הלמה של גייל

במתמטיקה, הלמה של גייל היא למה העוסקת בפיזור כללי של נקודות על פני הספירה ה-n-ממדית. הלמה קובעת שלכל  ו- טבעיים קיימת קבוצה בת  נקודות על פני הספירה כך שכל המיספירה פתוחה בספירה מכילה לפחות  נקודות מהקבוצה. הלמה הוכחה על ידי דייוויד גייל (David Gale) ב-1956.

קל לראות שזוהי התוצאה הטובה ביותר שבגדר האפשר. לכל  נקודות בספירה יש מעגל גדול  ממדי שעובר דרך כולן, והוא מחלק את הספירה לשתי המיספרות בנות  נקודות לכל היותר.

הוכחה
נוכיח טענה שקולה: קיימות קבוצה של נקודות  ב- כך שבכל חצי מרחב  ממדי שמוגדר על ידי על-מישור העובר דרך הראשית (תת מרחב וקטורי ממעלה ) יש לפחות  נקודות מהקבוצה. אפשר לתרגם טענה זו ללמה של גייל על ידי הטלה של  על ספירת היחידה  באמצעות קרניים היוצאת מהראשית (דרך כל נקודה במרחב מעבירים קרן היוצאת מהראשית והנקודה מועתקת לנקודת החיתוך של הקרן עם הספירה).

נבנה את הנקודות . נסתכל על עקום המומנטים ה- ממדי משוכן בעל-מישור בגובה 1: . נגדיר:  (למעשה יכולנו לבחור כל  נקודות שונות על העקום). יהי  על-מישור העובר דרך הראשית. אנו צריכים להוכיח שבכל צד שלו יש  נקודות לפחות.

החיתוך בין  לעל-מישור  הוא על-מישור  ממדי. על-מישור זה חותך את עקום המומנטים ב- נקודות לכל היותר (ראו בערך עקום המומנטים). מכאן ש- חותך את  ב- נקודות לכל היותר. אם החיתוך לא מכיל בדיוק  נקודות מתוך  נזיז את  כך שזה אכן יהיה. נעשה זאת כך: נתייחס אל נקודות החיתוך שכבר יש לנו עם  כציר ונסובב את  ביחס אליו עד ש- יפגוש נקודה נוספת של . נחזור על התהליך הזה שוב ושוב עד ש- יחתוך את  בדיוק  נקודות. מכיוון שבכל שלב שמרנו על נקודות החיתוך ולקחנו את האיבר הראשון של  שפגשנו, בשום שלב לא העברנו נקודות של  מצד אחד של  לצד השני. לכן מספר הנקודות בכל צד של העל מישור יכל רק לרדת. כמו כן מכיוון שיש  נקודות חיתוך, בהכרח  עובר מצד אחד של  לצד השני בכל נקודת חיתוך. 

נסמן את קבוצת  הנקודות החיתוך ב- ואת קבוצת  נקודות  שלא נמצאות על  ב-. נצבע את נקודות  באופן הבא: נקודה  תהיה שחורה אם  זוגי והנקודה נמצאת מימין ל-, או אם  אי-זוגי והנקודה נמצאת משמאל ל-. בהתאמה נקודה היא לבנה אם  זוגי והנקודה משמאל ל-, או אם  אי-זוגי והנקודה מימין ל-. נבחין כי שתי נקודות סמוכות ב- הן בצבעים שונים: אם בין  סמוכות יש מספר זוגי של נקודות מ-, אז הן באותו הצד ועם זוגיות שונה, ולכן צבעים שונים. ואם מפרידים ביניהן מספר אי-זוגי של נקודות מ- הן בצדדים שונים ומאותה זוגיות ולכן בצבעים שונים.

מכיוון שהצבע מתחלף בין שתי נקודות סמוכות, יש בדיוק  נקודות שחורות ובדיוק  נקודות לבנות. אם  נקודה שחורה, אז או שהיא מימין ל- ו- זוגי ולכן  מימין ל-. או שהיא משמאל ל- ו- אי-זוגי ולכן  מימין ל-. קיבלנו שכל הנקודות השחורות מתאימות ל- מימין ל-, ובאופן דומה כל הנקודות הלבנות מתאימות ל- משמאל ל-, ולכן יש בדיוק  נקודות מבין  בכל צד של . נזכור שהזזנו את  באופן שהחסיר נקודות מהצדדים, ולכן יש לפחות  נקודות בכל צד של  המקורית.

גייל
קטגוריה:הוכחות