אבולוט

בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במישור  בפרמטריזציה טבעית, אֵבוֹלוּט (באנגלית: Evolute; בעברית: לָפוּף) מוגדר כמקום הגאומטרי של כל מרכזי העקמומיות שלה.

נוסחת האבולוט היא:


כאשר
k היא העקמומיות של העקומה  (המתקבלת לפי משוואות פרנה מתוך , או בנוסחה מפורשת )
 הוא רדיוס העקמומיות
 הוא וקטור יחידה הניצב לווקטור המשיק לעקומה  ויוצר עמו בסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית.

אנליטית, ניתן לתאר את האבולוט כתמונה הסינגולרית של ההעתקה
 .
במקום זה, המתקבל עבור , הנורמלים בנקודות קרובות איניפיניטסימלית נחתכים ולכן  לא מהווים מערכת קואורדינטות מוגדרת היטב. מכאן נובע שהאבולוט הוא מעטפת של כל הנורמלים לעקומה.

משפט שימושי לחישוב אורך של קשת (רגולרית ובלי קודקודים, כלומר: ) על האבולוט טוען שאורך הקשת שווה להפרש רדיוסי העקמומיות בנקודות הקצה:

כאשר המעבר הלפני האחרון נעשה מאחר ש-R היא פונקציה מונוטונית (עולה או יורדת) של s בקשת רגולרית, ו-

לפי משוואות פרנה.

הדיון הראשון באבולוט נמצא בכרך ה-V של הספר "חרוטים" ("Conics") מאת אפולוניוס (בסביבות 200 לפני הספירה), אך מי שנחשב לראשון שלמד אותם בצורה יסודית הוא כריסטיאן הויגנס (1673).

 קישורים חיצוניים 

 אבולוט, ב-MathWorld של אריק ויינשטיין
 Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Evolutes." pp. 86ff
 Evolute on 2d curves.

הערות שוליים

קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית
קטגוריה:עקומות