מספר קפרקר

מספר קַפְּרֵקַר הוא מספר טבעי, השווה לסכום הרישא והסיפא של הייצוג העשרוני של ריבועו. אפשר באותו אופן להגדיר מספרי קפרקר בכל בסיס אחר. המספרים קרויים כך על-שם המתמטיקאי ההודי דאטארייה רמאצ'אנדרה קפרקר.

בניסוח מדויק יותר,  הוא מספר קפרקר (בבסיס ) אם אפשר לפרק  כך שמתקיים עבור שלם  כלשהו: , כאשר .

 תיאור מלא 
Iannucci (ראו מקור להלן) הוכיח שמספרי קפרקר בבסיס b עם רישא באורך n עומדים בהתאמה מלאה לפירוקים של  לגורמים זרים. היינו, אם  כאשר d ו- 'd זרים, ו-  הוא ההפכי של d מודולו 'd, המקיים , אז d*t הוא "מספר קפרקר", וכל מספר קפרקר מתקבל באופן הזה. כך אפשר לתרגם את כל הבעיות הקשורות למספרי קפרקר לשאלות על מחלקים של מספרים מן הצורה .

 דוגמאות 
דוגמה: 9 הוא מספר קפרקר, מכיוון ש- 81 = 9² ו- 9 = 1 + 8. גם 95121 מקיים את אותה תכונה:
  95121² = 9048004641. מספר זה ניתן לפצל לשני המספרים  90480 + 04641 = 95121 וכך חזרנו אל המספר המקורי. לכן 95121 הוא מספר קפרקר.

בסימוני התיאור לעיל,  עבור d=2439 ו- d'=41, וההפכי הוא ; המספר 95121 מתקבל כמכפלה .

מספרי קפרקר הקטנים ביותר בבסיס 10 הם:
 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643,  390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

בבסיס בינארי, כל המספרים המשוכללים הזוגיים הם גם מספרי קפרקר.

קל להוכיח שכל מספר בבסיס b שהוא מהצורה  הוא מספר קפרקר:
 ומספר זה ניתן לפצל לרישא  ולסיפא 1, שסכומם הוא המספר המקורי  (תכונה זו נשמטה מעיניו של קפרקר במאמר שבו הציג את המספרים לראשונה). לפיכך בכל בסיס קיימים אינסוף מספרי קפרקר.

 קישורים חיצוניים 

 D. R. Kaprekar, On Kaprekar numbers, Journal of Recreational Mathematics, 13 (1980-1981), 81-82.
 M. Charosh, Some Applications of Casting Out 999...'s, Journal of Recreational Mathematics 14, 1981-82, pp. 111-118
 Douglas E. Iannucci, The Kaprekar Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000), http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/iann2a.html 


קטגוריה:תכונות התלויות בבסיס הספירה