גנוס (גאומטריה אלגברית)

בגאומטריה אלגברית ובגאומטריה אריתמטית, הגנוס של עקום (מרוכב) הוא הגנוס של היריעה שהעקום מגדיר כמשטח רימן. הגנוס הוא מדד מספרי למורכבות העקום, בעיקר דרך הטריכוטומיה: הספירה של רימן היא בעלת גנוס g=0, עקומים בעלי גנוס g=1 הם עקומים אליפטיים, ולעקומים אחרים g>1.

 גנוס של שדה פונקציות 

משטח רימן אפשר לתאר על ידי שדה הפונקציות שלו, שהוא שדה מדרגת טרנסצנדנטיות 1 מעל המרוכבים. גם להפך, שדה מהצורה , כאשר w תלוי ב-z, מגדיר משטח רימן, והגנוס של השדה מוגדר כגנוס של המשטח. משטח המוגדר על ידי משוואה מהצורה , כאשר f הוא פולינום, נקרא עקום היפר-אליפטי, והגנוס שלו שווה לחלק השלם של . מאי-שוויון רימן נובע שכל עקום מגנוס 1 (ולכן כל שדה פונקציות מגנוס 1) מוגדר על ידי משוואה מהצורה , ולכן הוא עקום אליפטי. בדומה לזה, כל עקום מגנוס 2 הוא היפר-אליפטי; אבל טענה זו אינה נכונה לגנוס גבוה יותר.

 הגנוס בגאומטריה אריתמטית 

הטריכוטומיה שהוזכרה לעיל מתבטאת באופי השונה של בעיות אריתמטיות על-פי הגנוס של המשוואות המעורבות. לעקומים מגנוס 0 יש פרמטריזציה מלאה, ועקומים מגנוס 1 הם אליפטיים. השערת מורדל קובעת שלכל עקום אלגברי מגנוס גדול מ-1 מעל שדה מספרים, יש מספר סופי של נקודות רציונליות.

 מקורות 
 Harvey Cohn, Introduction to the construction of class fields, פרק 5.

 ראו גם 
 גנוס (טופולוגיה)

קטגוריה:גאומטריה אלגברית