בעיית אפולוניוס

שמאל|ממוזער|תרשים 2. כל 8 הפתרונות לבעיה העשירית, מוצגים כ־4 זוגות לפי צבע. המעגלים הנתונים צבועים בשחור.
בגאומטריה אוקלידית, בעיית אפולוניוס  או בעיית המגעים מוגדרת כבניית מעגל שמשיק לצירוף כלשהו של שלושה אובייקטים במישור: נקודה, קו ישר ומעגל. אפולוניוס מפרגה (בקירוב 262 לפנה"ס עד 190 לפנה"ס) פרסם את הבעיה המפורסמת בעבודתו Ἐπαφαί ("משיקיים") אך לא נתן לה את כל הפתרונות האפשריים; עבודה זו אבדה, אך דיווח על תוצאותיו נכתב על ידי פאפוס מאלכסנדריה בן המאה ה-4 ושרד.

מספר הצירופים בין שלושת האובייקטים הוא עשרה. פאפוס התייחס למקרה של שלושה מעגלים כבעיה העשירית והקשה מכולן. לעיתים בעיית אפולוניוס מתייחסת אליה בלבד. בשנת 1600 פתר פרנסואה וייט את כל עשרת המקרים בעזרת סרגל ומחוגה.

האובייקטים יכולים לחתוך זה את זה, אך נהוג להתייחס למקרים בהם הם נפרדים זה מזה.

לבעיה העשירית יש שמונה פתרונות אפשריים (אחד מהם בתרשים 1). יש שמונה מעגלים אפשריים שמשיקים לשלושת המעגלים הנתונים (תרשים 2). כל מעגל מקיף תת-קבוצה שונה מתוך שלושת המעגלים וליתר המעגלים הוא משיק מבחוץ. ישנן 8 תתי קבוצות אפשריות בקבוצה בה העצמה היא 3, מאחר ש 8 = 23.

+ עשרת הסוגים של בעיית אפולוניוס מספרקודאובייקטים נתוניםמספר פתרונותדוגמה(פתרון בוורוד, האובייקטים בשחור) 1  PPP  3 נקודות  1  100px 2  LPP  ישר ו 2 נקודות  2  100px 3  LLP  2 ישרים ונקודה  2  100px 4  CPP  מעגל ו 2 נקודות  2  100px 5  LLL  3 ישרים  4  100px 6  CLP  מעגל ישר ונקודה  4  100px 7  CCP  2 מעגלים ונקודה  4  100px 8  CLL  מעגל ו 2 ישרים  8  100px 9  CCL  2 מעגלים וישר  8  100px 10  CCC  3 מעגלים (הבעיה הקלאסית)  8  100px

קישורים חיצוניים



קטגוריה:גאומטריה
קטגוריה:פרנסואה וייט