תת-מרחב שמור

באלגברה ליניארית, תת-מרחב שמור (או תת-מרחב אינוַריאנטי) של העתקה ליניארית , הוא תת-מרחב וקטורי שהעתקה  שולחת את הווקטורים שלו בחזרה לעצמו.

אם  תת-מרחב שמור של  אז ניתן לצמצם את  לתת-המרחב  ולקבל: 

הגדרה
יהי  תת-מרחב ב- ותהי : העתקה ליניארית. נאמר ש  תת-מרחב שמור  של  אם .

תהי  מטריצה ריבועית מסדר  מעל שדה . נאמר ש־ הוא תת-מרחב שמור  של  אם לכל  מתקיים .

דוגמה פשוטה
נגדיר העתקה ליניארית באופן הבא:

אזי תת-המרחב  הוא תת-מרחב שמור , וניתן לכתוב את ההעתקה המצומצמת של  עליו באופן הבא: .

דוגמאות נוספות
יהי  מרחב וקטורי ו־ העתקה ליניארית, אזי:
  עצמו ותת-מרחב האפס תתי-מרחב שמורי .
 אם  ערך עצמי של , אזי המרחב העצמי של  הוא שמור .
  וגם  תתי-מרחב שמורי .

תכונות
משפט הפירוק היסודי (פרימרי)
יהי  מרחב וקטורי בעל ממד סופי,  העתקה ליניארית ויהי  הפולינום המינימלי של , נוכל להציג את  כמכפלה של גורמים אי פריקים
.

אזי  פירוק ישר של  לתתי-מרחב שמורי .

בנוסף אם  לכסינה, אזי הפירוק הוא לתתי-מרחב עצמיים של .

 פעולות על המרחב 
יהי  תתי-מרחב שמורים  של , אזי:
  תת-מרחב שמור .
  תת-מרחב שמור .
 אם  מרחב עצמי של , אזי כל תת-מרחב של , הוא תת-מרחב שמור .

תת-מרחב ציקלי
יהי  וקטור במרחב וקטורי כלשהו ו־ העתקה ליניארית. אזי קיים  מקסימלי, כך ש  קבוצה של וקטורים בלתי תלויים.

תת-המרחב  אשר  הוא בסיס שלו נקרא תת-מרחב ציקלי של  ביחס ל- ול-, והוא תת-מרחב שמור ה־ הקטן ביותר המכיל את .

הטלות

יהי  מרחב וקטורי בעל ממד  המחולק לסכום ישר של  תתי-מרחב, לכל תת-מרחב  נצמיד הטלה , אזי  הם שמורי  אם ורק אם  לכל .

קטגוריה:אלגברה ליניארית