משפט הקירוב של ויירשטראס

משפט הקירוב של ויירשטראס הוא תוצאה יסודית בתורת הקירובים ובאנליזה פונקציונלית, הקובעת שכל פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום ניתנת לקירוב במידה-שווה על ידי פולינומים. במילים אחרות, המשפט קובע שתת-מרחב הפולינומים מהווה קבוצה צפופה במרחב הפונקציות הרציפות על קטע סגור וחסום.

משפט סטון-ויירשטראס מהווה הכללה חשובה של משפט זה.

המשפט

משפט הקירוב: לכל פונקציה רציפה מהצורה  עבור קטע ממשי  סגור וחסום, קיימת סדרת פולינומים על  המתכנסת אליה במידה-שווה.

פרספקטיבה אחרת בה ניתן לגשת למשפט זה, היא התייחסות למרחב הפולינומים כתת-מרחב של מרחב הפונקציות הרציפות.
באופן כללי, בהינתן קטע ממשי סגור וחסום  כלשהו, מסמנים ב- את מרחב הפונקציות הרציפות , שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת -אינסוף": .
לא קשה לראות שסדרת פונקציות מתכנסת תחת נורמת -אינסוף אם ורק אם היא מתכנסת במדה שווה. לפיכך הנוסח הבא שקול לחלוטין למשפט הקירוב בנוסח שהזכרנו:
נוסח שקול: מרחב הפולינומים על קטע ממשי  צפוף במרחב  תחת נורמת -אינסוף.

מסקנה: המרחב  הוא ספרבילי, כלומר יש בו קבוצה צפופה שהיא בת-מניה.
הוכחה: קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים הוא בן-מניה, וכן גם קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב הפולינומים במקדמים ממשיים. צפיפות היא תכונה טרנזיטיבית, ולכן מרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב .

השוואה עם טורי חזקות
סוג מסוים של קירוב פונקציה על ידי פולינומים מתקבל מהצגתה על ידי טור חזקות. זהו קירוב מיוחד שאינו אפשרי עבור רוב הפונקציות הרציפות.
בעוד שבקירוב כללי, כל פולינום מקרב יכול להיות שוינה לחלוטין מקודמו, בקירוב שמקורו בטור חזקות אנחנו מוסיפים בכל שלב איברים לפולינום אבל לא משנים את האיברים הקיימים (זאת כאשר כותבים את הפולינום במשתנה  כאשר  היא הנקודה שביחס אליה מוגדר טור החזקות).

פונקציות הניתנות לקירוב על ידי טור חזקות בסביבת נקודה (הטור הוא ביחס לאותה הנקודה) נקראות פונקציות אנליטיות בנקודה זו. אולם, אפילו פונקציה אנליטית בכל הישר לא תמיד אפשר להציג על ידי טור חזקות בקטעים ארוכים. לדוגמה, לא ניתן להציג את הפונקציה  על ידי טור חזקות בקטע . פונקציות שניתן להציג כטור חזקות בכל קטע חסום נקראות פונקציות שלמות (או ליתר דיוק פונקציות שנתן להרחיב לפונקציות שלמות).

הוכחות
קיימות הוכחות שונות למשפט זה. נביא כאן מספר הוכחות
הוכחה באמצעות טרנספורמציית ויירשטראס וגרעין גאוס
הוכחה זו דומה להוכחה המקורית של ויירשטראס.
רעיון ההוכחה הוא לקרב את פונקציית גאוס  המוגדרת על ידי , ואז לקרב כל פונקציה  על ידי טרנספורמציית ויירשטראס שלה . כאן  מסמן את פעולת הקונבולוציה.

ברמה הטכנית יש להתמודד עם העובדה שקונבולציה מוגדרת עבור פונקציות על הישר, ולא עבור פונקציות על קטע. מדובר בקושי קטן למדי.

נציג את השלבים העיקריים בהוכחה:
1.2.3.<div style="display:inline-table; width:100%; ">45.6.

טקסט=פונקציה ליניארית למקוטעין מובעת באמצעות ערך מוחלט|מרכז|לא ממוסגר|400x400 פיקסלים|הרחבה של פונקציה רציפה על קטע סגור לפונקציה רציפה על הישר המתאפסת מחוץ לקטע סגור

הוכחה באמצעות פונקציות ליניאריות למקוטעין
רעיון ההוכחה הוא לקרב כל פונקציה באמצעות פונקציה רציפה ליניארית למקוטעין (זאת אומרת פונקציה שהגרף שלה הוא קו שבור), אותה ניתן להביע על ידי פונקציית הערך המוחלט. לבסוף מקרבים את פונקציית הערך המוחלט על ידי סדרה מפורשת של פולינומים. היתרונות של הוכחה זו הן האינטואיטיביות שלה, והעובדה שחלק המרעיונות בה משמשים להוכחה של משפט סטון-ויירשטראס - הכללה של משפט הקירוב של ויירשטראס.

נציג את השלבים העיקריים בהוכחה:
1.2.3.4.5.6.
פונקציה ליניארית למקוטעין מובעת באמצעות ערך מוחלט|מרכז|לא ממוסגר|400x400 פיקסלים

הערה: ההוכחות המקובלות של משפט סטון-ויירשטראס מבוססות על התוצאה של שלב 3.

הוכחה באמצעות פולינומי ברנשטיין
זו הוכחה של המתמטיקאי סרגיי ברנשטיין. היתרון שלה שהיא נותנת נוסחה פשוטה ומפורשת לפולינום המקרב.
רעיון ההוכחה
ההוכחה לא דורשת כלים מתורת ההסתברות, אולם קל יותר להבין את הרציונל מאחוריה מנקודת מבט של תורת ההסתברות. בהינתן מספר טבעי  , מספר ממשי  ומטבע שנופל על עץ בהסתבורת ,  נתבונן כעת במשתנה . אינטואיטיבית ברור שאם  גדול מאוד אז ערכו של  יהיה קרוב מאוד ל -  בהסתברות גבוהה מאוד. בהינתן פונקציה רציפה   נתבונן במשתנה .  אינטואיטיבית הגיוני שאם  גדול מאוד אז ערכו של  יהיה קרוב מאוד ל -  בהסתברות גבוהה מאוד. נסמן ב -  את התוחלת של .
אינטואיטיבית הגיוני שאם  גדול מאוד אז  קרוב מאוד ל - .  מאידך, קל לראות ש -   הוא פולינום ב -  . כך קיבלנו קירוב טוב כרצוננו ל -  על ידי הפולינום .

פולינפמי הבסיס של ברנשטיין ותכונתיהם
פולינומי בסיס של ברנשטיין הם פולינומים מהצורה .
קל לראות מהבינום של ניוטון שמתקיים השוויון:

תכונה נוספת של הפולינומים האלה, היא שלכל  מתקיים אי השוויון:
.

מנקודת מבט הסתברותית:
 הפולינום  הוא ההסתברות שערכו של המשתנה הבינומי  יהיה 
 השווין הראשון אומר שההסתברות  שערכו של  יהיה מספר כלשהוא מ- עד  היא .
 האי-שוויון האחרון אומר שההסתברות  שערכו של  יהיה  רחוק מ -  היא קטנה.

ההוכחה
נראה שבהינתן פונקציה רציפה , לכל  קיים פולינום  מתאים כך שמתקיים .

אם כך, בהינתן פונקציה  כנ"ל נגדיר לכל  טבעי את הפולינום . 
מנקודת מבט הסתברותית זוהי התוכלת של .
נקבע , ונראה שלכל  מספיק גדול מתקיים כי .

נזכור שהפונקציה  רציפה בקטע סגור וחסום ולכן היא חסומה בו על ידי  כלשהו. מאותה עובדה נובע גם כי היא רציפה במידה שווה בקטע, לכן, קיים  כך שלכל  אם  אז . כעת עבור 
ועבור כל   מתקיים:

כפי שנדרש.

הוכחה באמצעות משפט פייר
רעיון ההוכחה הוא לקרב כל פולינום טריגונומטרי באמצעות פולינום ואז לקרב פונקציות רציפות באמצעות פולינומים טריגונומטריים לפי משפט פייר ההוכחה מעט אנכרוניסטית, כיוון שמשפט פייר הוכח אחרי משפט הקירוב של ויירשטראס והשתמש ברעיונות דומים, אולם לא מדובר בהוכחה מעגלית, ולפעמים יש לה יתרונות אקספוזיציוניים (למשל בספרי לימוד בהם מלמדים את תורת פורייה לפני משפט הקירוב של ויירשטראס).

נציג את השלבים העיקריים בהוכחה:
1.2.3.4.5.6.

היסטוריה

 בשנת 1885 הוכיח קרל ויירשטראס את המשפט, ופרסם אותו בגרמנית ובאנגלית. (arXiv 0611034v3). Citing: D. S. Lubinsky, Weierstrass' Theorem in the twentieth century: a selection, in Quaestiones Mathematicae18 (1995), 91–130. (arXiv 0611038v2).
 בשנים 1937–1948 הכליל מרשל סטון את משפט ויירשטראס. הכללה זו נקראת משפט סטון-ויירשטראס. משפט 82; 21 (5), 237–254.
משפט 5

קישורים חיצוניים


הערות שוליים

קטגוריה:משפטים באנליזה פונקציונלית