התפלגות F

בהסתברות וסטטיסטיקה, התפלגות F היא התפלגות רציפה שמופיעה פעמים רבות כהשערת האפס להתפלגות לסטטיסטי המבחן במבחנים סטטיסטים, ובפרט בניתוח שונות (ראו מבחן F). התפלגות F ידועה גם כהתפלגות פישר-סנדקור, על שם רונלד פישר וג'ורג' סנדקור.

הגדרה וסימון
כאשר משתנה מקרי  מקבל ערכים לפי התפלגות F עם פרמטרים  ו-, נהוג לסמן זאת כך: , ופונקציית צפיפות ההסתברות שלו מוגדרת: 
עבור , כאשר  היא פונקציית בטא. בשימושים רבים נהוג שהמשתנים  ו- מקבלים מספרים שלמים חיוביים, אך הפונקציה מוגדרת היטב לערכים ממשיים חיוביים.

פונקציית ההסתברות המצטברת נתונה על ידי

כאשר  מסמנת את פונקציית בטא הלא שלמה הרגולרית.

אפיון
ניתן לבטא משתנה מקרי עם התפלגות F ופרמטרים  ו- כמנה של שני משתנים מקריים המתפלגים לפי כי בריבוע:

כאשר  ו- הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, אשר מתפלגים לפי כי בריבוע עם  ו- דרגות חופש, בהתאמה.

ביישומים שבהם משתמשים בהתפלגות F, למשל בניתוח שונות, משתמשים לעיתים במשפט קוצ'רן  כדי להראות אי תלות של  ו-.

 תכונות 
התוחלת, השונות ומאפיינים נוספים של התפלגות F ניתנים בתיבת המידע. 

עבור , הגבנוניות של התפלגות F היא

המומנט ה-k של התפלגות  קיים, והוא סופי רק כאשר  . הוא שווה ל

הפונקציה האופיינית מופיעה בצורה שגויה במקורות סטנדרטים מסוימים (למשל ). הביטוי הנכון הואPhillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution," Biometrika, 69: 261–264

כאשר  היא הפונקציה ההיפרגאומטרית הקונפלואנטית  מהסוג השני.

קישורים חיצוניים


הערות שוליים

F