חבורת קווטרניונים מוכללת

בתורת החבורות, חבורת קווטרניונים מוכללת היא חבורה שיש לה הצגה מהצורה  לשלם n כלשהו. זוהי חבורה מסדר , שמקובל לסמן ב-. חבורת הקווטרניונים הסטנדרטית היא החבורה , המתאימה למקרה n=2.

אפשר להציג חבורת קווטרניונים מוכללת באמצעות מטריצות בגודל  מעל , כחבורה הנוצרת על ידי , כאשר  הוא שורש היחידה הפרימיטיבי מסדר n. חבורה זו מוכלת באלגברת הקווטרניונים של המילטון, שם היא נוצרת על ידי  ו- .

כל תת-חבורה אבלית של  היא ציקלית. כל חבורת-p סופית עם תכונה זו היא או ציקלית, או חבורת קווטרניונים מוכללת. בחבורת קווטרניונים מסדר חזקת-2 יש תת-חבורה יחידה מסדר 2, ושוב, כל חבורת-p סופית שיש לה תת-חבורה יחידה מסדר p היא או ציקלית או חבורת קווטרניונים מוכללת. כל חבורה סופית שכל תת-החבורות שלה הן נורמליות היא או אבלית, או מכפלה ישרה של חבורת קווטרניונים מוכללת מסדר חזקת-2 וחבורת-2 אבלית אלמנטרית (כלומר, מכפלה ישרה של עותקים של החבורה הציקלית מסדר 2).

חבורת 2-סילו של חבורת המטריצות  מעל שדה סופי F מסדר אי זוגי, היא חבורת קווטרניונים מוכללת.

 מקורות 
Group Theory, Scott.

קטגוריה:משפחות של חבורות
קטגוריה:סדרות של מבנים אלגבריים
en:Quaternion group#Generalized quaternion group