משפט נגטה-היגמן

באלגברה, משפט נגטה-היגמן הוא משפט הקובע שכל אלגברה אסוציאטיבית (בלי יחידה)  מעל שדה ממאפיין 0, שהיא נילית מדרגה חסומה, היא נילפוטנטית. במילים אחרות

לכל  קיים קבוע  כך שאם  לכל , אז לכל , המכפלה  שווה לאפס. הקבוע  נמצא בטווח , ומשערים שהוא שווה לחסם התחתון, אבל ערכו המדויק אינו ידוע. 

 מאפיין חיובי 
המשפט, כפי שנוסח כאן, נכון גם כאשר המאפיין חיובי וגדול מ-, אבל במקרה הכללי הוא ידוע רק כאשר  נוצרת סופית. למעשה מתקיים העידון הבא: לכל  ולכל  יש קבוע 
 כך שכל אלגברה עם  יוצרים, מעל שדה ממאפיין , שכל אבריה נילפוטנטיים מדרגה  לכל היותר, היא נילפוטנטית מדרגה  לכל היותר. גם כאן הערך המדויק של  אינו ידוע; ל- קבוע קיים תת-מעריכי מהצורה , ואם מגבילים את המאפיין לטווח , ידוע גם חסם פולינומי ב- (אך דרגת הפולינום תלויה - לוגריתמית - ב-).

מעל שדה אינסופי (ממאפיין שרירותי) ישנו חסם פולינומי שניתן על ידי דומוקוש: . אם המאפיין גדול מ- (או 0), אזי .

 היסטוריה 

את המשפט הוכיחו ב-1943 Dubnov ו-Ivanov, אלא שמן הגרסה שלהם, שהתפרסמה באמצע המלחמה בכתב-עת רוסי, התעלמו עד שהתגלתה מחדש כארבעים שנה מאוחר יותר. ב-1952 

הוכיח Nagata את קיומו של חסם עליון, עצום בגדלו, למספרים , ובכך הוכיח את המשפט. הוא הראה גם שהמשפט אינו נכון, כלשונו, במאפיין חיובי. מעט אחר-כך, ב-1956

הוכיח גרהם היגמן את המשפט למאפיין חיובי גדול מ-, ומצא חסם עליון טוב יותר, מעריכי, וגם חסם תחתון ריבועי.

ב-1975 שיפר Kuzmin את החסם התחתון ל-, ושער שזהו שוויון (במאפיין אפס). השערה זו נבדקה ונמצאה נכונה עבור . 

בשפה של תורת הזהויות, המשפט קובע (במאפיין אפס) שלכל  קיים  כך ש- נמצא ב-T-אידיאל של ; כלומר,  שייך לאידיאל של האלגברה החופשית  הנוצר על ידי כל החזקות . תרגום הבעיה לשפת המטריצות הגנריות אִפשר ל-Razmyslov להוכיח את החסם , שהוא הטוב ביותר הידוע כיום.

הערות שוליים

קטגוריה:תורת החוגים
נגטה-היגמן