יחסי גרין

יחסי גרין הם יחסי שקילות בסיסיים המוגדרים בחבורה למחצה, ומארגנים את המבנה שלה סביב תת-החבורות המקסימליות. את היחסים הגדיר סנדי גרין 
(1926-2014).

 הגדרה 

תהי  חבורה למחצה, ויהי  המונואיד המתקבל מצירוף איבר יחידה ל-. יחסי גרין הם חמישה יחסי שקילות המוגדרים על : 
 אם  יוצרים את אותו אידיאל דו-צדדי, כלומר .
 אם  יוצרים את אותו אידיאל שמאלי, כלומר .
 אם  יוצרים את אותו אידיאל ימני, כלומר .
 אם  וגם .
 יחס  הוא יחס השקילות הקטן ביותר שמכיל את היחסים .

 תכונות עיקריות 

נאמר "מחלקת-" במקום "מחלקת שקילות לפי ", וכדומה. היחס  הוא העדין ביותר: כל מחלקת- היא איחוד של  מחלקות .
כל מחלקת   היא איחוד של מחלקות- ואיחוד של מחלקות-, וכל אחת מאלו היא איחוד של מחלקות-.

בין מחלקות- מוגדר יחס סדר ( אם  מוכל ב-). 

מתקיים . תכונה זו מאפשרת פירוק של כל מחלקת- ל"תבנית ביצים", כך ששני איברים נמצאים באותה שורה אם הם שקולים-, באותה עמודה אם הם שקולים-, ובאותה תיבה אם הם שקולים-.

איבר  הוא רגולרי אם קיים  כך ש- ו-; במקרה זה  הוא הפכי של  (למעשה, מספיק לדרוש קיום  כך ש  כדי להבטיח ש  רגולרי, מפני ש  יהיה הופכי מתאים). אם מחלקת- מכילה איבר רגולרי, אז כל האיברים במחלקה הם רגולריים, וכל ההפכיים שלהם שייכים לאותה מחלקה.

תת-החבורות המקסימליות של  הן מחלקות- הכוללות אידמפוטנט. אם שתי תת-חבורות מקסימליות נמצאות באותה מחלקת-, אז הן איזומורפיות; מחלקת- מכילה תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם היא רגולרית.

אם  סופית אז מתקיים . במקרה זה יש התאמה חד-חד-ערכית ועל בין ההצגות האי-פריקות של , לבין הזוגות  כאשר  היא מחלקת- רגולרית ו- היא הצגה אי-פריקה של תת-החבורה המקסימלית המוכלת בה (שהיא יחידה עד כדי איזומורפיזם).

קטגוריה:חבורות למחצה
קטגוריה:יחסי שקילות