משפט ארטין-שרייר (הרחבות ציקליות)

בתורת השדות, משפט ארטין שרייר נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך שחבורת גלואה של הרחבה סופית מעל שדה ממציין  תהיה ציקלית מסדר . בכך הוא מצטרף למשפט קומר שעושה זאת על הרחבות מסדר זר למציין השדה.

המשפט
תהי  הרחבת שדות לא טריוויאלית, כאשר . אז היא גלואה וחבורת גלואה שלה מעגלית מסדר  אם ורק אם  עבור  המקיים .

הוכחת המשפט
כיוון אחד: נניח  מעגלית מסדר . יהי  יוצר שלה. אז 

ולכן ממשפט 90 של הילברט, יש  כך ש-. מכאן  ומכאן . אז  כי , וכיוון ש- אז  ולכן

ובסך הכל  ולכן . כמו כן לכל  מתקיים

ולכן  נמצא בשדה השבת , כלומר: .

כיוון שני: נניח . נסמן . אז לכל j מתקיים  לפי המשפט הקטן של פרמה. לכן  מתפצל ב-. הוא גם פולינום ספרבילי כי הוא זר לנגזרת שלו (שהיא 1-) ולכן  הרחבת גלואה. כל איבר בה, , הוא K-אוטומורפיזם של  ולכן מעביר את  לשורש כלשהו של , . לכן אפשר להגדיר פונקציה  המקיימת . כאן  הוא השדה הראשוני מסדר p אבל אנו מסתכלים עליו כעל החבורה האבלית  עם חיבור מודולו p. נראה ש- הוא איזומורפיזם של חבורות: יהיו . אז 

ולכן  הומומורפיזם. תמונתו היא תת-חבורה של , לכן טריוויאלית או כולה. אבל אם היא הייתה טריוויאלית גם ההרחבה הייתה טריוויאלית, בסתירה להנחה. כמו כן הגרעין של  הוא  לכן הוא איזומורפיזם. לכן החבורה מעגלית מסדר  כרצוי.

מ.ש.ל.

קטגוריה:תורת השדות
ארטין-שרייר