עקום המומנטים

במתמטיקה, עקום המומנטים הוא עקום אלגברי במרחב האוקלידי ה-n-ממדי המוגדר כאוסף הנקודות מהצורה  לכל  ממשי. למשל, במישור, עקום המומנטים הוא פרבולה.

כל על-מישור במרחב חותך את עקום המומנטים בלכל היותר n נקודות (למשל ישר במישור חותך פרבולה בשתי נקודות לכל היותר). תכונה זו שימושית במיוחד בגאומטריה דיסקרטית ובקומבינטוריקה טופולוגית. בענפים אלו משתמשים בעקום המומנטים כדי לקודד מידע גאומטרי-טופולוגי (חיתוך בין גופים מרחביים) ולתרגמו למידע קומבינטורי (מספר נקודות החיתוך).

תכונות
על-מישור במרחב ה-n-ממדי מוגדר כקבוצה מהצורה , כאשר  וקטור כיוון ו-d סקלר קבועים. אם  מספר ממשי כך שעקום המומנטים בנקודה t חותך את העל-מישור  אז מתקיים: . זוהי משוואה פולינומית ממעלה n ולכן יש לה לכל היותר n פתרונות שונים. מכאן שעקום המומנטים חותך כל על-מישור בלכל היותר n נקודות.

אם החיתוך בין על-מישור לעקום המומנטים מכיל בדיוק n נקודות, אזי הפולינום המתאים ספרבילי (הנגזרת בחיתוך אינה מתאפסת) ועקום המומנטים חוצה בכל נקודת לצד השני של העל-מישור.

עקום המומנטים נותן חסם על מספר החלקים שאפשר לחלק גוף n-ממדי עם n על-מישורים. n על-מישורים חותכים את עקום המומנטים בלכל היותר  נקודות, ולכן מחלקים אותו ללכל היותר  חלקים. בעיה ידועה שואלת האם ניתן לחלק כל גוף עם מסה (שלא בהכרח מפוזרת באופן אחיד בתוכו) במרחב ה-n-ממדי ל- חלקים שווים במסתם באמצעות n על-מישורים. בישר ניתן לעשות זאת באמצעות משפט ערך הביניים. במישור ניתן באמצעות משפט הסנדוויץ'. ידוע שהדבר אפשרי במרחב התלת-ממדי והשאלה האם זה אפשרי במרחב הארבע ממדי עודנה פתוחה. לכל  הדבר לא אפשרי, כי  ולכן כלל לא ניתן לחלק את עקום המומנטים למספיק חלקים.

ראו גם
הלמה של גייל

קטגוריה:עקומים אלגבריים
קטגוריה:עקומות