אידמפוטנט

במתמטיקה, אידמפוטנט הוא איבר  של מבנה אלגברי המקיים את התכונה . ההגדרה חלה גם על פונקציות: פונקציה היא אידמפוטנטית אם הפעלתה פעמיים שווה להפעלתה פעם אחת. לדוגמה, פעולת ערך מוחלט היא אידמפוטנטית, למשל: . באלגברה מופשטת מושג זה משמש בעיקר בחקר אופרטורים של הטלה וסגירות.

את המונח אידמפוטנטיות טבע במאה ה-19 בנג'מין פירס בהקשר של איברים באלגברה שאינם משתנים כאשר הם מועלים בחזקה של מספר שלם חיובי. מדובר בהלחם בלטינית (idem + potentia שיש לו אותה חזקה) אך תחום השימוש במונח, כמו גם הגדרתו, התרחבו.

איברים אידמפוטנטים
הגדרה
במאגמה (קבוצה עם פעולה בינארית יחידה) (• ,M) איבר הוא אידמפוטנטי אם: x • x = x.

דוגמאות
 המספר הטבעי 1 הוא איבר אידמפוטנטי ביחס לכפל היות ש 1 × 1 = 1 וכך גם 0: 0 × 0 = 0. יתר המספרים הטבעיים אינם מקיימים תכונה זו ולכן הכפל אינו פעולה אידמפוטנטית בקבוצת המספרים הטבעיים.באופן פורמלי במונואיד (×,) האיברים האידמפוטנטיים היחידים הם 0 ו-1.
 במאגמה איבר היחידה e הוא אידמפוטנטי. מהגדרתו כאיבר אדיש: e = e • e . כך גם איבר האפס a, אם קיים, בשל תכונת הבליעה שלו: a = a • a.
 בחבורה איבר היחידה הוא האיבר האידמפוטנטי היחידי: אם קיים x • x = x אז x • x = x • e ועל ידי הכפלה משמאל באיבר ההופכי נקבל x = e.
 איחוד וחיתוך של כל שתי קבוצות x ו-y הם אידמפוטנטים.באופן פורמלי: במונואידים (∪ ,(𝒫(E)) ו (∩ ,(𝒫(E)) של קבוצת החזקה E עם פעולת איחוד ∪ ופעולת חיתוך ∩ בהתאמה, כל האיברים הם אידמפוטנטים ולכן הפעולות ∪ ו ∩ הן אידמפוטנטיות.
 במונואידים (∧, {0,1}) ו (∨, {0,1}) באלגברה בוליאנית עם הקשרים הלוגים של וגם ואו בהתאמה, כל האיברים הם אידמפוטנטים.
 אופרטור ליניארי אידמפוטנטי ממרחב וקטורי V לעצמו מגדיר פירוק .כלומר, ניתן להציג את המרחב כסכום ישר של התמונה והגרעין. במונחי פירוק זה, האופרטור הוא הטלה על התמונה. במילים אחרות, הוא שווה ל0 על התמונה ולזהות על הגרעין. זה גורר בפרט שממד התמונה שווה לעקבה של האופרטור.

פונקציות אידמפוטנטיות

הגדרות

פונקציה נתונה f מקבוצה נתונה לעצמה, היא אידמפוטנטית, ובלבד שכל x שבקבוצה מקיים f(f(x))=f(x).
פונקציה נתונה f מקבוצה נתונה לעצמה, היא אידמפוטנטית, ובלבד ש-f היא פונקציה טרנזיטיבית, כלומר ובלבד שכל x,y,z שבקבוצה מקיימים כי: אם הן f(x)=y והן f(y)=z אז f(x)=z.

דוגמאות

1. כשתחום הדיון הוא קבוצת המספרים הטבעיים, הפונקציות הבאות הן אידמפוטנטיות:
פונקציה קבועה.
פונקציית הזהות.
הפונקציה המוגדרת בְּתור: המספר שהכי קרוב (מלמעלה) אל קלט-הפונקציה ושנושא תכונה נתונה (כגון התכונה "זוגי" וכדומה).
הפונקציה המוגדרת בְּתור: המספר המינימלי שמתייחס אל קלט-הפונקציה ביחס רפלקסיבי נתון. דוגמה זו היא אב-טיפוס לכמה תת-דוגמאות יסודיות ומאד שימושיות:
פונקציית השארית מודולו-n (בפונקציה זו, היחס הרפלקסיבי - הנדרש מהמספר המינימלי - כלפי הקלט, הוא: להיות מספר ששאריתו בחלוקתו במספר נתון n היא שארית הקלט בחלוקתו ב-n);
פונקציית הרדיקל (בפונקציה זו, היחס הרפלקסיבי - הנדרש מהמספר המינימלי - כלפי הקלט, הוא: להיות מספר שמתחלק בלי שארית בכל המספרים הראשוניים שבהם מתחלק הקלט בלי שארית);
פונקציית הגורם הראשוני המינימלי (בפונקציה זו, היחס הרפלקסיבי - הנדרש מהמספר המינימלי - כלפי הקלט, הוא: להיות מספר שגדול מאחד ושבו מתחלק הקלט בלי שארית).

2. כשתחום הדיון מורחב לקבוצת המספרים הרציונליים האי שליליים, גם הפונקציות הבאות הוא אידמפוטנטיות: פונקציית תקרה, ופונקציית רצפה; כשהוא מורחב לקבוצת המספרים השלמים, גם פונקציית הערך המוחלט היא אידמפוטנטית.

3. כשתחום הדיון מורחב לקבוצת המספרים הרציונליים, גם הפונקציות הבאות הן אידמפוטנטיות: פונקציית הערך השלם, ופונקציית קיטום.

4. כשתחום הדיון מורחב לקבוצת המספרים המרוכבים, או רק לקבוצת המספרים המרוכבים בעלי רכיבים רציונליים (או טבעיים וכדומה), גם פונקציית הרכיב הממשי של מספר מרוכב היא אידמפוטנטית.

5. במרחב אפיני: הקְמוֹר, ובמרחב וקטורי: ההטלה, ובמרחב טופולוגי: הסְגוֹר והפְּנים, הם אידמפוטנטים.

6. דוגמאות נוספות: כוכב קלין  ופלוס קלין  (כוכב קלין ללא איבר האפס V''0).

אידמפוטנטים והמבנה של חוגים
באלגברה, אידמפוטנט הוא איבר e של חוג או של מבנה אלגברי אחר, המקיים את השוויון .
פרט ל-0 (איבר האפס), שאינו נחשב בדרך כלל לאידמפוטנט, איבר היחידה הוא אידמפוטנט טריוויאלי; ואכן, האידמפוטנטים קרובים להיות איברי יחידה, לפחות באופן מקומי, וזה תפקידם בתורת המבנה של חבורות למחצה ושל חוגים.

בחוג, אידמפוטנטים  ו- המקיימים את התנאי  נקראים אידמפוטנטים אורתוגונליים. לדוגמה, אם e הוא אידמפוטנט, אז גם  אידמפוטנט, והשניים אורתוגונליים זה לזה. אם אי-אפשר לפרק אידמפוטנט e לסכום  של אידמפוטנטים אורתוגונליים, אז e הוא אידמפוטנט פרימיטיבי. 

 קשרים בין שני אידמפוטנטים 

יש כמה יחסי שקילות חשובים בין אידמפוטנטים בחוג R:
  דומים מימין אם  עבור איבר הפיך u. תנאי זה שקול לכך ש-; ולכך ש- ו-; ולכך ש- דומים משמאל.
  צמודים אם קיים u הפיך כך ש-. זה שקול (!) לכך שקיימים v,w הפיכים כך ש- (כלומר  דומים); וגם לכך ש- איזומורפיים וגם  איזומורפיים (ראו להלן).
  איזומורפיים אם  כמודולים שמאליים, ולחלופין אם  כמודולים ימניים. תנאי זה שקול לכך שקיימים a,b כך ש- ו-; ובמקרה זה  ו-. האידמפוטנטים איזומורפיים אם ורק אם קיים c כך ש- ו-.
אידמפוטנטים הדומים מימין וגם משמאל מוכרחים להיות שווים. אם שני אידמפוטנטים  דומים מימין או משמאל אז הם צמודים; אם הם צמודים אז הם איזומורפיים; ואם הם איזומורפיים אז הם יוצרים את אותו אידיאל (), וחוגי הפינה  איזומורפיים (כחוגים עם יחידה). אף אחת מטענות אלה אינה הפיכה (חוג הוא בעל צמצום פנימי, ובקיצור המקובל IC ring, אם ורק אם כל שני אידפוטנטים איזומורפיים הם צמודים).

 אידמפוטנטים מרכזיים 

אידמפוטנט המתחלף עם כל אברי החוג נקרא אידמפוטנט מרכזי. הדוגמה הטיפוסית מופיעה בחוגים המתפרקים לסכום ישר: אם , אז  הוא אידמפוטנט מרכזי. גם להפך, אם  אידמפוטנט מרכזי של R, אז אפשר לפרק , וזהו סכום ישר של תת-חוגים. (חוג שבו כל האידמפוטנטים מרכזיים נקרא חוג אבלי).

 פירוק פירס 

לכל אידמפוטנט  בחוג אסוציאטיבי , גם אם אינו מרכזי,  הוא תת-חוג ללא יחידה של , עם יחידה משלו - . חוג זה נקרא לעיתים 'פינה' (על שום המקרה שבו  הוא חוג מטריצות ו- יחידת מטריצות בפינה השמאלית העליונה). אידמפוטנט שהאידיאל הדו-צדדי שהוא יוצר הוא החוג כולו נקרא אידמפוטנט מלא. חוגים הם שקולי מוריטה זה לזה אם ורק אם אחד מהם איזומורפי לפינה של חוג מטריצות מעל השני, ביחס לאידמפוטנט מלא (בחוג המטריצות).

פירוק פירס של החוג הוא הפירוק לסכום ישר של חבורות , שבו שני המרכיבים  ו-  הם תת-חוגים עם היחידות e ו- , ואילו שני האחרים הם בי-מודולים מעליהם (האחד ימני ושמאלי, והשני שמאלי וימני, בהתאמה).

הדוגמה הטיפוסית לאידמפוטנט שאינו מרכזי היא יחידת המטריצות  בחוג מטריצות. פירוק פירס של אלגברת המטריצות  נותן את ארבעת המרכיבים הטבעיים . באלגברת מטריצות , היחידות  הן אידמפוטנטים אורתוגונליים ופרימיטיביים שסכומם 1.

לפירוק פירס בכמה מחלקות לא אסוציאטיביות, ראו אלגברה אלטרנטיבית#הרחבות מרכזיות ופירוק פירס, אלגברת ז'ורדן#פירוק פירס, אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית#פירוק פירס.

 הרמת אידמפוטנטים 

אם לכל איבר a של אידיאל A בחוג R, המשלים  הפיך, ובנוסף לזה כל אידפוטנט של חוג המנה  הוא מהצורה  כאשר e אידמפוטנט של R, אז A הוא אידיאל מרים אידמפוטנטים. אם A הוא אידיאל כזה, אז אפשר להרים כל מערכת סופית או בת-מניה של אידמפוטנטים אורתוגונליים בחוג המנה, למערכת מתאימה ב-R (טענה זו אינה נכונה למערכות שמספר איבריהן אינו בן-מניה). בנוסף לזה אפשר להרים גם מערכות של יחידות מטריצות, וכך, אם חוג המנה הוא חוג מטריצות, זהו גם המבנה של החוג R עצמו.

כל אידיאל נילי הוא מרים אידמפוטנטים. אם R סגור בטופולוגיה ה-A-אדית, אז A מרים אידמפוטנטים. באופן כללי, אידיאל A המוכל ברדיקל ג'ייקובסון של החוג הוא אידיאל מרים אידמפוטנטים, אם ורק אם לכל מחובר ישר של R/A (כמודול מעל R) יש כיסוי פרויקטיבי (כיסוי פרויקטיבי של מודול M הוא מודול פרויקטיבי P עם הטלה  שהגרעין שלה הוא תת-מודול קטן).

בחוג קומוטטיבי מקסימלי (נקרא גם קומפקטי ליניארית), רדיקל ג'ייקובסון מרים אידמפוטנטים; חוג מקסימלי הוא מכפלה סופית של חוגים מקסימליים מקומיים.

 יחידות מטריצות 
המטריצות  שיש להן 1 ברכיב ה-ij ואפס בכל מקום אחר, מהוות בסיס סטנדרטי של אלגברת המטריצות. מטריצות אלה מקיימות את היחסים  ו-. כל קבוצת איברים בחוג המקיימת את היחסים האלה נקראת מערכת של יחידות מטריצות. חוג שיש בו מערכת של יחידות מטריצות הוא בהכרח חוג מטריצות מעל חוג אחר. האיברים  הם אידמפוטנטים אורתוגונליים.

במדעי המחשב

משמעות המושג היא תלויית הקשר:

בתכנות אימפרטיבי שגרה היא אידמפוטנטית אם מצב המערכת נותר זהה ללא קשר למספר ההפעלות של שגרה זו. דוגמה: שגרה של חיפוש שם לקוח במסד נתונים תיתן תוצאה זהה ללא קשר למספר הקריאות. כך גם שגרת מיון נתונים - תוצאת המיון הראשון לא תשתנה. שגרה להוספת רשומת קנייה של סחורה אינה אידמפוטנטית (כל קריאה לה תוסיף עוד קנייה), אך שגרת ביטול קניה מסוימת היא אידמפוטנטית.

קישורים חיצוניים


הערות שוליים

קטגוריה:אלגברה
קטגוריה:יחסים מתמטיים
קטגוריה:תכנות