציונלי לעודף הזוויות של המשולש מ-180 מעלות, כאשר מקדם הפרופורציה הוא העקמומיות. דוגמה נוספת היא המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי (והגרסאות הווקטוריות שלו, כולל משפט גרין ומשפט סטוקס).

דוגמאות מודרניות יותר הן משפט טניאמה-שימורה שיצר קשר חשוב בין עקומים אליפטיים לבין תבניות מודולריות (עבודה שזיכתה את אנדרו ויילס ואת לרוברט לנגלנדס בפרס וולף) וכן "המפלצות המטורללות" המקשרות בין תורת החבורות (חבורת פישר-גריס, "המפלצת") לתבניות מודולריות דרך תורת המיתרים (עבודה שזיכתה את ריצ'רד בורכרדס במדליית פילדס).

 חוויה "יפה" 
ממוזער|222x222px
בתרבויות שונות ישנו עיסוק במתמטיקה עיונית ללא קשר לשימושיה המעשיים. כך למשל ביוון העתיקה, "עסקו במתמטיקה לשם היופי שבה". 

יופי מתמטי נחווה לעיתים גם מחוץ להקשר המתמטי. לדוגמה, ההנאה האסתטית שפיזיקאים תאורטיים נוטים לחוות מעיסוק בתורת היחסות הכללית של איינשטיין, יוחסה, (על ידי פול דיראק ואחרים) ליופי המתמטי שבה.

מידה מסוימת של הנאה מעריכת מניפולציות על מספרים וסמלים נדרשת כפי הנראה, בכל עיסוק במתמטיקה. בהתחשב בתועלת של מתמטיקה במדע ובהנדסה, לכל חברה טכנולוגית יש אינטרס לטפח הנאה אסתטית כזו, מבחינה פילוסופית, גם אם לא מבחינה מעשית.

יופי מתמטי נחווה כאשר אובייקטים מהמציאות הפיזית מנוסחים על ידי מודלים מתמטיים מופשטים: מתמטיקאים מפתחים שדה מתמטי שלם ללא כל יישום מעשי, ושנים מאוחר יותר, פיזיקאים מגלים שענפים מתמטיים מופשטים אלה מתאימים לתצפיות שלהם. לדוגמה, תורת החבורות שפותחה בתחילת המאה ה-19 אך ורק לשם פתירת משוואות פולינומיות, התגלתה כדרך היעילה ביותר לסווג חלקיקי היסוד – אבני הבניין של החומר. באותו אופן, הסתבר כי תורת הקשרים, ענף מתמטי אזוטרי, מספק תובנות חשובות בתורת המיתרים ובכבידה קוונטית לולאתית.

החוויה העזה ביותר של יופי מתמטי נחווית לרוב רק בעת עיסוק פעיל במתמטיקה. כמעט בלתי אפשרי ליהנות או להעריך מתמטיקה באופן פסיבי לגמרי, מאחר שבמתמטיקה אין "תפקיד" של צופה, קהל, או מאזין. 

 יופי ופילוסופיה 
חלק מהמתמטיקאים סבורים כי "עשיית מתמטיקה" קרובה יותר לגילוי מאשר להמצאה: 

יש מתמטיקאים שמאמינים כי התוצאות המפורטות והמדויקות של המתמטיקה הן אמיתות אשר אינן תלויות ביקום בו אנו חיים. הם טוענים למשל, כי התאוריה של המספרים הטבעיים תקפה תמיד, באופן שאינו דורש כל הקשר ספציפי. מתמטיקאים מסוימים הרחיבו את ההשקפה שהיופי המתמטי הוא אמת מוחלטת, לעיתים עד לכדי מיסטיקה. 

המתמטיקאים הפיתגורים האמינו במציאות של מספרים. גילוים של המספרים האי-רציונליים היה עבורם הלם, שכן הם האמינו שעצם קיומו של מספר שלא ניתן לבטא כיחס בין שני מספרים טבעיים פוגם בטבע. מנקודת מבט מודרנית, הגישה המיסטית שלהם למספרים עשויה להחשב נומרולוגיה. 

על פי הפילוסופיה האפלטונית העולם נחלק לשני חלקים נפרדים: העולם הפיזי, הנתפס באמצעות החושים ועולם ה"צורות" אשר ניתן להבנה אך ורק באמצעות השכל. עולם הצורות הוא עולם מופשט המכיל אידאות, אמיתות קבועות שביניהן המתמטיקה. אפלטון וממשיכיו האמינו כי העולם הפיזי הוא השתקפות של העולם המופשט והמושלם.

ראו גם

 יחס הזהב
 יחס הכסף
 פרקטל
 E=mc²
 זהות אוילר

לקריאה נוספת
 רון אהרוני, מתמטיקה שירה ויופי, הוצאת הקיבוץ המאוחד, 2008

 הערות שוליים 

קטגוריה:פילוסופיה של המתמטיקה
קטגוריה:יופי
קטגוריה:תרבות מתמטית