דרגה של אלגברה

באלגברה מופשטת, הדרגה של אלגברה מממד סופי היא המעלה של פולינום מינימלי גנרי של לאלגברה. הדרגה חסומה על ידי ממד האלגברה, ושווה לה במקרים מסוימים; למשל, הדרגה של הרחבת שדות ספרבילית שווה לממד. עם זאת, הדרגה יכולה להיות קטנה מהממד: הדרגה של אלגברת המטריצות  היא . לכן הדרגה חסומה על ידי ממד ההצגה הליניארית הקטנה ביותר של האלגברה. הדרגה אינה משתנה תחת הרחבת סקלרים. 

 הפולינום הגנרי 

תהי A אלגברה (אסוציאטיבית, או לכל הפחות אלגברה לא אסוציאטיבית שהיא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט), מממד סופי מעל שדה F. נבחר בסיס , ונתבונן באיבר  של האלגברה  המתקבלת מהרחבת סקלרים מ-F לשדה הפונקציות . במקרה כזה, קיים פולינום מינימלי מתוקן P המאפס את X, והוא נקרא הפולינום המינימלי הגנרי של A. הדרגה שווה למעלה של P.

לדוגמה, הדרגה של אלגברת המטריצות  היא m; וזו גם הדרגה של כל אלגברה פשוטה מממד  מעל למרכז שלה. אם  הן אלגברות מעל אותו שדה, אז דרגת הסכום הישר שלהן היא הדרגה הגדולה מבין השתיים. 

אלגברות (אפילו שאינן אסוציאטיביות) מדרגה 2 נקראות אלגברות ריבועיות. 

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:אלגברה