שדה ציקלוטומי

בתורת המספרים האלגברית, שדה ציקלוטומי הוא שדה מספרים מהצורה , כלומר, הרחבה של שדה המספרים הרציונליים על ידי סיפוח של שורש יחידה מסדר n. משפט קרונקר-ובר מבסס את התפקיד המרכזי של השדות הציקלוטומיים בתורת המספרים האלגברית.

ההרחבה המתקבלת היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר . בפרט, ממד ההרחבה הוא , כאשר  היא פונקציית אוילר. הפולינום המינימלי של  הוא הפולינום הציקלוטומי .

כמה מהשדות הציקלוטומיים הראשונים הם

מדוגמאות אלה אפשר ליצור אחרות, משום שאם  זרים, אז . למשל .

את המצולע המשוכלל בעל  צלעות אפשר לבנות בסרגל ובמחוגה (במילים אחרות, השדה הציקלוטומי  מוכל בשדה המספרים הניתנים לבניה) אם ורק אם  הוא חזקה של שתיים; דבר זה קורה אם ורק אם  הוא חזקת 2, כפול מכפלה של ראשוניי פרמה שונים, כדוגמת 3,5,17 או 257. חבורת גלואה של השדה הציקלוטומי מאפשרת לחשב את קוסינוס הזווית במצולעים המשוכללים. לדוגמה,

כצעד ראשון בהבנת השדות הציקלוטומיים מתבוננים בשדה המתקבל מסיפוח שורש יחידה מסדר ראשוני , שאפשר להניח שהוא אי-זוגי. במקרה זה, חוג השלמים של השדה הוא המועמד הטבעי . הדיסקרימיננטה של ההרחבה  היא , ובהתאמה לזה השדה מכיל את השורש של  (בדוגמאות לעיל אפשר לראות ש- , ובדומה לזה ). זוהי דוגמה ראשונה למשפט קרונקר-ובר, שלפיו 
כל הרחבה אבלית  של המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי . הסדר  המינימלי כנ"ל נקרא הקונדקטור של K.

מחישוב הדיסקרימיננטה נובע שהראשוני המסועף היחיד בהרחבה  הוא ; ראשוני זה הוא מסועף לחלוטין: .

קישורים חיצוניים

קטגוריה:תורת המספרים האלגברית
קטגוריה:תורת השדות
קטגוריה:סדרות של מבנים אלגבריים