משפט בלוך-לנדאו

באנליזה מרוכבת, משפטי בלוך-לנדאו הם משפטים בדבר פונקציה הולומורפית  בעיגול היחידה המקיימת . המשפט הוא אחד השלבים המרכזיים בהוכחת משפט פיקארד הקטן. הם נקראים על שמם של המתמטיקאים אנדרי בלוך ואדמונד לנדאו.

משפט בלוך
משפט בלוך - תהי  פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת . אזי קיים קבוע  כך שהפונקציה הפיכה בכדור הפתוח ברדיוס . כלומר, קיימת פונקציה הולומורפית  כך ש- היא הזהות על כדור כנ"ל.

הקבוע האופטימלי  שמקיים את משפט בלוך נקרא קבוע בלוך, וערכו לא ידוע עד היום. בכל זאת, ידוע חסם לא רע - .

משפט לנדאו
משפט לנדאו (לעיתים גם משפט בלוך-לנדאו) - תהי  פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת . אזי תמונת  מכילה כדור ברדיוס חיובי .

הקבוע האופטימלי  המקיים את משפט לנדאו נקרא קבוע לנדאו; ניתן להוכיח דיי בקלות כי , וטיעונים מסובכים יותר מראים כי  בערך. גם הערך של  לא ידוע.

משפט ואלירון
המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי ג'ורג ואלירון. משפט זה הביא את בלוך להוכיח את המשפט בנוסח לעיל.

משפט ואלירון - אם  פונקציה שלמה לא קבועה, אז קיים עיגול  ופונקציה אנליטית  כך ש-.

למעשה, משפט ואלירון מתאים למשפט בלוך, לפי עקרון בלוך.

יישומים
במשפט פיקארד הקטן יש שימוש במסקנה ממשפט בלוך-לנדאו:

משפט: אם  פונקציה שלמה לא קבועה, אז תמונתה מכילה עיגול ברדיוס 1.

הוכחה:  לא קבועה, תהי  עבורה . נגדיר . אז  מקיימת את תנאי משפט לנדאו, ולכן מכילה כדור ברדיוס , ולכן מתקיים הדרוש.

ראו גם
 משפטי פיקארד

קישורים חיצוניים


בלוך-לנדאו