משפט הפרפר

משפט הפרפר הוא משפט בגאומטריה אוקלידית.

יהי PQ מיתר נתון כלשהו במעגל, ש-M היא נקודת האמצע שלו. נעביר דרך M שני מיתרים נוספים, AB ו-CD, כך ש-A ו-C באותה קשת שהמיתר PQ קובע. מעבירים את המיתרים AD ו-BC ומסמנים את נקודות החיתוך שלהם עם PQ ב-X וב-Y בהתאמה. המשפט קובע כי מתקיים MX=MY.

המשפט קרוי "משפט הפרפר" בשל העובדה שהבנייה הנתונה בו דומה לפרפר. למשפט זה אין כמעט שימושים והוא ידוע בעיקר בשל האתגר שבהוכחתו. למרות הניסוח הפשוט של המשפט, הוא קשה להוכחה. בשל כך הוא ידוע גם כ"בעיית הפרפר".

הוכחה
נעזר בעובדה הבאה: אם לשני משולשים יש זווית זהה, אז יחס השטחים שלהם שווה ליחס בין הצלעות הכולאות אותה. הדבר נובע מן הנוסחה: .

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו, וזוויות קודקודיות שוות זו לזו, כלומר: , , , 

כתוצאה מהעובדה שהוזכרה במשפט הראשון נובעים ארבעת השוויונות הבאים:

הכפלת אגפי שמאל זה בזה מביאה לתוצאה 1, ולכן גם הכפלת אגפי ימין צריכה להביא לתוצאה זאת. לאחר ביטול איברים זהים מתקבל

, או  (1) .

לפי דרגה של נקודה: 

ובדומה לכך: 

נציב ב-(1): 

אבל MP=MQ, ולכן מתקבל:  ומכאן MX=MY. 

קישורים חיצוניים

 משפט הפרפר באתר cut-the-knot 
 אבי סינגלר, משפט "עניבת הפרפר" במעגל ובאליפסה


קטגוריה:משפטים בגאומטריה אוקלידית
קטגוריה:הוכחות