השתנות חסומה

השתנות חסומה היא תכונה של פונקציות ממשיות. עבור פונקציות במשתנה אחד, פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע  היא כזו שהשינוי הכולל שלה על ציר ה-y הוא סופי, ולכן היא גם חסומה בקטע.

 הגדרה 
עבור פונקציה  תהי  חלוקה של הקטע בצורה הבאה:



נגדיר את ההשתנות של  לפי  להיות:

כעת נגדיר את ההשתנות הכללית של הפונקציה בקטע  להיות:

כאשר ההשתנות הכללית של  בקטע היא ערך ממשי סופי,  תיקרא "בעלת השתנות חסומה בקטע".

 דוגמאות 
 הפונקציה  היא בעלת השתנות חסומה בקטע  ומתקיים שם .
 כל פונקציה מונוטונית היא בעלת השתנות חסומה ומתקיים .
 כל פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ היא בעלת השתנות חסומה שכן במקרה כזה קיים קבוע  כך ש-.
 פונקציית דיריכלה היא פונקציה חסומה שאינה בעלת השתנות חסומה. לכל n טבעי אפשר לבחור חלוקה T שבה יש n+1 נקודות רציונליות ואי-רציונליות לסירוגין ולקבל .
 הפונקציה  המוגדרת כאפס באפס היא פונקציה רציפה וחסומה בקטע  שאינה בעלת השתנות חסומה. אפשר לבנות סדרת חלוקות  עם נקודות קרובות מספיק לאפס כך שהסדרה  היא סדרת הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני המתבדר.

 תכונות של פונקציות בעלות השתנות חסומה בקטע סגור
 צירוף ליניארי של פונקציות בעלות השתנות חסומה הוא פונקציה בעלת השתנות חסומה.
 פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה חסומה: בהינתן נקודה , ניווכח כי בחלוקה של הקטע בנקודה אחת , מתקבל כי
 ולכן  לכל  ב-.

הכיוון ההפוך שגוי, כפי שמודגם בדוגמאות.
 פונקציה היא בעלת השתנות חסומה אם ורק אם היא הפרש של שתי פונקציות מונוטוניות לא יורדות: אם  פונקציה בעלת השתנות חסומה, הפונקציות


 שתיהן פונקציות מונוטוניות לא יורדות, ומתקיים: 
 כל הפרש בין פונקציות לא יורדות הוא בעלת השתנות חסומה כצירוף ליניארי של פונקציות בעלות השתנות חסומה.
 לפונקציה בעלת השתנות חסומה קבוצה בת מנייה של נקודות אי-רציפות וכולן מהסוג הראשון. נובע מההצגה כהפרש פונקציות מונוטוניות.
 פונקציה בעלת השתנות חסומה גזירה כמעט בכל מקום והנגזרת שלה אינטגרבילית לבג. נובע מההצגה כהפרש פונקציות מונוטוניות.
 אם  רציפה בהחלט מתקיים:  (אינטגרל לבג לפי מידת לבג).

קישורים חיצוניים


קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות: מאפיינים