מרכז (תורת החוגים)

במתמטיקה, המרכז של חוג נתון הוא תת-חוג, הכולל את האיברים המתחלפים עם כל איבר אחר. מקובל לסמן את המרכז של R ב־. המרכז הוא תת־חוג קומוטטיבי, אבל בדרך כלל הוא איננו תת־החוג הקומוטטיבי הגדול ביותר שיש לחוג.

התפקיד העיקרי של המרכז בתורת החוגים הוא להכניס שיטות קומוטטיביות לסיטואציה שהיא בדרך כלל לא קומוטטיבית, ולכן מסובכת בהרבה. המרכז של חוג כולל לפחות את איבר היחידה, ולכן אפשר לראות את החוג כאלגברה מעל המרכז שלו (במובן הרחב של המושג – המרכז אינו חייב להיות שדה). בפרט, המרכז של חוג פשוט הוא שדה, וכך הופך החוג לאלגברה במובן המצומצם והמקובל יותר של המילה. את ה"מרחק" מן האלגברה למרכז שלה אפשר למדוד בכלים הסטנדרטיים: הממד (או הדרגה, כאשר המרכז אינו שדה והאלגברה חופשית מעליו), ובמקרה שהממד אינסופי, גם ממד גלפנד-קירילוב. ידוע שכל אלגברה בעלת ממד גלפנד־קירילוב 1 היא "כמעט קומוטטיבית", בהיותה חופשית ובעלת דרגה סופית מעל המרכז שלה.

קטגוריה:תורת החוגים