איזוקליניות

בתורת החבורות, איזוקליניוּת היא יחס שקילות בין חבורות, המתייחס, עבור חבורה , למבנה המשותף של המנה  ותת-חבורת הקומוטטורים . היחס מאפשר מיון של מחלקות במקום שמיון שלם של חבורות, עד כדי איזומורפיזם, אינו אפשרי או אינו רצוי. כל החבורות האבליות איזוקליניות זו לזו. את היחס הגדיר פיליפ הול ב-1939.

 הגדרה 

ההגדרה מבוססת על-כך שפעולת הקומוטטור  מוגדרת היטב.

חבורות  הן איזוקליניוֹת אם יש איזומורפיזמים  ו-, המקיימים  (כאשר  הם הנציגים של  בחבורות המנה).

חבורה  היא איזוקלינית לחבורה סופית אם ורק אם  סופית.

 אינווריאנטים 

נסמן ב- את החבורות בסדרה המרכזית היורדת והסדרה המרכזית העולה של חבורה , בהתאמה. המנות  והחיתוכים  אינם תלויים ב-, אלא עד כדי איזוקליניות.

 איזוקליניות לתת-חבורות ולחבורות מנה 

חבורה  היא איזוקלינית לתת-החבורה  אם  (אם  סופית, גם ההפך נכון). כאשר  סופית,  איזוקלינית לתת-החבורה  אם ורק אם .

חבורה  היא איזוקלינית לחבורת המנה  אם  (אם  סופית, גם ההפך נכון). כאשר  סופית, היא איזוקלינית לחבורת המנה  אם ורק אם .

לכל שתי חבורות איזוקליניות  יש כיסוי משותף ומעטפת משותפת, במובן הבא. יש חבורה , איזוקלינית ל-, כך ש- מנות של ; ויש חבורה , איזוקלינית ל-, כך ש- תת-חבורות של . אם  סופיות, יש כיסוי משותף סופי ומעטפת משותפת סופית.

 נציגים מינימליים 

בכל מחלקת איזוקליניות יש חבורה  המקיימת  (חבורה כזו נקראת חבורת גזע). יתרה מזו, אם  נוצרת סופית ו- סופית, אז  איזוקלינית לחבורת גזע סופית, ובמקרה זה חבורה במחלקת האיזוקלינוית של  היא חבורת גזע אם ורק אם היא בעלת סדר מינימלי.

נאמר שחבורה  היא "מינימלית לתת-חבורות" אם אין לה תת-חבורה  כך ש- (אחרת, כפי שצוין לעיל,  איזוקלינית לתת-החבורה הזו). כל חבורה מינימלית לתת-חבורות מקיימת , כאשר  היא תת-חבורת פרטיני; ההפך נכון אם  נוצרת סופית.

נאמר שחבורה  היא "מינימלית למנות" אם אין לה תת-חבורה נורמלית  כך ש- (אחרת, כפי שצוין לעיל,  איזוקלינית לחבורת המנה ). חבורה  היא מינימלית למנות, אם ורק אם כל תת-חבורה נורמלית מינימלית שלה מוכלת ב-, ו- חבורה מפותלת.

 לקריאה נוספת 
 On the Structure of n-Isoclinism classes of Groups, H.S. Hekster, J Pure and Applied Algebra 40 (1986), 63--85.

קטגוריה:תורת החבורות
קטגוריה:יחסי שקילות