כיסוי מאוזן (של משחק)

כיסוי מאוזן הוא מושג בתורת המשחקים השיתופיים. 
הגדרה : יהי  משחק בצורה קואליציונית, הכיסוי המאוזן של המשחק הוא המשחק  כך ש- הוא המינימלי המקיים  לכל s וכן שהמשחק  הוא משחק מאוזן לחלוטין.

מושגים רלוונטיים והגדרה
הליבה של משחק בצורה קואליציונית היא אוסף וקטורי התשלומים הסבירים קבוצתית (מתארים אפשרויות חלוקה של שווי הקואליציה שלא יעודדו תת-קבוצה של הקואליציה ליצור קואליציה משלהם).
יהי  משחק בצורה קואליציונית. תת-משחק שלו  הוא המשחק בצורה קואליציונית שבו  קבוצת שחקנים לא ריקה ו- היא הפונקציה הקואליציונית המצומצמת לקואליציות המוכלות ב-
משחק מאוזן הוא משחק שהליבה שלו אינה ריקה
משחק מאוזן לחלוטין הוא משחק שהליבה של כל תת-משחק שלו אינה ריקה

מתעוררת המוטיבציה לשאלה הבאה - בהינתן משחק שאינו מאוזן (ליבתו ריקה), מהו השינוי/כיסוי המינימלי שנוכל לבצע בפונקציה הקואליציונית  על מנת להפוך את המשחק למאוזן? או למאוזן לחלוטין?.
שינוי/כיסוי זה מוגדר להיות הכיסוי המאוזן של המשחק
 נוסחה לכיסוי המאוזן 
תנאי כללי שהוא תנאי הכרחי ומספיק לאי-ריקות הליבה נוסח במשפט בונדרבה-שפלי.
מובא להלן תנאי בונדרבה-שפלי : (ניתן לקרוא יותר בתוך הערך) 
נסמן את אוסף הקואליציות הלא ריקות ב - . נסמן ב- את אוסף כל המשקלות המאזנים חלש את :

כאשר נשים לב כי  הוא וקטור החילה של הקואליציה .

משפט בונדרבה-שפלי: תנאי הכרחי ומספיק לכך שהליבה של המשחק  איננה ריקה הוא שלכל  מתקיים:
.

תנאי בונדרבה-שפלי הרשום לעיל הוא אוסף של אי שוויונים, ניתן לראות שאם נגדיל את שווי הקואליציה N דיה, אי השוויונים יתקיימו ונקבל משחק חדש ומאוזן שליבתו אינה ריקה. 
ממשפט בונדרבה-שפלי ניתן לראות שלכל משחק  ניתן להגדיר משחק  באופן הבא :

קיבלנו אם כן משחק חדש ומאוזן אך זה אינו מבטיח שהמשחק מאוזן לחלוטין,
בשביל להבטיח שאי השוויונים יתקיימו לכל תתי המשחקים, נפעיל את אותו שיקול שהפעלנו לגבי הקואליציה N עבור כל קואליציה S,  ונקבל שעל מנת שהמשחק יהיה מאוזן לחלוטין השווי של כל קואליציה צריך להיות לפחות:

המשחק  נקרא  הכיסוי המאוזן של המשחק 

משפטים רלוונטיים ללא הוכחה
למשחק  בצורה קואליציונית ליבה לא ריקה אם ורק אם 
משחק  הוא מאוזן לחלוטין אם ורק אם  לכל קואליציה כאשר הפונקציה  מוגדרת בהגדרה לעיל

ראו גם
מונחים בתורת המשחקים

לקריאה נוספת

קטגוריה:תורת המשחקים