משפט ארצלה-אסקולי

באנליזה פונקציונלית, משפט אַרְצֶלָה-אַסְקוֹלִי (Arzelà–Ascoli, נקרא גם משפט אסקולי) מעניק אפיון מלא לקומפקטיות של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת הרציפות במידה אחידה. המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של משפט בולצאנו-ויירשטראס.

תיאור פורמלי

אם  הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב- את מרחב הפונקציות הרציפות , שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת נורמת : .

כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה  של  היא "חסומה" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.

משפט ארצלה אסקולי: תהי  קבוצה חסומה. אזי לכל סדרה ב- קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם  רציפה במידה אחידה.

מסקנה: אם  סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז  קומפקטית אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה.
הוכחה: ממשפט ארצלה-אסקולי נובע כי אם  חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש- סגורה קובע כי תת-סדרה זו מתכנסת לתוך . מכאן ש- מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט.
מסקנה: אופרטור האינטגרל  המוגדר , כאשר  גרעין רציף על , הוא אופרטור קומפקטי.

הוכחת המשפט
כיוון ראשון

תהי  קבוצה חסומה ונניח שאיברי  רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב- יש תת-סדרה מתכנסת. תהי  סדרת פונקציות ב-. תהי  סדרה צפופה ב- (קיימת כזאת כי  מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

נתבונן בסדרה . זוהי סדרה חסומה ב- בפרט יש לה תת-סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב- ואת גבולה ב-. כעת נתבונן בסדרה . גם זו סדרה חסומה ב- לפיכך יש לה תת-סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב- ואת גבולה ב-. וכך בתהליך איטרטיבי לכל  נגדיר את הסדרה  להיות תת-סדרה מתכנסת של  ואת גבולה נסמן ב-.

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון  המוגדרת לכל  כך  (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה--י שלה הוא האיבר ה--י בסדרה ה--ית).
 זוהי תת-סדרה של .
 לכל  הסדרה  מתכנסת ל- שכן הזנב שלה, , הוא תת-סדרה של .

יהי . אברי  רציפים במידה אחידה לכן קיים  כך שלכל  ולכל , אם  אזי  (כאשר  היא פונקציית המטריקה ב-). אבל  קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר  שנסמנם ב-.

לכל  קיים  כך ש- (כי  צפופה ב-). כמו כן הסדרה  מתכנסת ל- לכן לפי תנאי קושי קיים  כך שלכל  מתקיים . נסמן . כעת, לכל  ולכל  קיים  כך ש- ומתקיים מאי שוויון המשולש. לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה  מתכנסת במידה שווה.

 קישורים חיצוניים 
 . הספר מתוך "פא"ר – פתיחת אוצרות רוח", אתר הספרים הדיגיטליים של האוניברסיטה הפתוחה.

ארצלה-אסקולי
ארצלה-אסקולי
ארצלה-אסקולי