פונקציית ליוביל

במתמטיקה, פונקציית ליוביל (על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ליוביל) היא פונקציה אריתמטית חשובה בתורת המספרים, אשר לכל  טבעי היא מוגדרת על ידי:

כאשר  הוא מספר המספרים הראשוניים המחלקים את .

ניתן לראות כי , אזי . למספר 1 אין גורמים ראשוניים, לכן  ומכאן . בנוסף:

ניתן לראות כי פונקציית ליוביל והערך המוחלט של פונקציית מביוס הם הופכי דיריכלה.

פונקציית ליוביל מופיע גם בטורים של פונקציות אחרות, לדוגמה

כאשר  היא פונקציית תטא של יעקובי .

לאורך השניים הוצגו שתי השערות בנוגע לפונקציית ליוביל, אך שתיהן הוכחו כשגויות. הטענה הראשונה הייתה שאם נגדיר את הפונקציה , אז  לכל . השערה זו ידועה בתור השערת פוליה והוצא על ידי ג'ורג' פוליה בשנת 1919, אך הוכחה כשגויה בשנת 1980, למשל עבור . הטענה השנייה הייתה שאם נגדיר את הפונקציה  אז . השערה זו הוכחה כשגויה בשנת 1958, ולמעשה לפונקציה יש נקודות שליליות רבות. אם השערה זו הייתה נכונה, היה הדבר מוביל להוכחת השערת רימן, כפי שהראה פאל טוראן.

קישורים חיצוניים

קטגוריה:תורת המספרים
ליוביל