תת-חבורת פרטיני

בתורת החבורות, תת-חבורת פרטיני של חבורה נתונה שווה לחיתוך כל תת-החבורות המקסימליות של החבורה. תת-חבורת פרטיני של כל חבורה סופית היא נילפוטנטית. מקובל לסמן את תת-חבורת פרטיני של  ב- או ב-.

 איברים לא-יוצרים 

תת-חבורת פרטיני כוללת בדיוק את האיברים הלא-יוצרים של  (איבר הוא לא-יוצר אם גריעתו מקבוצה היוצרת את החבורה מותירה קבוצה יוצרת), ובכך היא דומה לרדיקל ג'ייקובסון מתורת החוגים. בדומה ללמה של נקיאמה, אם  נוצרת סופית אז  לכל תת-חבורה אמיתית  של .

 רק אם אין לחבורה תת-חבורות מקסימליות (לא טריוויאליות). כש- אבלית, זה קורה אם ורק אם  חליקה. בכל מקרה, כאשר  אבלית, .

 חבורות-p 

תת-חבורת פרטיני של חבורת-p  היא תת-החבורה הנוצרת על ידי הקומוטטורים וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן, אם  סופית, אז המנה  היא מהצורה  עבור  מתאים. במקרה זה, אפשר ליצור את החבורה על ידי  איברים, אבל לא פחות. את מספר היחסים בהצגה לפי יוצרים ויחסים אפשר לקרוא מחבורת ההומולוגיה השנייה : גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה, r, היא מספר היחסים המינימלי בכל הצגה של החבורה עם d יוצרים; וש-r יחסים מספיקים בקטגוריה הפרו-סופית. משערים שתמיד יש לחבורה הצגה עם  יוצרים ו- יחסים.

 נילפוטנטיות 

אם  חבורת-M (חבורה שיש לה סדרה נורמלית שבה כל המנות האינסופיות הן ציקליות; בפרט, אם היא סופית), אז היא נילפוטנטית. גם תת-חבורת פרטיני של כל חבורה ליניארית נוצרת סופית היא נילפוטנטית.

 הכלת הקומוטטורים 

לכל חבורה , חיתוך המרכז עם תת-חבורת הקומוטטורים  מוכל ב-. לעומת זאת,  אם ורק אם כל תת-החבורות המקסימליות של  הן נורמליות. התנאי הזה מתקיים אם  חבורה נילפוטנטית; גם להפך: אם  היא חבורת-M והיא נילפוטנטית, אז .

קישורים חיצוניים


קטגוריה:תורת החבורות