משפט האיבר הפרימיטיבי

בתורת השדות, משפט האיבר הפרימיטיבי מאפשר לקבוע שהרחבת שדות מסוימת היא פשוטה, כלומר שאם ההרחבה היא  אז קיים איבר  כך ש-.

המשפט
המשפט קובע ש:
תהי  הרחבת שדות סופית. אז היא פשוטה אם ורק אם יש מספר סופי של שדות ביניים, כלומר מספר סופי של שדות  כך ש-.

מקרה פרטי חשוב של המשפט הוא:
תהי  הרחבת שדות סופית וספרבילית. אז היא פשוטה.

הוכחה
נוכיח את המקרה הפרטי. תהי  הרחבת שדות סופית וספרבילית.

אם  סופי, גם  סופי, ואז החבורה הכפלית של  נוצרת על ידי איבר אחד, שגם יוצר את ההרחבה.

נניח  אינסופי. נוכיח שלכל  מתקיים  עבור  כלשהו, ומכך המשפט ינבע באינדוקציה (כי הרחבה סופית נוצרת על ידי מספר סופי של איברים).

נסמן את הפולינום המינימלי של  ב- ושל  ב-. הם מתפצלים בסגור האלגברי של . נסמן את שאר השורשים ב- (כולם שונים כי  ספרבילית). נגדיר את הקבוצה: . היא סופית, לכן יש . נסמן , וכן . אז , וכן  כי מבניה  לכל . לכן . אבל  ולכן כך גם ה-gcd שלהם. לכן   ולכן גם . מכאן . כמובן גם  ובסך הכול .

ההוכחה לא רק מראה קיום אלא גם מראה דרך מפורשת לבנות את האיבר, ולמעשה מוכיחה שכמעט כל האיברים ב- יוצרים את ההרחבה.

קטגוריה:תורת השדות
קטגוריה:משפטים באלגברה