סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת כפי שמכונה במערכת החינוך בישראל, היא למעשה טור הנדסי אינסופי – סכום אינסופי של איברי סדרה הנדסית. במתמטיקה התקנית מבחינים בין “סדרה” (Sequence), שהיא רשימת איברים, לבין “טור” (Series), שהוא סכום של איברי סדרה. לכן, אף על פי שהשם הנפוץ בבתי הספר משתמש במונח “סדרה”, מבחינה מתמטית נכונה מדובר בטור ולא בסדרה.

המינוח “סדרה הנדסית אינסופית” נוצר בעקבות תרגום מילולי שגוי של המונח בשפה האנגלית “infinite Geometric series ”. באנגלית המילה “series” מציינת טור, אך בעברית המילה “סדרה” משמשת בהקשר אחר לחלוטין. תרגום זה הופיע בספרי לימוד ובחומרי משרד החינוך, ומאז התקבע במערכת החינוך, אף שאינו משקף במדויק את המושג המתמטי.

טור הנדסי אינסופי מוגדר כסכום של איברי סדרה הנדסית בעלת מנה קבועה. הטור מתכנס לערך סופי רק כאשר ערכה המוחלט של המנה קטן מ-1. זהו אחד הטורים הפשוטים והמוכרים באנליזה מתמטית, ומשמש בסיס להבנת טורים מתכנסים בכלל.

לפיכך, אף שהשם “סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת” מקובל בישראל, מקובל בעולם המתמטי להשתמש במונח “טור הנדסי אינסופי”, והוא מתאר במדויק את מהות האובייקט המתמטי.

סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת (טור הנדסי) הוא:

הוכחת נוסחת סכום הטור ההנדסי 
שמאל|ממוזער|300 פיקסלים|תרשים להמחשת סכום טור הנדסי מתכנס  המתכנסת ל-2
נניח כי נתונה הסדרה ההנדסית האינסופית המתכנסת (טור הנדסי מתכנס) . על פי הגדרת הסדרה ההנדסית המתכנסת, מנת הסדרה מקיימת  ולכן .

את סכום הסדרה ההנדסית המתכנסת מסמנים  או לעיתים .

הסכום החלקי של סדרה הנדסית הוא:

ניתן לחשב אותו גם באמצעות הנוסחה:
.

משמעות העובדה שסכום הסדרה מתכנס היא שהגבול של הביטוי לסכום קיים. בניסוח אחר:

ניתן לראות זאת גם בדוגמה מספרית. סכום הסדרה המקיימת  מתכנס ל-2 לפי החישוב הבא:
.

ראו גם
סדרה הנדסית
טור הנדסי

קישורים חיצוניים

הנדסית