משפט שפלי-שוביק

משפט שפלי שוביק הוא משפט מתחום תורת המשחקים, הקובע כי הליבה של משחק שוק אינה ריקה.

הערה: המשפט מסתמך על כך שמשחק שוק נגזר משוק שבו פונקציות הייצור הן רציפות וקעורות.

המשפט ההפוך אינו נכון.

 הוכחה 
הוכחת המשפט משתמשת במשפט בונדרבה-שפלי. נוכיח כי משחק שוק הוא משחק מאוזן, כלומר, תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים. 
במהלך ההוכחה נשתמש בסימונים המופיעים בערך משחק שוק. 
נסמן ב-  את קבוצת כל ההקצאות עבור קואליציה : 

כאשר  הוא סך המצרכים העומד לרשות הקואליציה .

נגדיר את התשלום לקואליציה  בצורה הבאה: , כאשר  היא פונקציית הייצור.
לכל קואליציה  נבחר הקצאה  שבה מתקבל המקסימום בהגדרת .

מתקיים: 
(i)
  לכל שחקן i.

(ii)
, כאשר  הוא הסל ההתחלתי של שחקן i.

(iii)


נראה כעת כי המשחק הוא משחק מאוזן.  
יהי , כאשר  הוא אוסף כל הקואליציות הלא ריקות ב-, ו- היא קבוצת כל וקטורי המקדמים המאזנים חלש את . 

צריך להראות כי   . 

נגדיר:  
.

נראה כי  הוא הקצאה אפשרית: 
 כי הוא ממוצע של וקטורים ב-.
נותר להראות כי :

מכיוון ש- ועל ידי שינוי סדר סכימה, נקבל:

 הוא וקטור מקדמים מאזנים, כלומר - 


לכן - 

כלומר  הוא אכן הקצאה אפשרית. לכן, מהגדרת  ומהגדרת  נקבל: 

אי השוויון האחרון נובע מקעירות הפונקציות .
על ידי שינוי סדר סכימה, נקבל: 
.

כיון ש-  הוא וקטור מקדמים מאזנים חלש כלשהו, נובע מכאן כי תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים, ולכן הליבה של המשחק אינה ריקה.

 ראו גם 
 תורת המשחקים
 משחק שוק
 ליבה של משחק שיתופי
 משפט בונדרבה-שפלי

 לקריאה נוספת 

שפלי שוביק