משפט סטון-ויירשטראס

משפט סטון-ויירשטראס הוא תוצאה חשובה באנליזה פונקציונלית, המאפיינת באופן מלא את כל האלגבראות שצפופות במרחב הפונקציות הרציפות על קבוצה קומפקטית.

המשפט מהווה הכללה למשפט הקירוב של ויירשטראס שעוסק באלגברת הפולינומים על קטע ממשי סגור וחסום. משפט סטון-ויירשטראס מאפיין את התכונה היסודית שהופכת את אלגברת הפולינומים לצפופה במרחב הפונקציות הרציפות- הפרדת נקודות.

למשפט תפקיד מרכזי בפיתוח תורת טורי פורייה.

המשפט

אם  הוא מרחב טופולוגי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב- את מרחב הפונקציות הרציפות , שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת נורמת . זאת אומרת הנורמה המוגדרת על ידי .

כמו כן, אלגברה היא מרחב וקטורי שמוגדרת בו גם פעולת כפל בין וקטורים. על המרחב    יש מבנה של אלגברה המוגדר על ידי פעולת הכפל הנקודתי של פונקציות. תת-אלגבראות של  היא תת-מרחב וקטורי הסגור לכפל זה.

משפט סטון-ויירשטראס: תת-אלגברה  היא קבוצה צפופה ב- תחת נורמת , אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:


גרסה חלשה
לעיתים מחליפים את תנאי 2 בתנאי חזק יותר: האלגברה  מכילה את הפונקציות הקבועות (או באופן שקול את הפונקציה הקבועה 1). כך מתקבלת גרסה חלשה יותר של המשפט. גרסה זו מעט קלה יותר להוכחה (מנקודת מבט של חלק מההוכחות) ושימושית במידה דומה לגרסה החזקה.
גרסה מרוכבת
משפט סטון-ויירשטראס אינו נכון בנסוח זהה עבור פונקציות עם ערכים מרוכבים. למשל, אלגברת הפונקציות האנליטיות על עיגול היחידה הסגור ב -  מקיימת את התנאים 1, 2 של המשפט אך איננה צפופה. עם זאת למשפט יש את הגרסה המרוכבת הבאה:

משפט: אם תת-אלגברה   מעל , מקיימת את התנאים 1,2 למעלה ובנוסף מקיימת:
 לכול  גם .
אז   היא צפופה ב- תחת נורמת .

קל להסיק גרסה זאת ממשפט סטון-ויירשטראס.

מסקנות
אלגברת הפולינומים הטריגונומטריים צפופה במרחב   לפי נורמת .
הוכחה: מגדירים את  להיות מעגל היחידה, ומזהים את  עם  באופן הסטנדרטי. המסקנה נובעת כעת ממשפט  סטון-ויירשטראס בקלות.
גרסה חלשה של משפט פייר: כל פונקציה ב  בעלת מחזור  ניתן לקרב במידה שווה על ידי פולינומים טריגונומטריים.
הוכחה: נובעת מהמסקנה הקודמת
עבור  אלגברת הפולינומים הטריגונומטריים צפופה במרחב , תחת נורמת , כלומר הנורמה .
הוכחה: מהמסקנה הראשונה נובע שאלגברת הפולינומים הטריגונומטריים צפופה ב -  לפי נורמת .   קל לראות שמרחב זה צפוף ב -  .
משפט הקירוב של ויירשטראס: מרחב הפולינומים צפוף במרחב  לפי נורמת .
עבור קומפקט , מרחב הפולינומים צפוף במרחב  לפי נורמת .
עבור קומפקט , מרחב הפולינומים צפוף במרחב  לפי נורמת .
עבור קומפקט , המרחבים   ו-   ספרביליים.
עבור קומפקטים  ניתן לקרב כל פונקציה ב- על ידי קומבינציה ליניארית (סופית) של פונקציות מהצורה . כאשר . נזכיר ש  מוגדרת על ידי 

הוכחה
הכיוון שבו אם  צפופה אז מתקיימים שני תנאי המשפט הוא פשוט יחסית: אם  אלגברה צפופה, אז יש בה פונקציה קרובה כרצוננו לפונקציה הקבועה . קל לראות שפונקציה מספיק קרובה ל- לא תתאפס באף נקודה ולכן מתקיים התנאי הראשון. כמו כן, בהינתן זוג נקודות  ניתן מהלמה של אוריסון למצוא פונקציה  ב- שמפרידה את  ו-  
(אם נתונה על  מטריקה   אז  ניתן לקחת את הפונקציה ).ומצפיפות  נובע שקיימת בה פונקציה קרובה כרצוננו ל-, ופונקציה קרובה מספיק תפריד את הנקודות.

הכיוון שבו מראים כי אם מתקיימים שני תנאי המשפט אז האלגברה צפופה, הוא מורכב יותר וזה עיקר המשפט.

נסמן ב -  את הסגור של -  לפי נורמת . יש הוכיח . נוכיח זאת במספר שלבים:
1.2.3.4.5.6.7.8.

היסטוריה

 בשנת 1885 הוכיח קרל ויירשטראס את משפט הקירוב שלו. (arXiv 0611034v3). Citing: D. S. Lubinsky, Weierstrass' Theorem in the twentieth century: a selection, in Quaestiones Mathematicae18 (1995), 91–130. (arXiv 0611038v2). זהו מקרה פרטי חשוב של משפט סטון-ויירשטראס והוכחת משפט סטון-ויירשטראס מתבססת על מקרה זה. 
 בשנת 1937 הכליל מרשל סטון את משפט ויירשטראס והוכיח קריטריון לצפיפות עבור אלגבראות פונקציות על קומפקטים. קריטריון זה היה מורכב יותר מהנסוח המודרני של משפט סטון-ויירשטראס.משפט 82 כבר בהוכחה של קריטריון זה, זיהה סטון  את העבודה שאפשר לקרב את  על ידי פולינומים ב- ואת החשיבות של עובדה זו לטובת הוכחת צפיפת של אלגבראות פונקציות.
 בשנת 1948 הוכיח מרשל סטון את הגרסה המודרנית של משפט סטון-ויירשטראס.; 21 (5), 237–254.
משפט 5

ראו גם
 משפט הקירוב של ויירשטראס
 משפט פייר
לקיאה נוספת
 .
 .
 Jan Brinkhuis & Vladimir Tikhomirov (2005) Optimization: Insights and Applications, Princeton University Press  .

 .

 .
 .

 עבודות היסטוריות

 K. Weierstrass (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II). 
 זמין ב - Berlin Brandenburgische Akademie der Wissenschaften

Erste Mitteilung (part 1) pp. 633–639, Zweite Mitteilung (part 2) pp. 789–805.


 ; 21 (5), 237–254.

הערות שוליים

קטגוריה:משפטים באנליזה פונקציונלית

en:Stone–Weierstrass theorem