משפט רליך-קונדרשוב

באנליזה פונקציונלית, משפט רליך-קונדרשוב הוא משפט לגבי שיכון קומפקטי (כלומר, שיכון רציף שהוא גם אופרטור קומפקטי) בין שני מרחבי סובולב. המשפט קרוי על שם המתמטיקאי הגרמני-אוסטרי פרנץ רליך והמתמטיקאי הרוסי ולדימיר קונדרשוב.

ניסוח המשפט

תהי  קבוצה פתוחה, חסומה וליפשיצית ויהי .

נגדיר .

אזי מרחב הסובולב  ניתן לשיכון רציף במרחב ה-Lp  ולשיכון קומפקטי במרחב  לכל .

כלומר,  וגם .

תוצאות

היות ששיכון הוא קומפקטי אם ורק אם אופרטור השיכון (הזהות) הוא אופרטור קומפקטי, נובע ממשפט רליך-קונדרשוב שלכל סדרה חסומה במידה שווה במרחב  קיימת תת-סדרה המתכנסת במרחב . המסקנה הזאת ידועה כמשפט הבחירה של רליך-קונדרשוב.

משפט רליך-קונדרכוב שימושי להוכחת אי-שוויון פואנקרה לפיו לכל  (כאשר  עומד בתנאי משפט רליך-קונדרכוב) מקיים:

כאשר הקבוע C תלוי רק בערך p ובתכונות הגאומטריות של  וכן

הוא הערך הממוצע של u בתחום .

הערות שוליים

רליך-קונדרכוב