פעולה אסוציאטיבית

במתמטיקה, פעולה אסוציאטיבית היא פעולה בינארית המקיימת את חוק הקיבוץ. כלומר, אם נסמן את תוצאת הפעולה על איברים  על ידי  אז הפעולה מקיימת לכל  את השוויון . פעולות החיבור והכפל של מספרים הן דוגמאות חשובות לפעולות אסוציאטיביות. דוגמה כללית יותר היא פעולת ההרכבה של פונקציות (ראו להלן). קיימות עוד פעולות אסוציאטיביות רבות, כמו כפל מטריצות.

לפעולות אסוציאטיביות תפקיד מרכזי באלגברה מופשטת – מערכת הכוללת קבוצה עם פעולה אסוציאטיבית נקראת חבורה למחצה, והנחות נוספות על הפעולה מוליכות להגדרה של מונואיד ושל חבורה. בחוג הכפל הוא אסוציאטיבי (והחיבור הוא אסוציאטיבי וקומוטטיבי, ומתקיים חוק הפילוג של החיבור ביחס לכפל). באלגברה נלמדות גם מערכות שבהן הכפל אינו אסוציאטיבי.
__ללא_תוכן__
 פעולות בכמה איברים 

הרכבה של פעולות מאפשרת להגדיר בעזרת פעולה בינארית גם פעולות על מספר כלשהו של משתנים. למשל, בארבעה משתנים קיימות הפעולות . מספר הפעולות השונות שאפשר להגדיר באופן הזה, כאשר  הוא אופרטור בינארי, הוא מספר קטלן. אם הפעולה אסוציאטיבית, כל הפעולות יתנו אותה תוצאה.

 הכללות  

בדרך כלל המונח "פעולה אסוציאטיבית" מתייחס, כאמור, לפעולה בינארית, כלומר לפונקציה . עם זאת למלה "פעולה" יש גם משמעות רחבה יותר, והיא עשויה לחול על כל פונקציה דו-מקומית . 

בשפת תורת הקטגוריות, במצב שבו מוגדרות פעולות , , וכן  ו-, אומרים שהמערכת אסוציאטיבית (או שאחת הפעולות אסוציאטיבית ביחס לאחרות) אם הדיאגרמה
 קומוטטיבית.
הרכבה של פונקציות היא אסוציאטיבית במובן הכללי הזה: לכל שלוש פונקציות  מתקיים . 

כמו כן, גם פעולת הכפל בסקלר של מודול  מעל חוג  היא אסוציאטיבית במובן דומה: לכל  ו- מתקיים .

היעדר תלות בקומוטטיביות

אין קשר ישיר בין אסוציאטיביות לתכונה אחרת של פעולות בינאריות, קומוטטיביות: 
 ישנן פעולות שהן גם קומוטטיביות וגם אסוציאטיביות (לדוגמה: חיבור וכפל במספרים, AND, OR, XOR).
 ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות ולא אסוציאטיביות (לדוגמה: חיסור, חילוק וחזקה).
 ישנן פעולות שהן קומוטטיביות אבל לא אסוציאטיביות (למשל: הערך המוחלט של ההפרש, NOR, NAND).
 ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות אבל כן אסוציאטיביות (למשל: הפעולה המוגדרת לפי , או כפל מטריצות).

 ראו גם 

 אלגברה לא אסוציאטיבית

קישורים חיצוניים


קטגוריה:אלגברה
*1