אלגברת מנה

אלגברת המנה - הכללה של חבורת המנה וחוג המנה למבנה אלגברי כללי. משמשת בין היתר להכללת משפטי האיזומורפיזם באלגברה אוניברסלית.

הגדרה:

יהי  מבנה אלגברי עם n פעולות, ויהא יחס שקילות על אברי A כך שלכל פעולה  ,  אם מתקיים   עבור i=1...k ,מתקיים גם:


יחס השקילות משרה מבנה אלגברי חדש שנקרא  אלגברת מנה    שאבריו הם מחלקות השקילות המתאימות עם הפעולות:
 (לפי )

דוגמה -הכללה של משפט האיזומורפיזם הראשון:

יהיו A ו-B מבנים אלגבריים ויהא  F אפימורפיזם מ-A על-B,אזי:

A/Φ איזומורפי ל-B. כש- Φ יחס השקילות המוגדר על אברי A כך: אם ורק אם .

הוכחה(חלקית) :

תחילה נוכיח ש-Φ משרה אלגברת מנה:

תהי  פעולה k-ארית, ויהיו  (לפי Φ) עבור i=1...k (זאת אומרת   עבור i=1...k).
מכאן נובע ש,
זאת אומרת, 

נגדיר הומומורפיזם מ-A/Φ ל-B כך:

הוא חח"ע כי צמצמנו את כל הערכים השווים למחלקות שקילות (איברים בודדים),ועל בירושה מ-F.

ראו גם
יחס שקילות
חבורת מנה
חוג מנה

קטגוריה:אלגברה