משפט לורות

בתורת השדות, משפט לורות (Lüroth's theorem), הנקרא על שם המתמטיקאי יאקוב לורות, קובע כי שדה ביניים של הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1 אף הוא שדה הרחבה טרנסצנדנטי מדרגה 1. לורות הוכיח את הטענה בשנת 1876.

יהי  שדה ותהי  שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה אחד, כלומר הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1. אזי כל שדה ביניים ממש  מהווה אף הוא הרחבה טרנסצנדנטית (מדרגה 1) – קיימת פונקציה רציונלית  כך ש-.

ההוכחה הקלאסית, בעזרת תורת השדות בלבד, משתמשת בלמה של גאוס. הוכחות מודרניות ופשוטות יותר נתונות בעזרת עקומים גאומטריים.

טענה בעלת אופי דומה הוכחה על ידי Hartshorne : אם  שדה סגור אלגברית ו- מהווה הרחבה ספרבילית סופית מעל שדה ביניים , אז  הרחבה טרנסצנדנטית מעל . הטענה לא נשארת נכונה כאשר ההרחבה לא ספרבילית, וגם לא ביותר משתנים.

לקריאה נוספת
 להוכחה הקלאסית, ראו Graduate Algebra: Commutative View, Louis Halle Rowen, AMS, p.147-149
 להוכחה מסובכת אך קצרה יותר, ראו Cohn, P. M. (1991), Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Chapman Hall/CRC Mathematics Series 4, CRC Press, p. 148
 להוכחת משפט Hartshorne, ראו Hartshorne, R., Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, Springer, New York, 1993,Remark V.6.2.1

קישורים חיצוניים


לורות
לורות