חבורה מושלמת

בתורת החבורות, חבורה מושלמת היא חבורה  השווה לתת-חבורת הקומוטטורים של עצמה, כלומר, . במילים אחרות, אלו הן החבורות שאין להן אף מנה אבלית לא טריוויאלית. לדוגמה, כל חבורה פשוטה לא אבלית היא מושלמת. מאידך, יש חבורות מושלמות שאינן פשוטות, כמו . 

כל מנה של חבורה מושלמת היא מושלמת. 

 הקשר להרחבות אוניברסליות 

הרחבה מרכזית של חבורה  היא חבורה  עם אפימורפיזם  שהגרעין שלו מוכל במרכז של . הרחבה מהצורה  (עם ההטלה על הרכיב הראשון), כאשר  אבלית, היא טריוויאלית. הרחבה מרכזית  היא אוניברסלית אם היא מתפצלת דרך כל הרחבה מרכזית אחרת באופן יחיד, כלומר: לכל הרחבה מרכזית  יש הומומורפיזם  ההופך את הדיאגרמה המתאימה לקומוטטיבית; במובן מסוים, הרחבה אוניברסלית היא הרחבה גדולה ביותר, למעט תוספות טריוויאליות שכביכול אינן רלוונטיות (את ההרחבות המרכזיות האוניברסליות התחיל ללמוד ישי שור ב-1904).

מתברר שלחבורה יש הרחבה מרכזית אוניברסלית אם ורק אם היא מושלמת. יתרה מזו, הרחבה מרכזית  של  היא אוניברסלית אם ורק אם  מושלמת בעצמה, ואין לה הרחבות מרכזיות לא טריוויאליות. 

את ההרחבה המרכזית האוניברסלית של חבורה מושלמת אפשר לחשב באופן ישיר, מן ההצגה שלה באמצעות יוצרים ויחסים: אם  כאשר  חבורה חופשית ו- חבורת היחסים, אז ההרחבה המרכזית האוניברסלית היא  (ההטלה  היא על משום ש-, שהרי  מושלמת). הגרעין של ההטלה הזו הוא  - כופל שור של . הכופל אינו תלוי בהצגה, משום שהוא איזומורפי לחבורת ההומולוגיה השנייה . 

בין הדוגמאות החשובות לבניה הזו נמצא הפונקטור : לכל חוג , חבורת המטריצות האלמנטריות  היא מושלמת, וההרחבה האוניברסלית שלה היא חבורת סטיינברג של החוג, . הגרעין של ההטלה מן החבורה השנייה אל הראשונה הוא .

קישורים חיצוניים


קטגוריה:תורת החבורות