תחום פריפר

באלגברה קומוטטיבית, תחום פריפר (Prüfer domain) הוא תחום שלמות, שבו כל אידיאל נוצר סופית (שונה מאפס) הוא אידיאל הפיך (ראו הגדרה להלן). תחומים אלה מהווים אחת ההכללות החשובות ביותר של תחום דדקינד, תוך ויתור על הנחת הנותריות. תחומי פריפר הם תחומי השלמות שהם תורשתיים למחצה.

את החוגים האלו החל ללמוד היינץ פריפר ב-1932 (השם "תחומי פריפר" ניתן להם ב-1956 בספרם של אלי קרטן וסמואל איילנברג), והם הפכו עד מהרה לאחד מהנושאים המרכזיים בחקר תחומי השלמות, בעיקר בשליש האמצעי של המאה ה-20.

 הגדרות שקולות 

הנוכחות של תחומי דדקינד בגאומטריה אלגברית ובתורת המספרים האלגברית נובעת בין השאר מכך שאפשר להגדיר אותם בדרכים שונות רבות. גם לתחומי פריפר יש הגדרות שקולות המשלבות רעיונות מכיוונים שונים:

תחום שלמות  הוא פריפר אם ורק אם הוא מקיים לפחות אחת מהתכונות השקולות הבאות (ואז הוא מקיים את כולן): 
 כל אידיאל נוצר סופית  (שונה מאפס) הוא הפיך, כלומר, יש אידיאל שברי נוצר סופית  כך ש- (בשפה מפורשת יותר, לכל  קיימים  כך שלכל  מתקיים , ו- ).
 אוסף האידיאלים השבריים הנוצרים סופית מהווה חבורה.
 כל מודול נוצר סופית חסר פיתול הוא פרויקטיבי.
 כל מודול חסר פיתול הוא שטוח.
 כל על-חוג הוא שטוח, כמודול מעל .
 כל אידיאל הוא שטוח.
 כל אידיאל נוצר סופית הוא שטוח.
 כל אידיאל נוצר סופית הוא פרויקטיבי (כלומר החוג תורשתי למחצה).
 המכפלה הטנזורית של שני אידיאלים היא חסרת פיתול.
 המכפלה הטנזורית של שני מודולים חסרי פיתול היא חסרת פיתול.
 סריג האידיאלים דיסטריבוטיבי, כלומר, לכל שלושה אידיאלים , מתקיים . 
 לכל שלושה אידיאלים  מתקיים . 
 לכל שלושה אידיאלים  מתקיים . 
 לכל שני אידיאלים  מתקיים .
 כל "על-חוג" (חוג המכיל את  ומוכל בשדה השברים שלו), הוא סגור בשלמות (integrally closed).
 לכל אידיאל ראשוני , המיקום  הוא תחום הערכה.
 לכל אידיאל מקסימלי , המיקום  הוא תחום הערכה.

 תכונות נוספות ודוגמאות 

בין החוגים הנתריים, תחומי פריפר אינם אלא תחומי דדקינד. כל תחום בזו הוא תחום פריפר; במקרה זה התכונה החסרה היא קיום מחלקים משותפים מקסימליים: תחום בזו אפשר להגדיר גם כתחום פריפר בעל gcd. המחלקה של תחומי פריפר סגורה למיקום במונויד כלשהו, ולמנה ביחס לאידיאל ראשוני. המיקום של תחום פריפר באידיאל ראשוני הוא תחום הערכה. 

שתי דוגמאות טיפוסיות לתחומי פריפר שאינם נתריים הן חוג השלמים האלגבריים, והחוג  של פולינומים רציונליים המקבלים ערכים שלמים. בדוגמה האחרונה אפשר להחליף את  ו- בכל תחום דדקינד שהמנות שלו סופיות, ושדה השברים המתאים.

 מקורות 

 Robert Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory, 1991; , section 40.
הערות שוליים

קטגוריה:תחומי שלמות