הכפלת הקובייה

הכפלת הקובייה היא אחת מהבעיות הגאומטריות של ימי קדם. הבעיה נוסחה על ידי היוונים הקדמוניים, ונשארה פתוחה במשך מאות שנים, עד שהוכחה ב כבלתי-פתירה באמצעות תורת גלואה.

הבעיה היא: "כיצד ניתן להכפיל נפח של קובייה נתונה באמצעות סרגל ומחוגה?" כלומר, בהינתן מקצוע של קובייה, כיצד ניתן לבנות את המקצוע של הקובייה הכפולה ממנה בנפחה. בעיה זאת שקולה לבניית המספר .

היסטוריה
הבעיה מבוססת על סיפור לפיו באתונה פרצה מגפה. לשאלת התושבים כיצד ניתן לעצור אותה, ענתה האורקל שעליהם להכפיל את נפחו של מזבח אפולו, שצורתו הייתה קובייה. התושבים ניסו לבצע זאת על ידי הכפלת אורך המקצוע, אך פתרון זה הוא שגוי משום שלמעשה הוא מכפיל את נפח הקובייה פי 8. באופן כללי, אם מגדילים את המקצוע פי , אזי נפח הקובייה גדל פי . לכן כדי להכפיל את נפחה של קובייה יש להגדיל את הצלע פי . לאחר שהבינו את הבעיה, ניסו את כוחם במציאת דרך לבניית קובייה כפולה בנפחה, אך ללא הצלחה.

התפתחות חשובה בחיפוש הפתרון התרחשה כאשר מצא היפוקרטס מכיוס ניסוח חילופי:
נתון קטע, יש למצוא שני קטעים כך שהראשון ממוצע גאומטרי של הקטע הנתון ושל השני, ואילו השני ממוצע גאומטרי של הראשון ושל קטע כפול מהקטע הנתון.
לאמר, אם נתון קטע באורך , יש למצוא  עבורם . קל לראות כי .
הוא ומנכמוס הראו גם שניתן לפתור בעיה זאת על ידי מציאת חיתוך של פרבולה והיפרבולה או שתי היפרבולות.

בשנת 1837 הוכיח המתמטיקאי הצרפתי  כי  איננו שייך לשדה המספרים הניתנים לבנייה, ולפיכך הבעיה בלתי-פתירה.

הוכחה
ניתן להראות שכל המספרים הניתנים לבנייה שייכים לשדה  המהווה הרחבה מממד  (כאשר  מספר טבעי כלשהו) של שדה המספרים הרציונליים, כיוון שחיתוך של שני ישרים משאיר את המספר באותו הממד, ואילו חיתוך של ישר עם מעגל או שני מעגלים יוצר הרחבה ריבועית.

נניח בשלילה כי  ניתן לבנייה בסרגל ובמחוגה, אזי מוכרח הוא להשתייך לשדה  כאמור. שדה זה חייב להכיל את השדה , שהוא הרחבה 3־ממדית של שדה המספרים הרציונליים. לכן מתקיים:

אך המספר 3 איננו מחלק של . סתירה.

ראו גם
הבעיות הגאומטריות של ימי קדם

קישורים חיצוניים

 הכפלת הקובייה


קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:בעיות לא פתירות במתמטיקה
קטגוריה:בנייה בסרגל ובמחוגה
קטגוריה:הוכחות
קטגוריה:נפח