חבורת גלואה

במתמטיקה, ובפרט בתורת גלואה, חבורת גלואה של הרחבת שדות  היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה , המעבירים כל איבר של השדה  לעצמו.

חבורה זו נקראת על שם אווריסט גלואה, אבי תורת החבורות.

לחבורה זו חשיבות גדולה באפיון ההרחבה , זאת בזכות המשפט היסודי של תורת גלואה המציג את הקשר בין שדות הביניים של ההרחבה, לבין התת-חבורות של חבורת הגלואה של ההרחבה.

הגדרה
יהי  שדה, ותהי  הרחבת שדות. חבורת הגלואה של ההרחבה , המסומנת  או  או , מוגדרת להיות

כאשר  היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה .

קל לבדוק שזאת אכן חבורה.

דוגמאות
חבורת הגלואה של ההרחבה  היא קבוצה המכילה שני איברים: את העתקת הזהות, ואת העתקת ההצמדה.
זאת מאחר שאם  בחבורת הגלואה של ההרחבה, מתקיים

לכן . לכן לכל  מתקיים כי

במעבר האחרון השתמשנו בכך ש- מעתיקה את איברי  לעצמם. לכן  או .
באופן דומה, ניתן להראות כי חבורת הגלואה של ההרחבה  מכילה שני איברים: העתקת הזהות והעתקת ההצמדה: .
חבורת הגלואה של ההרחבה  מכילה רק את העתקת הזהות. יתרה מזאת, חבורת האוטומורפיזמים של  מכילה רק את העתקת הזהות.
כדי להוכיח זאת, יש לשים לב שאוטומורפיזם של  מעביר כל מספר חיובי למספר חיובי, מאחר ש- ולכן שומרת על יחס סדר.
תהי  הרחבת שדות. אזי חבורת הגלואה של  היא חבורת האוטומורפיזמים של , כלומר .
זאת מאחר שהומומורפיזם של שדות מעביר את המספרים השלמים לעצמם, ולכן גם את המספרים הרציונליים לעצמם.
יהי  מספר ראשוני, ותהי  הרחבת שדות, אזי באופן דומה חבורת הגלואה של  היא חבורת האוטומורפיזמים של , כלומר .
חבורת הגלואה של ההרחבה  מכילה רק את העתקת הזהות. זאת מאחר שאם  בחבורה, מתקיים .
לכן בהכרח . מאחר ש- בסיס, נובע כי  היא בהכרח העתקת הזהות.

שדה השבת
יהי  שדה. תהי  תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של . נגדיר את שדה השבת של  כקבוצה הבאה:

כלומר, שדה השבת של  הוא קבוצת כל האיברים מהשדה  שכל איברי  מותירים אותם במקומם.

קל לבדוק כי זה אכן שדה. מתקיים כי אם  הרחבת שדות ו- אזי .

שוויון לא בהכרח מתקיים, למשל אם  ו-, אז ראינו קודם כי  מכילה רק את העתקת הזהות ולכן מתקיים כי 

תכונות
אם ההרחבה  מממד סופי, מתקיים כי , כאשר אגף שמאל הוא גודל חבורת הגלואה ואגף ימין הוא ממד ההרחבה.
השוויון  מתקיים אם ורק אם  הרחבת גלואה. הרחבות מסוג זה חשובות, מאחר שהן מקיימות את המשפט היסודי של תורת גלואה.
הלמה של ארטין: יהי  שדה, ותהי  תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של .
אזי אם  מתקיים . מתקיים אף 

קישורים חיצוניים

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:אלגברה
קטגוריה:תורת גלואה
קטגוריה:אווריסט גלואה