תת-מודול קטן

בתורת החוגים, תת-מודול קטן של מודול  מעל חוג , הוא תת-מודול  כך שלכל תת-מודול אמיתי , גם הסכום  אמיתי. במילים אחרות, לא ייתכן ש- אלא אם . תת-מודול האפס הוא תמיד קטן, אבל הטרמינולוגיה עשויה להטעות: אם יש למודול תת-מודול המכיל כל תת-מודול אמיתי אחר, אז הוא קטן.

 תכונות 

אוסף התת-מודולים הקטנים של מודול  סגור תחת "כלפי מטה" (כלומר, תת-מודול של תת-מודול קטן הוא קטן בעצמו), וגם תחת סכומים סופיים. אם  תת-מודול קטן של , אז הוא תת-מודול קטן של כל מודול המכיל את . הכיוון ההפוך נכון באופן חלקי מאד: אם  מוכל במודול  והוא קטן בסכום ישר , אז הוא קטן גם ב-. קטנות נשמרת תחת מנה בתת-מודול קטן, כלומר: אם  תת-מודול קטן של  המוכל בתת-מודול , אז  קטן ב- אם ורק אם המנה  קטנה ב-.

התכונה של תת-מודול להיות קטן ניתנת לאפיון פנימי:  הוא תת-מודול קטן של מודול כלשהו, אם ורק אם הוא תת-מודול קטן בסגור האינג'קטיבי של עצמו.

סכום תת-המודולים הקטנים של , כמודול מעל עצמו, הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג. הרדיקל עצמו הוא תת-מודול קטן, ולפי הלמה של נקאימה  הוא תת-מודול קטן של  לכל מודול נוצר סופית .

 ראו גם 
 תת-מודול גדול (נקרא גם תת-מודול עיקרי)

קטגוריה:תורת החוגים