משפט קנטור-בנדיקסון

משפט קנטור-בנדיקסון הוא משפט מתמטי הקובע שכל קבוצה סגורה בישר הממשי היא איחוד זר של קבוצה מושלמת וקבוצה בת-מנייה.

המשפט התקבל במסגרת ניסיונותיו של גאורג קנטור להוכיח את השערת הרצף. מהמשפט נובע שכל קבוצה סגורה של ממשיים היא בת-מנייה או מעוצמת הרצף.

ניסוח פורמלי
קבוצה  היא קבוצה מושלמת אם היא הקבוצה הנגזרת של עצמה. בנוסח שקול,  מושלמת אם ורק אם היא סגורה ואין לה נקודות מבודדות.

משפט קנטור-בנדיקסון. לכל  סגורה קיימת  מושלמת ו- בת-מנייה, כך ש- ו-.

הוכחה
ההוכחה המקורית של המשפט עושה שימוש בדרגת קנטור-בנדיקסון של הקבוצה. אם  קבוצה סגורה בישר שדרגתה  אז  קבוצה מושלמת. מכך שהישר הוא מרחב מנייה שנייה נובע ש- בת-מנייה. נציג כאן הוכחה אלמנטרית יותר.

תהי  סגורה. נתייחס ל- כמרחב טופולוגי עם הטופולוגיה המושרית מהישר. נקודת עיבוי של  היא נקודה שכל סביבה שלה (ב-) אינה בת-מנייה. תהי  קבוצת נקודות העיבוי של .

נוכיח כי  בת-מנייה.  הוא בסיס בן-מנייה של . תהי  קבוצת כל איברי  שהן קבוצות בנות-מנייה.

כל  אינה נקודת עיבוי, כי  סביבה בת-מנייה, ולכן . מצד שני, לכל  יש סביבה בת-מנייה, המכילה תת-סביבה בסיסית כלשהי שהיא בת-מנייה, ולכן . מכאן ש- בת-מנייה כאיחוד בן-מנייה של קבוצות בנות-מנייה.

נוכיח כי ל- אין נקודות מבודדות. תהי  ותהי  סביבה שלה. מכיוון ש- נקודת עיבוי  אינה בת-מנייה.  בת-מנייה ולכן  מכילה אינסוף נקודות. אולם , ולכן  מכילה אינסוף נקודות של , כלומר  לא מבודדת ב-.

כדי להוכיח ש- מושלמת נותר להוכיח כי היא סגורה ב-.  סגורה ב- כי  פתוחה ב- כאיחוד של קבוצות פתוחות. לפי הגדרת הטופולוגיה המושרית קיימת  סגורה ב- כך ש-. לכן  סגורה בישר כחיתוך של קבוצות סגורות.

הקשר להשערת הרצף
כל קבוצה מושלמת היא ריקה או מעוצמת הרצף. לכן ממשפט קנטור-בנדיקסון נובע שכל קבוצה סגורה היא בת-מנייה (במקרה ) או מעוצמת הרצף. כל קבוצה פתוחה לא ריקה מכילה גם היא קבוצה מושלמת לא ריקה (כי היא מכילה קטע סגור שהוא מושלם). קנטור קיווה להוכיח שכל קבוצה שאינה בת-מנייה מכילה קבוצה מושלמת ובכך להוכיח את השערת הרצף. אם מניחים את אקסיומת הבחירה, טענה זו אינה נכונה וניתן לבנות בלכסון דוגמה נגדית.

קנטור-בנדיקסון
קנטור-בנדיקסון