הלמה של גרנוול

במתמטיקה, הלמה של גרנוול היא אי-שוויון, המשמש בין היתר להוכחת היחידות במשפט הקיום והיחידות עבור הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית רגילה. הלמה קרויה על שם המתמטיקאי השוודי תומאס הוקון גרנוול .

 ניסוח הלמה 
תהי  פונקציה רציפה ואי-שלילית, המקיימת עבור קבוע  ועבור  את האי-שוויון הבא:

אזי פונקציה זו היא בהכרח פונקציית האפס, כלומר .

 הוכחה 
ניתן לראות שמתקיים  כי אם לא, יתקבל ביטוי שלילי באגף ימין. כעת על ידי העברת אגף ימין ניתן לראות כי:

 זוהי משוואה דיפרנציאלית עבור:

  (לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי)

 על ידי כפל בגורם אינטגרציה  תתקבל המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה הבאה:

 על ידי ביצוע אינטגרציה  על שני צידי האי שוויון נקבל:

 פונקציית האקספוננט היא אי-שלילית ( לכל ) ולכן המסקנה היא:

 ולפי ההנחה מתקיים:

 אבל ההנחה היא גם כי  ולכן בהכרח . מ.ש.ל.

קטגוריה:אי-שוויונות
גרנוול
קטגוריה:הוכחות