מודול פשוט

באלגברה ובתורת החוגים, מודול פשוט מעל חוג  הוא מודול  שאין לו תת-מודולים למעט מודול האפס ו- עצמו. מודול האפס אינו נחשב פשוט. מן המודולים הפשוטים אפשר במקרים רבים לבנות את כל המודולים (בעלי סדרת הרכב סופית) מעל החוג.

כל מודול ארטיני מכיל תת-מודולים פשוטים. חוג המספרים השלמים, כמודול מעל עצמו, הוא דוגמה למודול שאין לו תת-מודולים פשוטים.

 אפיון 
כל מודול פשוט הוא ציקלי (כלומר, מודול מהצורה ), וכל מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה  כאשר  אידיאל שמאלי של . המודול  פשוט בדיוק כאשר  אידיאל שמאלי מקסימלי (ולפי הלמה של צורן נובע מכאן שלכל חוג יש מודולים פשוטים). המאפס של  הוא האידיאל הדו-צדדי הגדול ביותר המוכל ב-; לכן  חוג פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידיאל שמאלי שאינו מכיל אף אידיאל דו-צדדי.

 דוגמאות 
 המודולים של חוג המספרים השלמים הם החבורות האבליות; המודולים הפשוטים הם בדיוק החבורות הציקליות מסדר ראשוני.
 תת-המודולים הפשוטים של חוג (כמודול מעל עצמו) הם האידיאלים השמאליים המינימליים שלו, אם יש כאלה.
 חוג מטריצות מעל חוג פשוט גם הוא פשוט.
 הלמה של שור קובעת כי חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק, כלומר כל אנדומורפיזם של מודול פשוט שונה מאפס הוא איזומורפיזם.

קישורים חיצוניים


קטגוריה:תורת החוגים