חסם צ'פמן-רובינס

בתורת האמידה ובסטטיסטיקה, חסם צ'פמן-רובינס (Chapman-Robbins Bound; לעיתים חסם המרסלי-צ'פמן-רובינס) הוא חסם תחתון על השונות של אומדים של פרמטרים דטרמיניסטיים. חסם זה הוא הכללה של חסם קרמר–ראו, ובהשוואה אליו - הוא הדוק יותר ומתאים למגוון רחב יותר של בעיות. עם זאת, חישובו לרוב מסובך יותר.

החסם נגזר לראשונה ובאופן בלתי-תלוי על ידי ג'ון המרסלי ב-1950 ועל ידי דאגלס צ'פמן והרברט רובינס ב-1951. זהו מקרה פרטי של חסם ברנקין (Barankin) המורכב יותר.

 החסם 
יהי  פרמטר דטרמיניסטי לא-ידוע, ויהיה  אומד של פונקציה כלשהי של הפרמטר, . יהי . הפילוג של  (שתלוי ב-), ונניח כי הוא מוגדר היטב וחיובי לכל  ולכל .

אם  הוא אומד חסר-הטיה של , כלומר:

אז לפי חסם צ'פמן-רובינס:
.

למעשה, אי השוויון (ללא הוצאת הסופרמום) מתקיים לכל , ולכן החסם ההדוק ביותר הוא כאשר הביטוי מקבל את הסופרמום שלו לפי . התנאי לקיומו של החסם הוא שהתומך של  יהיה מוכל בתומך של .

 הקשר לחסם קרמר–ראו 
חסם צ'פמן-רובינס (הביטוי ללא הסופרמום) מתכנס לחסם קרמר–ראו כאשר , בהנחה שהתנאים הרגולריים הדרושים מתקיימים (ראו בערך). מתוך כך, חסם צ'פמן-רובינס הוא תמיד הדוק לכל הפחות כמו קרמר–ראו. יתר על-כן, חסם צ'פמן-רובינס קיים תחת תנאים רגולריים חלשים משמעותית מאלו של חסם קרמר–ראו. כך למשל, להוכחת החסם לא נדרש כי הפילוג  יהיה גזיר. במקרים כאלו, האינפורמציה של פישר לא מוגדרת, ולכן חסם קרמר–ראו לא קיים.

 הוכחת החסם 
 הוא משערך חסר-הטיה, ולכן מתקיים:

חיסור המשוואות:

בנוסף מתקיים:

נחסיר בין שתי המשוואות האחרונות, לקבלת:

כלומר:

העלאת המשוואה בריבוע ואי-שוויון קושי-שוורץ יניבו:

ומכאן:

שזהו החסם המבוקש.

 ראו גם 
 חסם קרמר–ראו
 תורת האמידה

 לקריאה נוספת 

צ'פמן-רובינס