מרחב אי-פריק

מרחב אי-פריק X הוא מרחב טופולוגי לא ריק () שלא ניתן להציגו כאיחוד של שתי תת-קבוצות סגורות החלקיות ממש ל-X. מושג האי-פריקות שימושי במיוחד בגאומטריה אלגברית, בה נחקרות יריעות אלגבריות עם טופולוגיית זריצקי.

 הגדרה 

יהי  מרחב טופולוגי. נאמר ש-X הוא אי-פריק (Irreducible) אם מתקיימת אחת מהתכונות הבאות (שהן שקולות):
 X איננו איחוד של שתי תת-קבוצות סגורות השונות ממש מ-X.
 כל שתי תת-קבוצות פתוחות לא ריקות נחתכות לקבוצה לא ריקה.
 כל תת-קבוצה פתוחה של X שאינה ריקה היא צפופה ב-X.
אם אחת מהתכונות מתקיימת, כולן מתקיימות. תכונה 1 שקולה לתכונה 2 על ידי לקיחת משלים של קבוצות ביחס ל-X. תכונה 3 היא בעצם ניסוח אחר של תכונה 2.

תת-קבוצה  תיקרא אי-פריקה אם היא אי-פריקה בטופולוגיה המושרית כתת-מרחב של X.

 תכונות 
 אם M היא קבוצה אי-פריקה אזי M היא קבוצה קשירה.
 היא אי-פריקה אם"ם  היא אי-פריקה.

 מרכיב אי-פריק 

תת-קבוצה אי-פריקה מקסימלית ב-X נקראת מרכיב אי-פריק (או רכיב אי-פריק). מההגדרה והתכונה שהוזכרה לעיל נובע שמרכיב אי-פריק הוא קבוצה סגורה (אחרת  ו-M לא מקסימלית).

אם X הוא מרחב נתר אזי ל-X יש מספר סופי של מרכיבים אי-פריקים  והם מקיימים . בנוסף, כל תת-קבוצה אי-פריקה של X מוכלת באחד ממרכיבים אלה.

 שימושים 

בגאומטריה אלגברית קלאסית חוקרים יריעות אלגבריות, מדובר בקבוצות מהצורה

כאשר  הוא אידיאל ב-, חוג הפולינומים מעל שדה סגור אלגברית k. כאן,  עם טופולוגיית זריצקי. בטופולוגיה זו, כל הקבוצות מהצורה  מוגדרות להיות הקבוצות הסגורות, ואלה נקראות גם "קבוצות אלגבריות". קבוצה אלגברית  היא אי-פריקה אם ורק אם הרדיקל של האידיאל  (כלומר ) הוא אידיאל ראשוני.

 דוגמאות 
 יהי k שדה סגור אלגברית. אזי k אי-פריק בטופולוגיית זריצקי, ובפרט קשיר.
 באופן כללי יותר, גם  הוא אי-פריק בטופולוגיית זריצקי.

אי-פריק
קטגוריה:גאומטריה אלגברית