חוג אידיאלים חופשיים

בתורת החוגים, חוג אידיאלים חופשיים (באנגלית: free ideal ring; מקובל הקיצור fir) הוא חוג שבו כל אידיאל שמאלי הוא מודול חופשי בעל דרגה מוגדרת היטב. כל חוג כזה הוא תחום, היינו חוג ללא מחלקי אפס. הדוגמה המוכרת ביותר היא חוג חופשי. תכונת האידיאלים החופשיים, וגרסאותיה השונות המוצגות להלן, מכלילות את אלגוריתם החילוק של חוגים אוקלידיים, ומספקות מידע חשוב על מטריצות מעל חוגים כלליים. את התאוריה של חוגי אידיאלים חופשיים פיתח פול כהן .

מעל חוג אידיאלים חופשיים, כל תת-מודול של מודול חופשי הוא חופשי. כל חוג אידיאלים חופשיים הוא בעל ממד גלובלי 1. בנוכחות תנאי אור, חוגי אידיאלים חופשיים אינם אלא חוגי אידיאלים שמאליים ראשיים. בפרט, עבור חוגים קומוטטיביים, חוג הוא בעל אידיאלים חופשיים אם ורק אם הוא ראשי.

מכפלה חופשית של שני חוגי חילוק, מעל תת-חוג עם חילוק משותף, היא fir. ב-fir מתקיימת הגרסה הבאה של פירוק יחיד לגורמים: כל איבר ניתן לכתיבה כמכפלה של מספר סופי של אטומים (אטום הוא איבר לא הפיך שאינו ניתן לכתיבה כמכפלה של איברים לא הפיכים), ואם שתי מכפלות שוות, אז עד כדי סדר, הגורמים "דומים";  דומים אם חוגי המנה  איזומורפיים.

 הכללות 

חוג שבו כל אידיאל שמאלי נוצר סופית הוא חופשי בעל דרגה מוגדרת היטב, נקרא חוג אידיאלים חופשיים למחצה (semifir). כל fir הוא semifir. חוג שבו כל אידיאל שמאלי הנוצר על ידי לכל היותר  יוצרים הוא חופשי בעל דרגה מוגדרת היטב, נקרא חוג אידיאלים n-חופשיים (n-fir). לכן חוג הוא semifir אם ורק אם הוא n-fir לכל , ומחלקת ה-n-fir-ים הולכת וקטנה כאשר  גדל. תנאים אלו, בניגוד לתנאי ה-fir עצמו, הם סימטריים להחלפת ימין ושמאל. כל חוג הוא 0-fir. חוג הוא 1-fir אם ורק אם הוא תחום. מודול מעל semifir הוא שטוח אם ורק אם כל תת-מודול נוצר סופית שלו הוא חופשי.

חוג קומוטטיבי הוא 2-fir אם ורק אם הוא semifir, אם ורק אם הוא תחום בזו. באופן כללי יותר, עבור תחומים המקיימים את תנאי אור, כל 2-fir הוא semifir, ותנאי זה שקול לתכונת בזו משמאל. 

כל semifir מוכל בחוג עם חילוק (ויש חוג חילוק אוניברסלי ביחס לתכונה זו).

 תחומי סילבסטר 

עבור כל חוג R אפשר להגדיר את הדרגה הפנימית  של מטריצה מלבנית A מעל R, בתור המספר הקטן ביותר של עמודות של A (ושורות של B) המאפשר פירוק למטריצות מלבניות . מעל שדה, הדרגה הפנימית מתלכדת עם הדרגה הקלאסית.

תחום סילבסטר הוא תחום שבו מתקיים התנאי  לכל שתי מטריצות מלבניות, כאשר n הוא מספר העמודות של A (השווה למספר השורות של B). מתברר שדי להניח את התכונה הזו כאשר AB=0. 

תחומי סילבסטר נקראים כך על שם ג'יימס ג'וזף סילבסטר, שהוכיח את התכונה לעיל מעל שדות (וכך הראה שכל שדה הוא תחום סילבסטר). Dicks-Sontag הראו (1978) שכל semifir הוא תחום סילבסטר.

קטגוריה:תורת החוגים