אי-שוויון הלדר

אי-שוויון הלדר הוא אי-שוויון יסודי באנליזה מתמטית ובמיוחד באנליזה פונקציונלית. אי-שוויון זה מהווה הכללה משמעותית של אי-שוויון קושי-שוורץ, ומשמש כדי להוכיח את אי-שוויון מינקובסקי.

אי-השוויון הוכח על ידי המתמטיקאי הבריטי לאונרד ג'יימס רוג'רס  בשנת 1888, ובאופן לא תלוי על ידי המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר  בשנת 1889.

ניתן להוכיח את אי השוויון באמצעות אי-שוויון יאנג או באמצעות אי-שוויון ינסן.

אי-השוויון

המקרה הכללי ביותר של אי-השוויון הוא במרחבי מידה: יהי  מרחב מידה. עבור קבוע , לכל  נהוג לסמן:

יש לשים לב שביטוי זה מגדיר נורמה רק אם  (כלומר ).

אי-השוויון קובע שלכל  המקיימים , לכל זוג פונקציות מדידות , מתקיים כי:

אם מתקיים בנוסף כי  וכן גם , , אז אי השוויון הוא שוויון אם ורק אם  תלויות ליניארית במרחב , כלומר קיים  כך שמתקיים  כמעט תמיד ביחס ל-.

מקרים פרטיים חשובים

ניתן עוד לראות כי אי-השוויון מתקיים גם לסדרות, ביחס למרחבי מידה מתאימים:

עבור  כאשר .

באינדוקציה ניתן להכליל את אי-שוויון הלדר עבור מספר כלשהו של סדרות, לדוגמה:

כאשר  וגם 

כאשר  מתקבל אי-שוויון קושי-שוורץ:

ולכן סה"כ

הוכחה

נשים לב שלכל  מתקיימת הטענה הבאה: . זאת ניתן להוכיח בעזרת אי-שוויון ינסן שהרי  היא פונקציה קעורה ולכן: .

כעת נסמן  ולפי הטענה הנ"ל מתקיים  נכפיל את שני האגפים ב  ונקבל את אי השוויון הרצוי .

הוכחה דומה ניתן לספק עבור פונקציות חיוביות והאינטגרלים שלהן במקום סדרות חיוביות והסכום שלהן.

קישורים חיצוניים


הלדר