אי-שוויון התמורות

אי-שוויון התמורות הוא אי-שוויון שימושי המאפשר למצוא תמורות שנותנות ערך מקסימלי.

אם נתונות שתי N-יות סדורות  בעלות  איברים, כך שאיברי  מסודרים מהקטן לגדול (נסמן אותם ) ו- בסדר מסוים (נסמן אותם ), אז הביטוי  מקבל ערך מקסימלי כאשר גם איברי  מסודרים מהקטן לגדול. ערך מינימלי מתקבל כאשר הם מסודרים מהגדול לקטן.

הוכחה
טענת עזר: אם , אז .
הוכחה: ביטוי שקול הוא  או . כיוון שהביטויים בסוגריים הם שליליים, המכפלה שלהם חיובית.

הוכחת האי-שוויון: ניקח תמורה כלשהי על  ונחשב את הביטוי. נשים לב שאם קיימים שני מספרים  עבורם , אז נוכל להחליף ביניהם ולהגדיל את ערך הביטוי (על פי טענת העזר). נמשיך בתהליך עד שנגיע למצב שאיברי  מסודרים לפי הסדר. כיוון שבכל שלב הגדלנו את ערך הביטוי, הרי שבסיכומו של דבר הגדלנו אותו ולכן בתמורה שבה איברי  מסודרים לפי הסדר הערך גדול יותר מאשר זאת שבחרנו. כיוון שהסבר זה לא תלוי מאיזה תמורה התחלנו, הוא נכון לכל תמורה, ולכן התמורה בה איברי  מסודרים לפי הסדר היא זאת שנותנת את הערך המקסימלי.

ההוכחה שכאשר איברי  מסודרים מהגדול לקטן מתקבל ערך מינימלי אנלוגית לחלוטין.

קטגוריה:אי-שוויונות
קטגוריה:הוכחות