משפט לוסטרניק-שנירלמן

בטופולוגיה, משפט לוסטרניק-שנירלמן הוא משפט הקובע ששתי הטענות הבאות נכונות:
 בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות סגורות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.
 בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות פתוחות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.

המשפט שוער לראשונה במאמר של לזר לוסטרניק ולב שנירלמן מ-1930. המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם שהוכח ב-1933.

למעשה נכון משפט כללי יותר שמכליל את שתי הגרסאות המקוריות של המשפט:
 בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות, שכל אחת מהן פתוחה או סגורה, יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.

הוכחה
מספיק להוכיח את המשפט ל- שהיא ספירת היחידה ה-n-ממדית (אוסף כל הנקודות ב- שמרחקן מהראשית הוא 1).

נוכיח כי המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם הקובע שלכל פונקציה רציפה  קיימת נקודה  כך ש-.

המקרה הסגור מתוך בורסוק-אולם
במרחב מטרי, המרחק בין נקודה x לקבוצה A, , מוגדר כאינפימום של אוסף המרחקים בין x לכל אחת מנקודות A. לפי הגדרת הסגור, אם  אז .

יהי  אוסף של n+1 קבוצות סגורות המכסות את . נגדיר פונקציה  כך:

 בבירור רציפה ולכן לפי משפט בורסוק-אולם קיים  כך ש-. בפרט אם קיים  כך ש- אז גם . אולם  סגורה ושווה לסגור שלה, ולכן במקרה כזה  הן זוג נקודות אנטיפודיות הנמצאות ב-.

נותר המקרה בו  לכל . במקרה כזה  לא נמצאות באף אחת מן הקבוצות  (כי מרחקן מכל אחת מהן חיובי) ולכן הן חייבות להימצא יחדיו ב-.

 המקרה הפתוח מתוך המקרה הסגור 
יהי  אוסף של n+1 קבוצות פתוחות המכסות את . לכל  ולכל  נבחר סביבה פתוחה קטנה מספיק  כך ש-. איחוד כל הסביבות  לכל ה-x וה-i הוא כיסוי פתוח של . הספירה היא קבוצה קומפקטית ולכן יש לכיסוי תת-כיסוי סופי . נאחד את כל הקבוצות  המוכלות באותה קבוצה . זהו איחוד סופי של קבוצות סגורות ולכן לכל i נקבל קבוצה סגורה . קיבלנו כיסוי  של הספירה, ולכן לפי המקרה הסגור קיימים  ונקודה  כך ש- כפי שרצינו להוכיח.

 המקרה הכללי מתוך המקרה הפתוח 
יהי  אוסף של n+1 קבוצות סגורות או פתוחות המכסות את . לכל  סגורה נגדיר . ולכל  פתוחה נגדיר . לכל k,  כיסוי פתוח של , ולכן לפי הגרסה הפתוחה קיימים  וזוג נקודות . אם ל-k כלשהו  פתוחה סיימנו, כי . לכן נניח שלכל k  סגורה. הסדרה  היא סדרה אינסופית שמקבלת מספר סופי של ערכים (שלמים ) ולכן יש מספר  שמופיע בה אינסוף פעמים. נסתכל על תת-סדרה מתכנסת של הסדרה  שאיבריה מקיימים . נסמן את גבולה . מתקיים . ולכן, מכיוון שהנחנו ש- סגורה, מתקיים . מאותה סיבה מתקיים .

בורסוק-אולם מתוך המקרה הסגור
למה. ניתן לכסות את  באמצעות n+1 קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים. 

הוכחה. נמקם סימפלקס במרחב ה-n ממדי כך שהראשית נמצאת במרכז הסימפלקס. כעת נטיל את n+1 פאות הסימפלקס על הספירה  באמצעות קרניים שיוצאות מהראשית. קל לראות שתמונת הפאות הן הקבוצות הסגורות הנדרשות.

הוכחת בורסוק-אולם. נניח בשלילה שקיימת פונקציה  כך שלכל  מתקיים . אזי הפונקציה  המוגדרת לפי  מוגדרת היטב (כי המכנה לא מתאפס) ורציפה. נשים לב כי לכל  מתקיים .

יהי  כיסוי של  באמצעות קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים.  הוא כיסוי של  באמצעות קבוצות סגורות, ולכן לפי משפט לוסטרניק-שנירלמן קיימים . אולם אז  וגם  בסתירה לטענה ש- אינה מכילה אנטיפודים.

שימושים
משפט לוסטרניק-שנירלמן עומד בבסיס הוכחה פשוטה למשפט לובאס-קנזר בתורת הגרפים, מה שמדגים את היותו כלי חשוב בקומבינטוריקה טופולוגית.

ראו גם
השערת בורסוק
לקריאה נוספת
Matoušek, Jiří (2003). Using the Borsuk–Ulam theorem. Berlin: Springer Verlag. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. 

לוסטרניק-שנירלמן
לוסטרניק-שנירלמן
קטגוריה:הוכחות