סדרת לוקאס

במתמטיקה, סדרת לוקאס (על שם המתמטיקאי הצרפתי אדואר לוקאס) היא סדרה של מספרים שלמים שאיבריה מקיימים נוסחת נסיגה מהצורה , כאשר  קבועים. דוגמאות מוכרות לסדרות לוקאס הן סדרת פיבונאצ'י, מספרי מרסן, מספרי לוקאס וסדרת פל.

לדוגמה: 

הגדרה פורמלית
לאחר בחירת הקבועים , סדרת לוקאס מוגדרת באמצעות נוסחת הנסיגה , ותנאי ההתחלה הקובעים את . בפרט:
סדרת לוקאס עם  נקראת סדרת לוקאס מהסוג הראשון.
סדרת לוקאס עם  נקראת סדרת לוקאס מהסוג השני.

למשל:
 היא סדרת פיבונאצ'י.  הם מספרי לוקאס.
 היא סדרת פל.  היא סדרת פל-לוקאס.
 הם מספרי מרסן.
 היא סדרה בה נמצאים כל המספרים המשוכללים הזוגיים.

נוסחה מפורשת
את נוסחת הנסיגה של סדרת לוקאס אפשר לכתוב בעזרת מטריצות:

לכסון המטריצה מאפשר להגיע במהירות לנוסחה מפורשת של האיבר הכללי, התלויה בערכי ההתחלה. המשוואה האופיינית של סדרת לוקאס היא . נסמן את הדיסקרימיננטה , לפי נוסחת השורשים פתרון המשוואה הוא:

ולכן אם שני השורשים שונים אזי

ואם שני השורשים זהים אזי  כאשר מתקיים .

זהויות
סדרות לוקאס משני הסוגים עם אותם פרמטרים קשורות ביניהן בכמה זהויות בסיסיות. להלן טבלת זהויות עם המקרה הפרטי של סדרת פיבונאצ'י ומספרי לוקאס כדוגמה.

זהות כלליתמקרה פרטי            

קישורים חיצוניים

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:סדרת פיבונאצ'י
לוקאס