מנרמל

בתורת החבורות, מנרמל (או נורמליזטור) של תת-חבורה  בחבורה  הוא התת-חבורה הגדולה ביותר של  שבה  נורמלית. 

הגדרה
המנרמל של תת-חבורה  הוא אוסף כל האיברים  עבורם .
במילים אחרות, האיברים  עבורם  לכל . את המנרמל מקובל לסמן:

כאשר מדובר בחבורות סופיות (ואפילו אם  בלבד סופית), הקבוצה  שווה למנרמל.
עם זאת, באופן כללי התנאי  חלש מתנאי השוויון, והוא מגדיר קבוצה המכילה את המנרמל, ועשויה להיות שונה ממנו. קבוצה זו סגורה לכפל, אך איננה בהכרח סגורה לפעולת ההיפוך. לדוגמה, בחבורת באומסלג-סוליטר , האיבר  איננו שייך למנרמל של התת-חבורה הציקלית , אף כי .

תכונות עיקריות
מן ההגדרה ברור כי  ואף . המנרמל הוא התת-חבורה הגדולה ביותר שבה  נורמלית – כל תת-חבורה של  המכילה את  ושבה  נורמלית, מוכלת במנרמל של . המנרמל שווה ל- אם ורק אם  עצמה תת-חבורה נורמלית.

האינדקס של  שווה למספר התת-חבורות הצמודות ל-. אפשר לראות בגודל המנרמל מדד ל"מידת הנורמליות" של התת-חבורה: המנרמל של  שווה ל- כאשר היא רחוקה ביותר מלהיות נורמלית.

באופן כללי מתקיים . אם  היא חבורת p אז 
 לכל . לעומת זאת, אם  היא תת-חבורת סילו, אזי 
 לכל  (זו תוצאה של משפט סילו השני).

המנרמל של איבר בחבורה חופשית הוא אבלי.

ראו גם
 מְרַכֵּז (של איבר)

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

קטגוריה:תורת החבורות