מכפלה חצי ישרה

מכפלה חצי ישרה של חבורות היא פעולה היוצרת משתי חבורות  ו- חבורה חדשה .

 הגדרה 
ישנם שני מושגים הקשורים קשר הדוק שנקראים מכפלה חצי ישרה של חבורות:
 בהינתן חבורה  ושתי תתי-חבורות שלה ניתן להגדיר מתי  היא מכפלה חצי ישרה שלהן.
 בהינתן שתי חבורות ניתן להגדיר את המכפלה החצי ישרה שלהן.
מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורות
חבורה  נקראת מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורת שלה  אם מתקיים:
  נורמלית ב-

 , כלומר כל איבר ב-  ניתן לכתוב כמכפלה של איבר ב-  ואיבר ב-.

מכפלה חצי ישרה אבסטרקטית
יהיו  ו- חבורות. נניח ש- פועלת על  באמצעות אוטומורפיזם, כלומר: נתון הומומורפיזם  המתאים לכל איבר ב- אוטומורפיזם על . לשם קיצור נסמן .

נגדיר פעולת כפל על הקבוצה  באופן הבא:
 .
זו חבורה מסדר  (שכן יש יחידה  וכל איבר הפיך ) שנסמנה .

קשר בין המושגים
אם  היא מכפלה חצי ישרה של שתי תתי-חבורות שלה  ו-, אז יש איזומורפיזם טבעי בין המכפלה החצי-ישרה (האבסטרקטית) שלהן (כחבורות) ל- כאשר הפעולה של  על  היא פעולת ההצמדה. 

יש שיכון טבעי של  ו- ל-:
, 
.
שיכון זה מאפשר לחשוב על  ו- כעל תת-חבורות של . תחת שיכון זה  היא המכפלה החצי ישרה של תתי-החבורות  ו-, שכן  ו- תת-חבורה נורמלית של .

קישורים חיצוניים


קטגוריה:תורת החבורות