התפלגות רב-נורמלית

בתורת ההסתברות, התפלגות רב-נורמלית, או התפלגות גאוסיאנית רב-ממדית (באנגלית: Multivariate normal distribution) היא הכללה של התפלגות נורמלית למשתנים מקריים רב-ממדיים. היא מוגדרת בתור וקטור משתנים מקריים, שכל צירוף ליניארי שלו מתפלג נורמלית. ישנה גם הגדרה (כללית יותר) בשפה של פונקציות אופייניות (הקובעת את המשתנה).

להתפלגות רב-נורמלית מספר שימושים, כגון הוכחת טענות על התפלגות הממוצע וסטיית התקן של משתנים מקריים שווי התפלגות נורמלית; טענות אלו שימושיות במיוחד בסטטיסטיקה. ניתן גם לנסח את משפט הגבול המרכזי בגרסה רב-ממדית בעזרת התפלגות רב-נורמלית.

הגדרה
יהי  וקטור משתנים מקריים ממשיים. נאמר ש- מתפלג רב-נורמלית (או גאוסיאנית) אם לכל  המשתנה המקרי (החד־ממדי)  מתפלג נורמלית, כלומר קיימים  (תלויים ב-) כך ש-.

אם  משתנה רב-נורמלי, מסמנים .  הוא וקטור התוחלות, כלומר

ו- היא מטריצת השונות משותפת:

כאשר .

תכונות
הפונקציה האופיינית
ניתן לאפיין את המשתנים המקריים הגאוסיאניים בעזרת הפונקציה האופיינית שלהם: וקטור משתנים מקריים הוא גאוסיאני אם ורק אם הוא בעל פונקציה אופיינית:

כאשר מטריצה השונות  היא חיובית.

בפרט, נובע שהמשתנים המקריים בלתי מתואמים אם ורק אם הם בלתי תלויים (מה שאינו נכון באופן כללי).

לכסון
לכל משתנה מקרי רב-נורמלי  קיימים משתנה מקרי  ומטריצה אורתוגונלית  כך ש-, כאשר  ו- הם הערכים עצמיים של  (מטריצת השונויות המשותפות).

בכיוון ההפוך, לכל משתנה מקרי רב-נורמלי  ולכל מטריצה אורתוגונלית , המשתנה המקרי  גם הוא רב נורמלי: .

כדי להוכיח משפט זה, יש להפעיל לכסון אורתוגונלי על  (בפרט, המטריצה  נבחרת להיות המטריצה המלכסנת).

פונקציית צפיפות
כאשר מטריצת השונות  איננה מטריצה סינגולרית - כלומר כל ערכיה העצמיים  שונים מאפס, למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות, הנתונה על ידי הנוסחה:
.

כאשר  מסמן דטרמיננטה.

 התפלגויות שוליות 
למציאת ההתפלגות השולית של משתנים מקריים המתפלגים רב-נורמלית, מספיק להשמיט את המשתנים הלא-רלוונטיים (המשתנים שיש לבצע עליהם אינטגרציה) מווקטור התוחלת  וממטריצת השונות . ההוכחה לכך נובעת מההגדרה של ההתפלגות הרב-נורמלית ומאלגברה ליניארית. http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/gaussianprocess/node7.html . A much shorter proof is outlined here https://math.stackexchange.com/a/3832137
 דוגמה 
יהי  וקטור מקרי רב-נורמלי עם וקטור תוחלת  ומטריצת שונות . ההתפלגות השולית של  היא התפלגות רב-נורמלית עם וקטור תוחלת  ומטריצת שונות
.

התפלגות רב-נורמלית סינגולרית
בדרך כלל מניחים כי מטריצת השונויות  איננה מטריצה סינגולרית. כאמור, במקרה זה למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות.

עם זאת, כאשר מורידים את ההנחה האחרונה (כלומר, יש ערכים עצמיים אפס), מתקבל משתנה מקרי רב-נורמלי סינגולרי. ההגדרה בעזרת הפונקציה האופיינית היא כללית יותר (כלומר, תקפה גם במקרה הסינגולרי). במקרה זה אין פונקציית צפיפות (ביחס למידת לבג) - ערכיה של פונקציית הצפיפות ייקבעו על ידי פחות מ- משתנים, ואינטגרל של פונקציה כזו הוא אפס ולא 1, כנדרש מפונקציית צפיפות.

בכל זאת, ניתן להגדיר מידות אחרות (על תת-מרחב -ממדי של ) ואז מוגדרת פונקציית צפיפות עבור משתנה מקרי ביחס למידה החדשה.

יישומים
אם  משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים , נסמן  ו-. אז מתקיים:
, כלומר מתפלג סטודנט עם  דרגות חופש.

קישורים חיצוניים


הערות שוליים

רב-נורמלית