נגזרת חלשה

נגזרת חלשה היא מושג בחשבון אינפיניטסימלי המהווה הכללה של מושג הנגזרת של פונקציה, ומתייחס גם לפונקציות לא-גזירות, שהן אינטגרביליות לפי לבג. הגדרה רחבה זו נעשית באמצעות פונקציית מבחן - פונקציה חלקה עם תומך קומפקטי המתאפסת מחוץ לקטע חסום כלשהו. הנגזרת החלשה של פונקציה גזירה שווה לנגזרת המקורית (החזקה) של הפונקציה, ובמובן זה נגזרת חזקה היא מקרה פרטי של נגזרת חלשה.

הגדרה
תהא  פונקציה בתת-מרחב  אנו אומרים ש- ב היא נגזרת חלשה של  אם,

לכל הפונקציות הדיפרנציאביליות בתחום בלתי מוגבל  אם  . הגדרה זו נובעת משילוב של טכניקת האינטגרציה בחלקים.

הכללה ל- ממדים: אם  ו -  הן במרחב  של פונקציות אינטגרביליות באופן מקומי עבור חלק מהקבוצה הפתוחה , ואם  הוא רב מדד (מולטי אינדקס ), אנו אומרים כי  היא - נגזרת חלשה של  אם,

לכל , כלומר, לכל הפונקציות הדיפרנציאביליות בכל התחום והנתמכות קומפקטית ב-. אם ל- יש נגזרת חלשה, נגזרת זו לעיתים קרובות נכתבת כך: , מכיוון שנגזרות חלשות הם ייחודיות (לפחות, עד לקבוצה ממידה אפס, ראה להלן).

דוגמאות

 לפונקציית הערך המוחלט |u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, שאינה דיפרנציאבילית ב-t = 0, יש נגזרת חלשה-v שידועה כפונקציית הסימן שניתנת על ידי:

למעשה, כל פונקציה הזה לפונקציה v בכ נקודה פרט לנקודה 0 היא נגזרת חלשה של u, כלומר, ניתן להחליף את הערך בנקודה 0 והפונקציה ניתן להחליף את ערך הפונקציה v בנקודה 0 בכל ערך והפונקציה תישאר נגזרת חלשה של u. זאת ועוד, v איננה הנגזרת החלשה היחידה של u: כל פונקציה w השווה ל-v כמעט בכל מקום מהווה גם היא נגזרת חלשה של u. בדרך כלל, זו אינה בעיה, מאחר שבתאוריה של במרחבי Lp וחללי Sobolev, שניהם ממלאים תפקידים דומים כמעט בכל מקום מזוהה.

 הפונקציה האופיינית של המספרים הרציונליים,  , אינה גזירה באף נקודה אך יש לה נגזרת חלשה. היות שמידת לבג של המספרים רציונליים היא אפס, כלומר, מתקיים:  ניתן להתעלם מהם ולקבל  נגזרת חלשה , תוצאה שאינה מפתיעה היות שבמרחב Lp,   מזוהה עם הפונקציה אפס.

תכונות

אם שתי פונקציות הם נגזרות חלשות של אותה פונקציה, הן שוות עד כדי קבוצה עם מידת לבג אפס, כלומר, הם שוות כמעט בכל מקום. אם ניקח בחשבון כיתות שקילות של פונקציות, שבו שתי פונקציות הן שווה ערך אם הם שוות כמעט בכל מקום, אזי הנגזרת החלשה היא ייחודית.
כמו כן, אם U גזירה במובן המקובל אז הנגזרת החלשה שלה זהה (במובן שניתן לעיל) לנגזרת (חזקה) הקונבנציונלית שלה, ולכן הנגזרת החלשה היא הכללה של הנגזרת הרגילה. יתר על כן, הכללים הקלסיים לנגזרות של סכומים ומכפלות של פונקציות תקפים גם לנגזרת החלשה.

מושג זה מעה את ההגדרה של פתרונות חלשים במרחבי Sobolev, השימושיים בפתרון בעיות משוואות דיפרנציאליות ובאנליזה פונקציונלית.

קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי